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Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station3

2011-05-12T20:26:16Z

BirgitLachner: /* (Rein-)Quadratische Funktionen */

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station13

2011-05-12T20:20:10Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Arbeiten| NUMMER=1| ARBEIT= Bearbeite das [http://wiki.zum.de/images/4/49/Parabeln_M%C3%BCller_AB-Station14.odt Arbeitsblatt] entweder indem du es am Computer …“

{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
Bearbeite das [http://wiki.zum.de/images/4/49/Parabeln_M%C3%BCller_AB-Station14.odt Arbeitsblatt] entweder indem du es am Computer ausfüllst und dann ausdruckst, oder erst ausdruckst und dann von Hand ausfüllst. }}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station12

2011-05-12T20:15:13Z

BirgitLachner:

<center>Falls es Probleme mit der Ansicht gibt, bitte [[:zw:Firefox|Firefox]] als Browser verwenden!</center>

==Übungen 3==

{|
|-
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 1: Funktionsterm finden'''</big>
{|
|width=300px|

Die Parabel hat die Funktionsgleichung

'''f(x) = ax2 + bx + c'''.

Welcher Funktionsterm passt?
<div class="multiplechoice-quiz">

(-0,5x2 + 2x - 1) (!0,5x2 - 2x + 3) (!-2x2 + 8x - 7) (!-0,5x2 + 2x + 1) (!0,5x2 - 2x - 1)
</div>

|width=20px|
|valign="top" |
[[Bild:Üb3_Parabel_5.jpg|380px]]
</div>

|}
 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 2: Term und Graph zuordnen'''</big>

'''Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.'''
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
| [[Bild:Üb3_Parabel_1.jpg]] || [[Bild:Üb3_Parabel_3.jpg]] || [[Bild:Üb3_Gerade_1.jpg]] || [[Bild:Üb3_Parabel_4.jpg|150px]] || [[Bild:Üb3_Gerade_2.jpg|150px]] || [[Bild:Üb3_Parabel_2.jpg|150px]]
|-
| x2 + 3 || -x2 + 3 || -x + 3 || -x2 - 3 || x - 3 || x2 - 3
|}

</div></div>
 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 3: Multiple Choice'''</big>

'''Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.'''
<div class="multiplechoice-quiz">

'''f(x) = –2x2 + 3x – 4''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|-6] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [1|1] liegt nicht auf dem Graphen.)

'''Welche Terme gehören zu einer Funktion, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist?''' (7x2) (7x2 - 2) (7x2 + 3) (!7x2 - 2x) (!7x2 + 3x) (!7x2 - 2x + 3)

'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (!7x2 und -7x2) (7x2 - 2x und 7x2 + 2x) (!7x2 - 2x und -7x2 + 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2) (-7x2 + 2x und -7x2 - 2x)

'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der x-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (7x2 und -7x2) (!7x2 - 2x und 7x2 + 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2) (7x2 - 2 und -7x2 + 2) (!7x2 - 2 und -7x2 + 2x)
</div></div>

 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 4: Memo-Quiz'''</big>

Finde die richtigen Paare - je ein Funktionsterm und ein Funktionsgraph gehören zusammen. Achte auf die wesentlichen Eigenschaften der Funktion (Öffnung der Parabel, Lage des Scheitels, Nullstellen).

:::{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="600"|
<div class="memo-quiz">

{|
|-
| <big> '''f(x) = x2 + 3'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_1a.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = -x2 + 3'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_3a.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = 3x2'''</big> || [[Bild:Parabel_a_3a.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = 0,2x2'''</big> || [[Bild:Parabel_a_0_2a.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = x2 + 2x''' </big> || [[Bild:Üb3_Parabel_6.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = –x2 + 2x'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_7.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = x2 – 2x – 3''' </big> || [[Bild:Üb3_Parabel_8.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = –x2 – 2x + 3'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_9.jpg|120px]]
|}

</div>

|}
</div>

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station10

2011-05-12T20:06:20Z

BirgitLachner:

==Übungen 2==
{|

|-
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 1: Anhalteweg'''</big>

Die Funktion '''s(v) = 0,1v2 + 1,5v''' ist ein Beispiel für eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen der anfänglichen Geschwindigkeit eines Fahrzeuges in m/s und dem Anhalteweg für einen konkreten Bremsvorgang angibt.

#Welchen Wert hat in diesem Beispiel die Reaktionszeit tR?
#Welchen Wert hat die Bremsbeschleunigung aB?
#Wie lang ist der Anhalteweg bei einer anfänglichen Geschwindigkeit von 72 km/h (also 20 m/s)?
#Wie könnte der Anhalteweg verringert werden?
 
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 {{Lösung versteckt|1=
#1,5v steht für den Reaktionsweg, d.h. tR = 1,5 s
#<math>\frac{1}{2a_B} = 0,1 </math> <=> <math>\frac{1}{2a_B} = \frac{1}{10} </math> <=> 2aB = 10 <=> aB = 5 (m/s2)
#s(20) = 0,1·202 + 1,5·20 = 40 + 30 = 70 (m)
#Bremsbeschleunigung erhöhen (besserer Fahrbahnbelag, gute Reifen), Reaktionszeit verringern (erhöhte Aufmerksamkeit, Bremsentechnik), Geschwindigkeit reduzieren
}}
</div>
</div>

|}

{|

|-
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 2: Bestimme a und b'''</big>

{|
|width=395px|

Die Parabel hat die Funktionsgleichung '''f(x) = ax2 + bx'''.

Finde heraus, welche Werte a und b besitzen und erkläre wie du vorgegangen bist.

<div style="padding:1px;background:#ffffff;border:0px groove;">
'''Hilfe:''' {{Versteckt|1=
Lies die Koordinaten zweier Punkte aus dem Graphen ab und setze sie in die Funktionsgleichung ein.
}}
</div>
 
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 {{Lösung versteckt|1=
Die Punkte (4/0) und (2/-2) liegen auf der Parabel, es gilt also
:* 0 = a·42 + b·4 --> b = - 4a
:* - 2 = a·22 + b·2 --> b = -1 - 2a
daraus folgt -4a = -1 -2a --> '''a = 0,5 und b = - 2'''
}}
</div>
|}

|width=10px|
|valign="top" |
[[Bild:Üb2_Parabel_7.jpg|380px]]
</div>

|}

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;">
<big>'''Aufgabe 3: Term und Graph zuordnen'''</big>

'''Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.'''

<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
| [[Bild:Üb2_Parabel1.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel6.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel3.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel5.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel4.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel2.jpg|150px]]
|-
| x2 + 2x || 0,5x2 + 2x || -x2 + 2x || 0,5x2 - 2x || -x2 - 2x || x2 - 2x
|}
</div>
</div>
 
{|
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;">
<big>'''Aufgabe 4'''</big>

'''Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.'''
|<div class="multiplechoice-quiz">
'''f(x) = 2x2 - 4x''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [-1|6] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [-1|-2] liegt auf dem Graphen.)

'''f(x) = - 0,25x2 + 3x''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|5] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|7] liegt auf dem Graphen.)

'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (!7x2 und -7x2) (7x2 - 2x und 7x2 + 2x) (!7x2 - 2x und -7x2 + 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2) (-7x2 + 2x und -7x2 - 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2x)
</div>
</div>
|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station10

2011-05-12T20:05:37Z

BirgitLachner:

{|

|-
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 1: Anhalteweg'''</big>

Die Funktion '''s(v) = 0,1v2 + 1,5v''' ist ein Beispiel für eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen der anfänglichen Geschwindigkeit eines Fahrzeuges in m/s und dem Anhalteweg für einen konkreten Bremsvorgang angibt.

#Welchen Wert hat in diesem Beispiel die Reaktionszeit tR?
#Welchen Wert hat die Bremsbeschleunigung aB?
#Wie lang ist der Anhalteweg bei einer anfänglichen Geschwindigkeit von 72 km/h (also 20 m/s)?
#Wie könnte der Anhalteweg verringert werden?
 
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 {{Lösung versteckt|1=
#1,5v steht für den Reaktionsweg, d.h. tR = 1,5 s
#<math>\frac{1}{2a_B} = 0,1 </math> <=> <math>\frac{1}{2a_B} = \frac{1}{10} </math> <=> 2aB = 10 <=> aB = 5 (m/s2)
#s(20) = 0,1·202 + 1,5·20 = 40 + 30 = 70 (m)
#Bremsbeschleunigung erhöhen (besserer Fahrbahnbelag, gute Reifen), Reaktionszeit verringern (erhöhte Aufmerksamkeit, Bremsentechnik), Geschwindigkeit reduzieren
}}
</div>
</div>

|}

{|

|-
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 2: Bestimme a und b'''</big>

{|
|width=395px|

Die Parabel hat die Funktionsgleichung '''f(x) = ax2 + bx'''.

Finde heraus, welche Werte a und b besitzen und erkläre wie du vorgegangen bist.

<div style="padding:1px;background:#ffffff;border:0px groove;">
'''Hilfe:''' {{Versteckt|1=
Lies die Koordinaten zweier Punkte aus dem Graphen ab und setze sie in die Funktionsgleichung ein.
}}
</div>
 
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 {{Lösung versteckt|1=
Die Punkte (4/0) und (2/-2) liegen auf der Parabel, es gilt also
:* 0 = a·42 + b·4 --> b = - 4a
:* - 2 = a·22 + b·2 --> b = -1 - 2a
daraus folgt -4a = -1 -2a --> '''a = 0,5 und b = - 2'''
}}
</div>
|}

|width=10px|
|valign="top" |
[[Bild:Üb2_Parabel_7.jpg|380px]]
</div>

|}

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;">
<big>'''Aufgabe 3: Term und Graph zuordnen'''</big>

'''Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.'''

<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
| [[Bild:Üb2_Parabel1.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel6.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel3.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel5.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel4.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel2.jpg|150px]]
|-
| x2 + 2x || 0,5x2 + 2x || -x2 + 2x || 0,5x2 - 2x || -x2 - 2x || x2 - 2x
|}
</div>
</div>
 
{|
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;">
<big>'''Aufgabe 4'''</big>

'''Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.'''
|<div class="multiplechoice-quiz">
'''f(x) = 2x2 - 4x''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [-1|6] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [-1|-2] liegt auf dem Graphen.)

'''f(x) = - 0,25x2 + 3x''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|5] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|7] liegt auf dem Graphen.)

'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (!7x2 und -7x2) (7x2 - 2x und 7x2 + 2x) (!7x2 - 2x und -7x2 + 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2) (-7x2 + 2x und -7x2 - 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2x)
</div>
</div>
|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station9

2011-05-12T20:01:47Z

BirgitLachner: Änderung 5258 von BirgitLachner (Diskussion) rückgängig gemacht.

=== Der Anhalteweg ===

Wir haben oben gesehen, dass man selbst bei relativ moderaten Geschwindigkeiten mit beachtlichen Bremswegen rechnen muss. Dabei blieb jedoch noch unberücksichtigt, dass der '''Anhalteweg''' nicht allein der reine '''Bremsweg''' ist, sondern dass zum Bremsweg auch noch der sogenannte '''Reaktionsweg''' hinzukommt. 
Der Bremsweg ist derjenige Weg, den das Fahrzeug vom Beginn des Bremsvorgangs bis zum Stillstand zurücklegt. Er berücksichtigt also nicht, dass man nach dem Auftreten des Hindernisses eine gewisse Zeit (die ''Reaktionszeit''') benötigt, bis man überhaupt reagieren kann und bremst. Der Weg, den das Fahrzeug angesichts der Reaktionszeit noch ungebremst zurücklegt, nennt man '''Reaktionsweg'''.

{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
# Man kann davon ausgehen, dass die Reaktionszeit bei einem gewöhnlichen Autofahrer nicht länger als eine Sekunde ist. Berechne den Reaktionsweg , der sich bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h, 50 km/h, 100 km/h aus einer Reaktionszeit von einer Sekunde ergibt.
# Ermittle eine Formel, mit Hilfe derer man den Reaktionsweg aus der Geschwindigkeit berechnen kann. Geh dabei wieder von einer Reaktionszeit von einer Sekunde aus.
#Ermittle eine möglichst einfache Formel, mit Hilfe derer man den Anhalteweg aus der Geschwindigkeit berechnen kann. 
#Stelle den Anhalteweg in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit grafisch dar. Gehe wieder von einer Reaktionszeit von 1 Sekunde aus und verwende aB = 5 m/s2.

:{{Lösung versteckt|1=
:1. v = 30 km/h <=> 30 km in einer Stunde <=> 30000 m in 3600 Sekunden <=> <math>\frac{30000}{3600}</math> m in 1 Sekunde <=> 8,3 m in einer Sekunde 
::D.h. bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h und einer Reaktionszeit von 1 Sekunde beträgt der Reaktionsweg ca. 8,3 m. 
::genauso folgt: v = 50 km/h => Reaktionsweg ca. 13,9 m und v = 100 km/h => Reaktionsweg ca. 27,8 m 
:2. '''Reaktionsweg''' = Geschwindigkeit (in m/s) '''mal''' Reaktionszeit
:3. Anhalteweg = Bremsweg + Reaktionsweg bzw. <math>s_A = \frac{1}{2 a_B} \cdot v^2 + t_R \cdot v</math>
:4.
}}
}}

=== Experimentieren mit einem Applet zum Anhalteweg ===

{{Arbeiten|
NUMMER=2|
ARBEIT=
#Experimentiere mit dem nachfolgenden Applet.
#Beschreibe, welchen Einfluss Geschwindigkeit, Bremsbeschleunigung und Reaktionszeit auf den Anhalteweg haben.
#Bei welchem Wert für aB ist der Anhalteweg bei einer Geschwindigkeit von 70 km/h und einer Reaktionszeit von 1,5 s ungefähr 70 m lang?

:{{Lösung versteckt|1=
:1. ---
:2. Der Anhalteweg ist umso länger,
::: je höher die Geschwindigkeit ist,
::: je geringer die Bremsbeschleunigung ist,
::: je höher die Reaktionszeit ist.
:3. a = 4,6 m/s2

}}
}}

Im folgenden Applet ist der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Anhalteweg dargestellt worden. Mit Hilfe der Schieberegler können Geschwindigkeit v, Bremsbeschleunigung aB und Reaktionszeit tR variiert werden. 

<ggb_applet height="400" width="800" filename="Anhalteweg2.ggb" />

  

 

{{Arbeiten|
NUMMER=3|
ARBEIT=
:Es passierte an einem sonnigen Tag, irgendwo auf einer idyllischen Straße durch einen lichten Wald. Herr Meier fuhr in seinem Cabriolet mit entspannten 80 km/h die kerzengerade Straße entlang, als plötzlich 60 m vor ihm ein Hirsch auf die Straße läuft...

:1. Wie geht die Geschichte aus, wenn Herr Meier

::a) hochkonzentriert auf den Verkehr geachtet hat (tR = 1,0 s),
::b) er gerade mit einem Freund telefoniert hat (tR = 2,0 s)?

:2. Angenommen, Herr Meier hatte zum Mittagessen zwei Bier und einen Verdauungsschnaps getrunken. Seine Reaktionszeit wäre damit auf 2,5 s gestiegen. Wie schnell hätte er höchstens fahren dürfen, um noch rechtzeitig zum Stehen zu kommen?

:Verwende jeweils aB = 7 m/s2

:{{Lösung versteckt|1=
:1. a) s = 57,5 m, d.h. er kommt kurz vor dem Hirsch zum Stehen
:1. b) s = 79,7 m, d.h. er kommt nicht mehr rechtzeitig zum Stehen
:2. v = 58 km/h
}}
}}

Den Einfluss der verschiedenen Faktoren auf die Länge des Anhalteweges kannst du auch mit [http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/hirsch.html diesem Applet] untersuchen.

===Allgemein: f(x) = ax2 + bx===

{|border="0" Zellspannung="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir in diesem Kapitel betrachtet haben, sind auch '''quadratische Funktionen'''. Sie haben den Funktionsterm '''ax2 + bx'''.

Wir lassen nun wie oben Aufgabe 3 den Wert für a gleich und verändern nur den Wert für '''b'''.
 

{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
:Untersuche an dem Applet rechts den '''Einfluss von b''' auf den Verlauf des Graphen.
:#Was bleibt gleich?
:#Was ändert sich?

:{{Lösung versteckt|1=
#Die Weite der Parabel bleibt gleich.
#Der Scheitel wird verschoben.
}}
}}

{{Arbeiten|
NUMMER=5|
ARBEIT=
#Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem blauen und grünen Graphen? Experimentiere erneut mit dem Applet und bestätige deine Vermutung.
#Setzt den Satz fort: "''Die Graphen liegen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse für'' ...

:{{Lösung versteckt|1=
#Der blaue und der grüne Graph liegen symmetrisch zur y-Achse.
#Die Graphen liegen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse für''' b = 2 und b = -2'''.
}}
}}

|width=20px|
|valign="top"|<ggb_applet height="400" width="450" filename="Quadratisch_b.ggb" />

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station9

2011-05-12T20:01:08Z

BirgitLachner: Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt: „{{Arbeiten| NUMMER=1| ARBEIT= Bearbeite das [http://wiki.zum.de/images/f/fd/Parabeln_M%C3%BCller_AB-Station9.odt Arbeitsblatt] entwede…“

{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
Bearbeite das [http://wiki.zum.de/images/f/fd/Parabeln_M%C3%BCller_AB-Station9.odt Arbeitsblatt] entweder indem du es am Computer ausfüllst und dann ausdruckst, oder erst ausdruckst und dann von Hand ausfüllst. }}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station9

2011-05-12T19:59:05Z

BirgitLachner:

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station11

2011-05-12T19:54:46Z

BirgitLachner: Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt: „{{Arbeiten| NUMMER=1| ARBEIT= Bearbeite das [http://wiki.zum.de/images/f/f6/Parabeln_M%C3%BCller_AB-Station12.odt Arbeitsblatt] entwed…“

{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
Bearbeite das [http://wiki.zum.de/images/f/f6/Parabeln_M%C3%BCller_AB-Station12.odt Arbeitsblatt] entweder indem du es am Computer ausfüllst und dann ausdruckst, oder erst ausdruckst und dann von Hand ausfüllst. }}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station10

2011-05-12T19:41:39Z

BirgitLachner:

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station11

2011-05-12T19:39:14Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „== Übungen 3 == {| |- |<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"> <big>'''Aufgabe 1: Anhalteweg'''</big> Die Funktion '''s(v) = 0,1v2</sup…“

== Übungen 3 ==

{|
|-
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 1: Anhalteweg'''</big>

Die Funktion '''s(v) = 0,1v2 + 1,5v''' ist ein Beispiel für eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen der anfänglichen Geschwindigkeit eines Fahrzeuges in m/s und dem Anhalteweg für einen konkreten Bremsvorgang angibt.

#Welchen Wert hat in diesem Beispiel die Reaktionszeit tR?
#Welchen Wert hat die Bremsbeschleunigung aB?
#Wie lang ist der Anhalteweg bei einer anfänglichen Geschwindigkeit von 72 km/h (also 20 m/s)?
#Wie könnte der Anhalteweg verringert werden?
 
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 {{Lösung versteckt|1=
#1,5v steht für den Reaktionsweg, d.h. tR = 1,5 s
#<math>\frac{1}{2a_B} = 0,1 </math> <=> <math>\frac{1}{2a_B} = \frac{1}{10} </math> <=> 2aB = 10 <=> aB = 5 (m/s2)
#s(20) = 0,1·202 + 1,5·20 = 40 + 30 = 70 (m)
#Bremsbeschleunigung erhöhen (besserer Fahrbahnbelag, gute Reifen), Reaktionszeit verringern (erhöhte Aufmerksamkeit, Bremsentechnik), Geschwindigkeit reduzieren
}}
</div>
</div>

|}

{|

|-
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 2: Bestimme a und b'''</big>

{|
|width=395px|

Die Parabel hat die Funktionsgleichung '''f(x) = ax2 + bx'''.

Finde heraus, welche Werte a und b besitzen und erkläre wie du vorgegangen bist.

<div style="padding:1px;background:#ffffff;border:0px groove;">
'''Hilfe:''' {{Versteckt|1=
Lies die Koordinaten zweier Punkte aus dem Graphen ab und setze sie in die Funktionsgleichung ein.
}}
</div>
 
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 {{Lösung versteckt|1=
Die Punkte (4/0) und (2/-2) liegen auf der Parabel, es gilt also
:* 0 = a·42 + b·4 --> b = - 4a
:* - 2 = a·22 + b·2 --> b = -1 - 2a
daraus folgt -4a = -1 -2a --> '''a = 0,5 und b = - 2'''
}}
</div>
|}

|width=10px|
|valign="top" |
[[Bild:Üb2_Parabel_7.jpg|380px]]
</div>

|}

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;">
<big>'''Aufgabe 3: Term und Graph zuordnen'''</big>

'''Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.'''

<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
| [[Bild:Üb2_Parabel1.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel6.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel3.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel5.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel4.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel2.jpg|150px]]
|-
| x2 + 2x || 0,5x2 + 2x || -x2 + 2x || 0,5x2 - 2x || -x2 - 2x || x2 - 2x
|}
</div>
</div>
 
{|
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;">
<big>'''Aufgabe 4'''</big>

'''Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.'''
|<div class="multiplechoice-quiz">
'''f(x) = 2x2 - 4x''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [-1|6] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [-1|-2] liegt auf dem Graphen.)

'''f(x) = - 0,25x2 + 3x''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|5] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|7] liegt auf dem Graphen.)

'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (!7x2 und -7x2) (7x2 - 2x und 7x2 + 2x) (!7x2 - 2x und -7x2 + 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2) (-7x2 + 2x und -7x2 - 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2x)
</div>
</div>
|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station9

2011-05-12T19:33:16Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Arbeiten| NUMMER=1| ARBEIT= Bearbeite das [http://wiki.zum.de/images/f/fd/Parabeln_M%C3%BCller_AB-Station9.odt Arbeitsblatt] entweder indem du es am Computer a…“

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station7

2011-05-12T19:21:27Z

BirgitLachner:

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station7

2011-05-12T19:20:53Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „{| |- |<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"> <big>'''Aufgabe 1: Anhalteweg'''</big> Die Funktion '''s(v) = 0,1v2 + 1,5v''' ist e…“

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station6

2011-05-12T19:16:12Z

BirgitLachner:

{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
Bearbeite das [http://wiki.zum.de/images/5/51/Parabeln_M%C3%BCller_AB-Station6.odt Arbeitsblatt] entweder indem du es am Computer ausfüllst und dann ausdruckst, oder erst ausdruckst und dann von Hand ausfüllst. }}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station6

2011-05-12T19:13:30Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Arbeiten| NUMMER=1| ARBEIT= Bearbeite das [http://wiki.zum.de/images/5/58/Parabeln_M%C3%BCller_AB-Station6.odt Arbeitsblatt] entweder indem du es am Computer a…“

{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
Bearbeite das [http://wiki.zum.de/images/5/58/Parabeln_M%C3%BCller_AB-Station6.odt Arbeitsblatt] entweder indem du es am Computer ausfüllst und dann ausdruckst, oder erst ausdruckst und dann von Hand ausfüllst. }}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station5

2011-05-12T19:12:29Z

BirgitLachner:

{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
Bearbeite das [http://wiki.zum.de/images/5/58/Parabeln_M%C3%BCller_AB-Station5.odt Arbeitsblatt] entweder indem du es am Computer ausfüllst und dann ausdruckst, oder erst ausdruckst und dann von Hand ausfüllst. }}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station5

2011-05-12T19:08:36Z

BirgitLachner:

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station5

2011-05-12T19:08:06Z

BirgitLachner:

{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
Bearbeite das [http://wiki.zum.de/images/3/34/AB-Parabeln-zu_Station_3.odt Arbeitsblatt] entweder indem du es am Computer ausfüllst und dann asudruckst, oder erst ausdruckst und dann von Hand ausfüllst. ''Speichere die Datei auf deinem Rechner ab und trage alles ein, was zu schreiben ist. Zum Zeichnen des Graphens druckst du das fertig ausgefüllte Blatt aus.''}}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station5

2011-05-12T19:01:11Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Arbeiten| NUMMER=1| ARBEIT= Nutze das Applet rechts, um [http://wiki.zum.de/images/3/34/AB-Parabeln-zu_Station_3.odt dieses Arbeitsblatt] zu bearbeiten. …“

{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
Nutze das Applet rechts, um [http://wiki.zum.de/images/3/34/AB-Parabeln-zu_Station_3.odt dieses Arbeitsblatt] zu bearbeiten. ''Speichere die Datei auf deinem Rechner ab und trage alles ein, was zu schreiben ist. Zum Zeichnen des Graphens druckst du das fertig ausgefüllte Blatt aus.''}}

Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit f(x) = ax². Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!).

Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.

|width=20px|
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" />
|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station3

2011-05-12T19:00:18Z

BirgitLachner: /* (Rein-)Quadratische Funktionen */

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen AbschlussÜbung

2011-03-29T12:25:04Z

BirgitLachner: /* Beantworte die Fragen rund um Scheitel und Nullstellen */

Hier eine Sammlung gemischter Übungen zu Parabeln. Es wird alles auf verschiedene Art und Weise wiederholt.

== Wiederholung: Durchführung einer quadratischen Ergänzung ==

== Finde anhand der Nullstellen den Funktionsterm ==

== Bestimme den Scheitel zu dem gegebenen Funktionsterm ==

== Beantworte die Fragen rund um Scheitel und Nullstellen ==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 5: Multiple Choice'''</big>

'''Kreuze die zutreffenden Aussagen an. Es können mehrere Antworten richtig sein. '''
<div class="multiplechoice-quiz">
'''Die Parabel mit der Gleichung y=(x-2)² hat ...''' (!keine Nullstelle.) (... eine Nullstelle) (... zwei Nullstellen)

'''Eine Parabel mit den Nullstellen bei x1 = - 2 und x2 = 4''' (!hat den Scheitel bei xS = 3) (!hat keinen Scheitel) (hat den Scheitel bei xS = 1) (hat den Scheitel bei y = 0)

'''Der Scheitel bei der Parabel mit der Gleichung f(x) = x²- 7x + 15''' (!kann nicht bestimmt werden.) (kann durch die pq-Formel berechnet werden.) (!existiert nicht)

'''Wie lautet die Gleichung einer verschobenen Normalparabel, die einen Scheitel bei (2|3) hat und nach unten geöffnet ist.''' (f(x)=-(x+2)²+3) (!f(x)=-x²+2x-3)
</div>
</div>

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen AbschlussÜbung

2011-03-29T12:11:52Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „Hier eine Sammlung gemischter Übungen zu Parabeln. Es wird alles auf verschiedene Art und Weise wiederholt. == Wiederholung: Durchführung einer quadratischen E…“

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station3

2011-03-28T18:27:49Z

BirgitLachner: /* (Rein-)Quadratische Funktionen */

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station3

2011-03-28T18:23:05Z

BirgitLachner: /* (Rein-)Quadratische Funktionen */ Anmerkung zu Arbeitsblatt ergänzt

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station3

2011-03-28T18:21:52Z

BirgitLachner: /* (Rein-)Quadratische Funktionen */

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station10

2011-03-28T11:14:37Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „<center>Falls es Probleme mit der Ansicht gibt, bitte Firefox als Browser verwenden!</center> == Übungen…“

<center>Falls es Probleme mit der Ansicht gibt, bitte [[:zw:Firefox|Firefox]] als Browser verwenden!</center>

== Übungen 3 ==

{|
|-
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 1: Anhalteweg'''</big>

Die Funktion '''s(v) = 0,1v2 + 1,5v''' ist ein Beispiel für eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen der anfänglichen Geschwindigkeit eines Fahrzeuges in m/s und dem Anhalteweg für einen konkreten Bremsvorgang angibt.

#Welchen Wert hat in diesem Beispiel die Reaktionszeit tR?
#Welchen Wert hat die Bremsbeschleunigung aB?
#Wie lang ist der Anhalteweg bei einer anfänglichen Geschwindigkeit von 72 km/h (also 20 m/s)?
#Wie könnte der Anhalteweg verringert werden?
 
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 {{Lösung versteckt|1=
#1,5v steht für den Reaktionsweg, d.h. tR = 1,5 s
#<math>\frac{1}{2a_B} = 0,1 </math> <=> <math>\frac{1}{2a_B} = \frac{1}{10} </math> <=> 2aB = 10 <=> aB = 5 (m/s2)
#s(20) = 0,1·202 + 1,5·20 = 40 + 30 = 70 (m)
#Bremsbeschleunigung erhöhen (besserer Fahrbahnbelag, gute Reifen), Reaktionszeit verringern (erhöhte Aufmerksamkeit, Bremsentechnik), Geschwindigkeit reduzieren
}}
</div>
</div>

|}

{|

|-
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 2: Bestimme a und b'''</big>

{|
|width=395px|

Die Parabel hat die Funktionsgleichung '''f(x) = ax2 + bx'''.

Finde heraus, welche Werte a und b besitzen und erkläre wie du vorgegangen bist.

<div style="padding:1px;background:#ffffff;border:0px groove;">
'''Hilfe:''' {{Versteckt|1=
Lies die Koordinaten zweier Punkte aus dem Graphen ab und setze sie in die Funktionsgleichung ein.
}}
</div>
 
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 {{Lösung versteckt|1=
Die Punkte (4/0) und (2/-2) liegen auf der Parabel, es gilt also
:* 0 = a·42 + b·4 --> b = - 4a
:* - 2 = a·22 + b·2 --> b = -1 - 2a
daraus folgt -4a = -1 -2a --> '''a = 0,5 und b = - 2'''
}}
</div>
|}

|width=10px|
|valign="top" |
[[Bild:Üb2_Parabel_7.jpg|380px]]
</div>

|}

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;">
<big>'''Aufgabe 3: Term und Graph zuordnen'''</big>

'''Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.'''

<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
| [[Bild:Üb2_Parabel1.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel6.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel3.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel5.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel4.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel2.jpg|150px]]
|-
| x2 + 2x || 0,5x2 + 2x || -x2 + 2x || 0,5x2 - 2x || -x2 - 2x || x2 - 2x
|}
</div>
</div>
 
{|
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;">
<big>'''Aufgabe 4'''</big>

'''Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.'''
|<div class="multiplechoice-quiz">
'''f(x) = 2x2 - 4x''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [-1|6] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [-1|-2] liegt auf dem Graphen.)

'''f(x) = - 0,25x2 + 3x''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|5] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|7] liegt auf dem Graphen.)

'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (!7x2 und -7x2) (7x2 - 2x und 7x2 + 2x) (!7x2 - 2x und -7x2 + 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2) (-7x2 + 2x und -7x2 - 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2x)
</div>
</div>
|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station12

2011-03-28T11:12:37Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „<center>Falls es Probleme mit der Ansicht gibt, bitte Firefox als Browser verwenden!</center> ==Übungen …“

<center>Falls es Probleme mit der Ansicht gibt, bitte [[:zw:Firefox|Firefox]] als Browser verwenden!</center>

==Übungen 4==

{|
|-
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 1: Funktionsterm finden'''</big>
{|
|width=300px|

Die Parabel hat die Funktionsgleichung

'''f(x) = ax2 + bx + c'''.

Welcher Funktionsterm passt?
<div class="multiplechoice-quiz">

(-0,5x2 + 2x - 1) (!0,5x2 - 2x + 3) (!-2x2 + 8x - 7) (!-0,5x2 + 2x + 1) (!0,5x2 - 2x - 1)
</div>

|width=20px|
|valign="top" |
[[Bild:Üb3_Parabel_5.jpg|380px]]
</div>

|}
 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 2: Term und Graph zuordnen'''</big>

'''Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.'''
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
| [[Bild:Üb3_Parabel_1.jpg]] || [[Bild:Üb3_Parabel_3.jpg]] || [[Bild:Üb3_Gerade_1.jpg]] || [[Bild:Üb3_Parabel_4.jpg|150px]] || [[Bild:Üb3_Gerade_2.jpg|150px]] || [[Bild:Üb3_Parabel_2.jpg|150px]]
|-
| x2 + 3 || -x2 + 3 || -x + 3 || -x2 - 3 || x - 3 || x2 - 3
|}

</div></div>
 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 3: Multiple Choice'''</big>

'''Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.'''
<div class="multiplechoice-quiz">

'''f(x) = –2x2 + 3x – 4''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|-6] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [1|1] liegt nicht auf dem Graphen.)

'''Welche Terme gehören zu einer Funktion, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist?''' (7x2) (7x2 - 2) (7x2 + 3) (!7x2 - 2x) (!7x2 + 3x) (!7x2 - 2x + 3)

'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (!7x2 und -7x2) (7x2 - 2x und 7x2 + 2x) (!7x2 - 2x und -7x2 + 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2) (-7x2 + 2x und -7x2 - 2x)

'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der x-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (7x2 und -7x2) (!7x2 - 2x und 7x2 + 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2) (7x2 - 2 und -7x2 + 2) (!7x2 - 2 und -7x2 + 2x)
</div></div>

 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 4: Memo-Quiz'''</big>

Finde die richtigen Paare - je ein Funktionsterm und ein Funktionsgraph gehören zusammen. Achte auf die wesentlichen Eigenschaften der Funktion (Öffnung der Parabel, Lage des Scheitels, Nullstellen).

:::{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="600"|
<div class="memo-quiz">

{|
|-
| <big> '''f(x) = x2 + 3'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_1a.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = -x2 + 3'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_3a.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = 3x2'''</big> || [[Bild:Parabel_a_3a.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = 0,2x2'''</big> || [[Bild:Parabel_a_0_2a.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = x2 + 2x''' </big> || [[Bild:Üb3_Parabel_6.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = –x2 + 2x'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_7.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = x2 – 2x – 3''' </big> || [[Bild:Üb3_Parabel_8.jpg|120px]]
|-
| <big> '''f(x) = –x2 – 2x + 3'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_9.jpg|120px]]
|}

</div>

|}
</div>

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station1

2011-03-27T17:04:01Z

BirgitLachner:

=== Einstieg ===
[[Bild:YouTube_Bremsentest.jpg|right|300px]]
'''Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?''' Was meinst du?

Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem [http://www.wdr.de/tv/kopfball/sendungsbeitraege/2008/0406/bremsweg.jsp Video aus der Sendung] findest du eine Antwort!! ''Wenn du dir das Video in der Schule anschaust, benutze bitte Kopfhörer und stelle die Lautsprecher leiser.''

{{Hefteintrag|
Bei der weiteren Bearbeitung dieser Station musst du dir folgendes unbedingt aufschreiben:
*Welche Formel wird in der Fahrschule herkömmlicherweise zur Berechnung des Bremsweges verwendet?
*Erläutere den Begriff "Bremsbeschleunigung".
*Welche (exaktere) Formel berücksichtigt auch die Bremsbeschleunigung?}}

=== Tabelle, Graph und Formel ===

Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?

Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:

:{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "right"|Geschwindigkeit '''''v''''' ''(in km/h)''
|align = "right"|10
|align = "right"|20
|align = "right"|30
|align = "right"|40
|align = "right"|50
|align = "right"|80
|align = "right"|100
|align = "right"|120

|-
|align = "right"|       Bremsweg '''''s''''' ''(in m)''
|align = "right"|1
|align = "right"|4
|align = "right"|9
|align = "right"|16
|align = "right"|25
|align = "right"|64
|align = "right"|100
|align = "right"|144

|}

 

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
#Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem in deinem Heft dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit '''''v''''' (in km/h) und nach oben den Bremsweg '''''s''''' (in m) ein.
#Verbinde die Punkte mit einer Linie zu einem Funktionsgraphen (der "gerundet" aussehen soll, also keine "Ecken" haben sollte).
#Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.
}}
'''Lösung:''' Starte GeoGebra mit dem folgenden Knopf, um die fertige Zeichnung zu sehen: <ggb_applet height="31" width="130" type="button" filename="bremsweg01.ggb" />

 

{{Arbeiten|NUMMER=2|
ARBEIT=
#Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man den Bremsweg '''s''' aus der Geschwindigkeit '''v''' berechnen kann.
#In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (also ''Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10'').
:Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.}}
:{{Lösung versteckt|1=
#z.B. <math>s = 0,01 \cdot v^2</math> oder <math>s = \frac{v^2}{100}</math>(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h) 
#Fahrschulformel: <math>s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2</math>. Die Formeln stimmen also überein. 
: ''Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.''
}}

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="600"|In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.[[Bild:unfall1.gif|right]]
|align = "right"| 
|align = "right"|
[[Bild:Bundesarchiv Bild 183-J0710-0303-012, Wismar, Wendorf, Kinder mit Ball.jpg|200px]]
|}

{{Arbeiten|NUMMER=3|
ARBEIT=
#Entscheide mit Hilfe der oben angegebenen Tabelle, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte. 
#Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt, indem du die Formel für s aus der letzten Aufgabe verwendet.
{{Tipp versteckt|Schreibe dir die Formel zur Berechnung des Bremsweges aus der Geschwindigkeit auf, setze den bekannten Wert '''''s''''', also den Bremsweg, ein und löse nach '''''v''''' auf. }}}}
:{{Lösung versteckt|1=
#Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen. 
#<math>30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55</math>
:Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.
:''Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!'' 
}}
 

=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.

Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel: 
      
      
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>
    (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und aB = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.

''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />

 

{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Wie muss aB gewählt werden, damit ...
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?

Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.

:{{Lösung versteckt|1=
#aB = 3,25 m/s2
#aB = 5,71 m/s2
#aB = 1,73 m/s2
}}
}}

In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung aB von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.

{|

|valign="top"|
{{Arbeiten|
NUMMER=5|
ARBEIT=
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei
#60%,
#75%
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?

Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.

:{{Lösung versteckt|1=

Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

Bremswege:
:s(60%) = 49 m
:s(75%) = 47 m
:s(100%) = 37 m

Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:
#aB = 7,87 m/s2
#aB = 8,21 m/s2
#aB = 10,43 m/s2

andere Möglichkeit:
Formel nach aB auflösen

:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math>

dann die Werte einsetzen

Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!

v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

}}
}}
|valign="top"|
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}
|}

:>>''[http://wiki.zum.de/Benutzer:SilkeM%C3%BCller Zurück zur Startseite des Lernpfades von Frau Müller]''

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station1

2011-03-27T16:40:07Z

BirgitLachner:

=== Einstieg ===
[[Bild:YouTube_Bremsentest.jpg|right|300px]]
'''Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?''' Was meinst du?

Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem [http://www.wdr.de/tv/kopfball/sendungsbeitraege/2008/0406/bremsweg.jsp Video aus der Sendung] findest du eine Antwort!! ''Wenn du dir das Video in der Schule anschaust, benutze bitte Kopfhörer und stelle die Lautsprecher leiser.''

{{Hefteintrag|
Bei der weiteren Bearbeitung dieser Station musst du dir folgendes unbedingt aufschreiben:
*Welche Formel wird in der Fahrschule herkömmlicherweise zur Berechnung des Bremsweges verwendet?
*Erläutere den Begriff "Bremsbeschleunigung".
*Welche (exaktere) Formel berücksichtigt auch die Bremsbeschleunigung?}}

=== Tabelle, Graph und Formel ===

Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?

Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:

:{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "right"|Geschwindigkeit '''''v''''' ''(in km/h)''
|align = "right"|10
|align = "right"|20
|align = "right"|30
|align = "right"|40
|align = "right"|50
|align = "right"|80
|align = "right"|100
|align = "right"|120

|-
|align = "right"|       Bremsweg '''''s''''' ''(in m)''
|align = "right"|1
|align = "right"|4
|align = "right"|9
|align = "right"|16
|align = "right"|25
|align = "right"|64
|align = "right"|100
|align = "right"|144

|}

 

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
#Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem in deinem Heft dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit '''''v''''' (in km/h) und nach oben den Bremsweg '''''s''''' (in m) ein.
#Verbinde die Punkte mit einer Linie zu einem Funktionsgraphen (der "gerundet" aussehen soll, also keine "Ecken" haben sollte).
#Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.
}}
'''Lösung:''' Starte GeoGebra mit dem folgenden Knopf, um die fertige Zeichnung zu sehen: <ggb_applet height="31" width="130" type="button" filename="bremsweg01.ggb" />

 

{{Arbeiten|NUMMER=2|
ARBEIT=
#Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man den Bremsweg '''s''' aus der Geschwindigkeit '''v''' berechnen kann.
#In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (also ''Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10'').
:Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.}}
:{{Lösung versteckt|1=
#z.B. <math>s = 0,01 \cdot v^2</math> oder <math>s = \frac{v^2}{100}</math>(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h) 
#Fahrschulformel: <math>s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2</math>. Die Formeln stimmen also überein. 
: ''Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.''
}}

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="600"|In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.[[Bild:unfall1.gif|right]]
|align = "right"| 
|align = "right"|
[[Bild:Bundesarchiv Bild 183-J0710-0303-012, Wismar, Wendorf, Kinder mit Ball.jpg|200px]]
|}

{{Arbeiten|NUMMER=3|
ARBEIT=
#Entscheide mit Hilfe der oben angegebenen Tabelle, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte. 
#Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt, indem du die Formel für s aus der letzten Aufgabe verwendet.
{{Tipp versteckt|Schreibe dir die Formel zur Berechnung des Bremsweges aus der Geschwindigkeit auf, setze den bekannten Wert '''''s''''', also den Bremsweg, ein und löse nach '''''v''''' auf. }}}}
:{{Lösung versteckt|1=
#Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen. 
#<math>30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55</math>
:Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.
:''Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!'' 
}}
 

=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.

Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel: 
      
      
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>
    (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und aB = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.

''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />

 

{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Wie muss aB gewählt werden, damit ...
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?

Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.

:{{Lösung versteckt|1=
#aB = 3,25 m/s2
#aB = 5,71 m/s2
#aB = 1,73 m/s2
}}
}}

In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung aB von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.

{|

|valign="top"|
{{Arbeiten|
NUMMER=5|
ARBEIT=
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei
#60%,
#75%
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?

Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.

:{{Lösung versteckt|1=

Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

Bremswege:
:s(60%) = 49 m
:s(75%) = 47 m
:s(100%) = 37 m

Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:
#aB = 7,87 m/s2
#aB = 8,21 m/s2
#aB = 10,43 m/s2

andere Möglichkeit:
Formel nach aB auflösen

:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math>

dann die Werte einsetzen

Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!

v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

}}
}}
|valign="top"|
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}
|}

:>>''[http://wiki.zum.de/Benutzer:SilkeM%C3%BCller Zurück zur Startseite des Lernpfades von Frau Müller]''

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station1

2011-03-27T16:37:02Z

BirgitLachner:

=== Einstieg ===
[[Bild:YouTube_Bremsentest.jpg|right|300px]]
'''Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?''' Was meinst du?

Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem [http://www.wdr.de/tv/kopfball/sendungsbeitraege/2008/0406/bremsweg.jsp Video aus der Sendung] findest du eine Antwort!! ''Wenn du dir das Video in der Schule anschaust, benutze bitte Kopfhörer und stelle die Lautsprecher leiser.''

{{Hefteintrag|
Bei der weiteren Bearbeitung dieser Station musst du dir folgendes unbedingt aufschreiben:
*Welche Formel wird in der Fahrschule herkömmlicherweise zur Berechnung des Bremsweges verwendet?
*Erläutere den Begriff "Bremsbeschleunigung".
*Welche (exaktere) Formel berücksichtigt auch die Bremsbeschleunigung?}}

=== Tabelle, Graph und Formel ===

Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?

Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:

:{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "right"|Geschwindigkeit '''''v''''' ''(in km/h)''
|align = "right"|10
|align = "right"|20
|align = "right"|30
|align = "right"|40
|align = "right"|50
|align = "right"|80
|align = "right"|100
|align = "right"|120

|-
|align = "right"|       Bremsweg '''''s''''' ''(in m)''
|align = "right"|1
|align = "right"|4
|align = "right"|9
|align = "right"|16
|align = "right"|25
|align = "right"|64
|align = "right"|100
|align = "right"|144

|}

 

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
#Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem in deinem Heft dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit '''''v''''' (in km/h) und nach oben den Bremsweg '''''s''''' (in m) ein.
#Verbinde die Punkte mit einer Linie zu einem Funktionsgraphen (der "gerundet" aussehen soll, also keine "Ecken" haben sollte).
#Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.
}}
'''Lösung:''' Starte GeoGebra mit dem folgenden Knopf, um die fertige Zeichnung zu sehen: <ggb_applet height="31" width="130" type="button" filename="bremsweg01.ggb" />

 

{{Arbeiten|NUMMER=2|
ARBEIT=
#Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man den Bremsweg '''s''' aus der Geschwindigkeit '''v''' berechnen kann.
#In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (also ''Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10'').
:Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.}}
:{{Lösung versteckt|1=
#z.B. <math>s = 0,01 \cdot v^2</math> oder <math>s = \frac{v^2}{100}</math>(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h) 
#Fahrschulformel: <math>s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2</math>. Die Formeln stimmen also überein. 
: ''Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.''
}}

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="600"|In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.[[Bild:unfall1.gif|right]]
|align = "right"| 
|align = "right"|
[[Bild:Bundesarchiv Bild 183-J0710-0303-012, Wismar, Wendorf, Kinder mit Ball.jpg|200px]]
|}

{{Arbeiten|NUMMER=3|
ARBEIT=
#Entscheide mit Hilfe der oben angegebenen Tabelle, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte. 
#Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt, indem du die Formel für s aus der letzten Aufgabe verwendet.
{{Tipp versteckt|Schreibe dir die Formel zur Berechnung des Bremsweges aus der Geschwindigkeit auf, setze den bekannten Wert '''''s''''', also den Bremsweg, ein und löse nach '''''v''''' auf. }}}}
:{{Lösung versteckt|1=
#Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen. 
#<math>30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55</math>
:Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.
:''Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!'' 
}}
 

=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.

Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel: 
      
      
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>
    (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und aB = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.

''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />
 

 
 
{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Wie muss aB gewählt werden, damit ...
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?

Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.

:{{Lösung versteckt|1=
#aB = 3,25 m/s2
#aB = 5,71 m/s2
#aB = 1,73 m/s2
}}
}}

In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung aB von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.

{|

|valign="top"|
{{Arbeiten|
NUMMER=5|
ARBEIT=
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei
#60%,
#75%
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?

Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.

:{{Lösung versteckt|1=

Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

Bremswege:
:s(60%) = 49 m
:s(75%) = 47 m
:s(100%) = 37 m

Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:
#aB = 7,87 m/s2
#aB = 8,21 m/s2
#aB = 10,43 m/s2

andere Möglichkeit:
Formel nach aB auflösen

:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math>

dann die Werte einsetzen

Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!

v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

}}
}}
|valign="top"|
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}

|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station3

2011-03-27T14:16:41Z

BirgitLachner: /* (Rein-)Quadratische Funktionen */

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station3

2011-03-27T14:11:19Z

BirgitLachner: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station3

2011-03-27T14:02:38Z

BirgitLachner: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */

'''Nun wieder zurück zum Thema Bremsweg:'''

Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.

Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:

<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.

Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:

{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v2, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?
}}

=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.

 

{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:
Was passiert, wenn ...
# ... a größer als 1 ist?
# ... a zwischen 0 und 1 liegt?
# ... a negativ ist?
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².

:{{Lösung versteckt|1=
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.
}}
}}
|width=20px|
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" />

 
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!).

Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.

|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station4

2011-03-27T14:00:40Z

BirgitLachner:

<center>Falls es Probleme mit der Ansicht gibt, bitte [[:zw:Firefox|Firefox]] als Browser verwenden!</center>

__NOTOC__
{|
<big>'''Aufgabe 1: Wie war das Wetter?'''</big>
|Die zulässige Höchstgeschwindigkeit beträgt innerhalb geschlossener Ortschaften 50 km/h. Unter idealen Bedingungen sollte ein Pkw in einer Gefahrensituation rechtzeitig vor Erreichen der Gefahrenstelle bremsen können. Der Wert der Bremsbeschleunigung aB und damit die Länge des Bremsweges ist aber u.a. abhängig von den Straßenverhältnissen. In der Tabelle sind einige Werte für die Bremsbeschleunigung eines Pkws auf einer asphaltierten Straße bei unterschiedlichen Witterungsverhältnissen angegeben.

Ordne dem gegebenen Bremsweg s die passende Bremsbeschleunigung aB und die Straßenverhältnisse zu.

'''Tipp:''' Du kannst die Übung durch Rechnen, mit Hilfe eines GeoGebra-Applets oder durch Nachdenken lösen.

|width="20px"|
|valign=top|
{| class="prettytable"
!Straßenverhältnisse
!Bremsbeschleunigung aB in m/s2
|-
|Asphalt trocken
| align="center" | 6,5 bis 7,5
|-
|Asphalt nass
| align="center" | 5,0 bis 6,5
|-
|Neuschnee
| align="center" | 2,0 bis 3,0
|-
|Glatteis
| align="center" | 1,0 bis 1,5
|}

|}

<div class="zuordnungs-quiz">

{|
| s = 13 m || aB = 7,4 m/s2 || trockener Asphalt
|-
| s = 18 m || aB = 5,4 m/s2 || nasser Asphalt
|-
| s = 80 m || aB = 1,2 m/s2 || Glatteis
|-
| s = 37 m || aB = 2,6 m/s2 || Neuschnee
|}

</div>

 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 2: Lückentext'''</big>
<div class="lueckentext-quiz">
Die Graph der Funktion f mit f(x)=ax² heißt Parabel . Ist a = 1, so heißt der Graph Normalparabel. 
Quadratische Funktionen mit dem Funktionsterm ax² liegen symmetrisch zur y-Achse. 
Der Punkt S (0;0) heißt Scheitel . 
Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel. 
Für a>0 gilt: Je kleiner a ist, desto weiter ist die Parabel. 
</div>
 
 

</div>
 

{|

|-
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 3: Bestimme a'''</big>

Die beiden Parabeln haben die Funktionsgleichung '''f(x) = ax2'''.

Finde jeweils heraus, welchen Wert a besitzt und erkläre wie du vorgegangen bist.
{|
|width=400px|

[[Bild:Üb1_Parabel1.jpg|395px]]

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 {{Lösung versteckt|1=
:#Der Punkt (4/4) liegt auf der Parabel.
:#Es gilt also 4 = a·42.
:#Damit ist a = 0,25.
}}
</div>
|width=10px|
|valign="top" |
[[Bild:Üb1_Parabel2.jpg|395px]]
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 {{Lösung versteckt|1=
:#Der Punkt (1/-3) liegt auf der Parabel
:#Es gilt also -3 = a·12
:#Damit ist a = - 3.
}}
</div>
|}
</div>

|}
 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 4: Term und Graph zuordnen'''</big>

Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.
<div class="lueckentext-quiz">

{|
|-
| [[Bild:Parabel_a_0_5a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_2a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_3a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_0_75a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_1_25a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_0_2a.jpg|150px]]
|-
| 0,5x2 || 2x2 || 3x2 || 0,75x2 || 1,25x2 || 0,2x2 
|}

</div>
</div>
 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 5: Multiple Choice'''</big>

'''Kreuze die zutreffenden Aussagen an. Es sind jeweils mehrere Antworten richtig. '''
<div class="multiplechoice-quiz">
'''f(x) = 3,5x2''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|14] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [14|2] liegt nicht auf dem Graphen.)

'''f(x) = - 0,5x2''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|-2] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|2] liegt auf dem Graphen.)

'''f(x) = - 2x2''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (!Der Punkt [0|-2] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [1|2] liegt oberhalb des Graphen.)

'''f(x) = 0,2x2''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (!Der Punkt [-1|2] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [-1|1] liegt oberhalb des Graphen.)
</div>
</div>

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station4

2011-03-27T13:55:49Z

BirgitLachner:

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station4

2011-03-27T13:55:35Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> [[Benutzer:BirgitLachner/…“

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
[[Benutzer:BirgitLachner/Lernpfad_Parabeln|Einführung]] - [[Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen - Bremsweg|Bremsweg]] - [[Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen - Übungen 1|Übungen 1]] - [[Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen - Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen - Übungen 2|Übungen 2]] - [[Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen - allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen - Übungen 3|Übungen 3]]
</div>

<center>Falls es Probleme mit der Ansicht gibt, bitte [[:zw:Firefox|Firefox]] als Browser verwenden!</center>

__NOTOC__
{|
<big>'''Aufgabe 1: Wie war das Wetter?'''</big>
|Die zulässige Höchstgeschwindigkeit beträgt innerhalb geschlossener Ortschaften 50 km/h. Unter idealen Bedingungen sollte ein Pkw in einer Gefahrensituation rechtzeitig vor Erreichen der Gefahrenstelle bremsen können. Der Wert der Bremsbeschleunigung aB und damit die Länge des Bremsweges ist aber u.a. abhängig von den Straßenverhältnissen. In der Tabelle sind einige Werte für die Bremsbeschleunigung eines Pkws auf einer asphaltierten Straße bei unterschiedlichen Witterungsverhältnissen angegeben.

Ordne dem gegebenen Bremsweg s die passende Bremsbeschleunigung aB und die Straßenverhältnisse zu.

'''Tipp:''' Du kannst die Übung durch Rechnen, mit Hilfe eines GeoGebra-Applets oder durch Nachdenken lösen.

|width="20px"|
|valign=top|
{| class="prettytable"
!Straßenverhältnisse
!Bremsbeschleunigung aB in m/s2
|-
|Asphalt trocken
| align="center" | 6,5 bis 7,5
|-
|Asphalt nass
| align="center" | 5,0 bis 6,5
|-
|Neuschnee
| align="center" | 2,0 bis 3,0
|-
|Glatteis
| align="center" | 1,0 bis 1,5
|}

|}

<div class="zuordnungs-quiz">

{|
| s = 13 m || aB = 7,4 m/s2 || trockener Asphalt
|-
| s = 18 m || aB = 5,4 m/s2 || nasser Asphalt
|-
| s = 80 m || aB = 1,2 m/s2 || Glatteis
|-
| s = 37 m || aB = 2,6 m/s2 || Neuschnee
|}

</div>

 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 2: Lückentext'''</big>
<div class="lueckentext-quiz">
Die Graph der Funktion f mit f(x)=ax² heißt Parabel . Ist a = 1, so heißt der Graph Normalparabel. 
Quadratische Funktionen mit dem Funktionsterm ax² liegen symmetrisch zur y-Achse. 
Der Punkt S (0;0) heißt Scheitel . 
Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel. 
Für a>0 gilt: Je kleiner a ist, desto weiter ist die Parabel. 
</div>
 
 

</div>
 

{|

|-
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 3: Bestimme a'''</big>

Die beiden Parabeln haben die Funktionsgleichung '''f(x) = ax2'''.

Finde jeweils heraus, welchen Wert a besitzt und erkläre wie du vorgegangen bist.
{|
|width=400px|

[[Bild:Üb1_Parabel1.jpg|395px]]

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 {{Lösung versteckt|1=
:#Der Punkt (4/4) liegt auf der Parabel.
:#Es gilt also 4 = a·42.
:#Damit ist a = 0,25.
}}
</div>
|width=10px|
|valign="top" |
[[Bild:Üb1_Parabel2.jpg|395px]]
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 {{Lösung versteckt|1=
:#Der Punkt (1/-3) liegt auf der Parabel
:#Es gilt also -3 = a·12
:#Damit ist a = - 3.
}}
</div>
|}
</div>

|}
 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 4: Term und Graph zuordnen'''</big>

Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.
<div class="lueckentext-quiz">

{|
|-
| [[Bild:Parabel_a_0_5a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_2a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_3a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_0_75a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_1_25a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_0_2a.jpg|150px]]
|-
| 0,5x2 || 2x2 || 3x2 || 0,75x2 || 1,25x2 || 0,2x2 
|}

</div>
</div>
 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
<big>'''Aufgabe 5: Multiple Choice'''</big>

'''Kreuze die zutreffenden Aussagen an. Es sind jeweils mehrere Antworten richtig. '''
<div class="multiplechoice-quiz">
'''f(x) = 3,5x2''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|14] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [14|2] liegt nicht auf dem Graphen.)

'''f(x) = - 0,5x2''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|-2] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|2] liegt auf dem Graphen.)

'''f(x) = - 2x2''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (!Der Punkt [0|-2] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [1|2] liegt oberhalb des Graphen.)

'''f(x) = 0,2x2''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (!Der Punkt [-1|2] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [-1|1] liegt oberhalb des Graphen.)
</div>
</div>

----
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes beschäftigst du dich mit dem Anhalteweg.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen - Anhalteweg|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station3

2011-03-27T13:43:09Z

BirgitLachner:

'''Nun wieder zurück zum Thema Bremsweg:'''

Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.

Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:

<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.

Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:

{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v2, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?
}}

=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.

{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=ax^2</math> heißen '''Parabeln'''.

Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.

Ist <math>a = 1</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''.
}}
 

{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:
Was passiert, wenn ...
# ... a größer als 1 ist?
# ... a zwischen 0 und 1 liegt?
# ... a negativ ist?
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².

:{{Lösung versteckt|1=
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.
}}
}}
|width=20px|
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" />

 
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!).

Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.

|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station3

2011-03-27T13:41:05Z

BirgitLachner: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */

'''Nun wieder zurück zum Thema Bremsweg:'''

Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.

Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:

<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.

Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:

{{Arbeiten|
NUMMER=3|
ARBEIT=
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v2, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?

:{{Lösung versteckt|1=
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn aB größer wird. Wenn aB größer wird, verläuft der Graph flacher.
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn aB kleiner wird. Wenn aB kleiner wird, verläuft der Graph steiler.

}}
}}

=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.

{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=ax^2</math> heißen '''Parabeln'''.

Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.

Ist <math>a = 1</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''.
}}
 

{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:
Was passiert, wenn ...
# ... a größer als 1 ist?
# ... a zwischen 0 und 1 liegt?
# ... a negativ ist?
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².

:{{Lösung versteckt|1=
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.
}}
}}
|width=20px|
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" />

 
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!).

Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.

|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station3

2011-03-27T13:39:53Z

BirgitLachner:

'''Nun wieder zurück zum Thema Bremsweg:'''

Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.

Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:

<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.

Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:

{{Arbeiten|
NUMMER=3|
ARBEIT=
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v2, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?

:{{Lösung versteckt|1=
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn aB größer wird. Wenn aB größer wird, verläuft der Graph flacher.
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn aB kleiner wird. Wenn aB kleiner wird, verläuft der Graph steiler.

}}
}}

=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.

{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=ax^2</math> heißen '''Parabeln'''.

Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.

Ist <math>a = 1</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''.
}}
 

{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:
Was passiert, wenn ...
# ... a größer als 1 ist?
# ... a zwischen 0 und 1 liegt?
# ... a negativ ist?
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².

:{{Lösung versteckt|1=
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.
}}
}}
|width=20px|
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" />

 
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!).

Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.

|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station3

2011-03-27T13:39:39Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „Nun wieder zurück zum Thema Bremsweg: Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analy…“

Nun wieder zurück zum Thema Bremsweg:

Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.

Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:

<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.

Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:

{{Arbeiten|
NUMMER=3|
ARBEIT=
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v2, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?

:{{Lösung versteckt|1=
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn aB größer wird. Wenn aB größer wird, verläuft der Graph flacher.
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn aB kleiner wird. Wenn aB kleiner wird, verläuft der Graph steiler.

}}
}}

=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.

{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=ax^2</math> heißen '''Parabeln'''.

Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.

Ist <math>a = 1</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''.
}}
 

{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:
Was passiert, wenn ...
# ... a größer als 1 ist?
# ... a zwischen 0 und 1 liegt?
# ... a negativ ist?
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².

:{{Lösung versteckt|1=
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.
}}
}}
|width=20px|
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" />

 
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!).

Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.

|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station2

2011-03-27T13:39:19Z

BirgitLachner: Die Seite wurde geleert.

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station2

2011-03-27T13:38:22Z

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station1

2011-03-27T13:26:00Z

BirgitLachner:

=== Einstieg ===
[[Bild:YouTube_Bremsentest.jpg|right|300px]]
'''Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?''' Was meinst du?

Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem [http://www.wdr.de/tv/kopfball/sendungsbeitraege/2008/0406/bremsweg.jsp Video aus der Sendung] findest du eine Antwort!! ''Wenn du dir das Video in der Schule anschaust, benutze bitte Kopfhörer und stelle die Lautsprecher leiser.''

{{Hefteintrag|
Bei der weiteren Bearbeitung dieser Station musst du dir folgendes unbedingt aufschreiben:
*Welche Formel wird in der Fahrschule herkömmlicherweise zur Berechnung des Bremsweges verwendet?
*Erläutere den Begriff "Bremsbeschleunigung".
*Welche (exaktere) Formel berücksichtigt auch die Bremsbeschleunigung?}}

=== Tabelle, Graph und Formel ===

Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?

Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:

:{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "right"|Geschwindigkeit '''''v''''' ''(in km/h)''
|align = "right"|10
|align = "right"|20
|align = "right"|30
|align = "right"|40
|align = "right"|50
|align = "right"|80
|align = "right"|100
|align = "right"|120

|-
|align = "right"|       Bremsweg '''''s''''' ''(in m)''
|align = "right"|1
|align = "right"|4
|align = "right"|9
|align = "right"|16
|align = "right"|25
|align = "right"|64
|align = "right"|100
|align = "right"|144

|}

 

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
#Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem in deinem Heft dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit '''''v''''' (in km/h) und nach oben den Bremsweg '''''s''''' (in m) ein.
#Verbinde die Punkte mit einer Linie zu einem Funktionsgraphen (der "gerundet" aussehen soll, also keine "Ecken" haben sollte).
#Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.
}}
'''Lösung:''' Starte GeoGebra mit dem folgenden Knopf, um die fertige Zeichnung zu sehen: <ggb_applet height="31" width="130" type="button" filename="bremsweg01.ggb" />

 

{{Arbeiten|NUMMER=2|
ARBEIT=
#Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man den Bremsweg '''s''' aus der Geschwindigkeit '''v''' berechnen kann.
#In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (also ''Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10'').
:Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.}}
:{{Lösung versteckt|1=
#z.B. <math>s = 0,01 \cdot v^2</math> oder <math>s = \frac{v^2}{100}</math>(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h) 
#Fahrschulformel: <math>s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2</math>. Die Formeln stimmen also überein. 
: ''Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.''
}}

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="600"|In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.[[Bild:unfall1.gif|right]]
|align = "right"| 
|align = "right"|
[[Bild:Bundesarchiv Bild 183-J0710-0303-012, Wismar, Wendorf, Kinder mit Ball.jpg|200px]]
|}

{{Arbeiten|NUMMER=3|
ARBEIT=
#Entscheide mit Hilfe der oben angegebenen Tabelle, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte. 
#Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt, indem du die Formel für s aus der letzten Aufgabe verwendet.
{{Tipp versteckt|Schreibe dir die Formel zur Berechnung des Bremsweges aus der Geschwindigkeit auf, setze den bekannten Wert '''''s''''', also den Bremsweg, ein und löse nach '''''v''''' auf. }}}}
:{{Lösung versteckt|1=
#Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen. 
#<math>30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55</math>
:Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.
:''Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!'' 
}}
 

=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.

Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel: 
      
      
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>
    (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und aB = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.

''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />
 

 
 
{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Wie muss aB gewählt werden, damit ...
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?

Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.

:{{Lösung versteckt|1=
#aB = 3,25 m/s2
#aB = 5,71 m/s2
#aB = 1,73 m/s2
}}
}}

In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung aB von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.

{|

|valign="top"|
{{Arbeiten|
NUMMER=5|
ARBEIT=
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei
#60%,
#75%
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?

Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.

:{{Lösung versteckt|1=

Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

Bremswege:<
:s(60%) = 49 m
:s(75%) = 47 m
:s(100%) = 37 m

Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:
#aB = 7,87 m/s2
#aB = 8,21 m/s2
#aB = 10,43 m/s2

andere Möglichkeit:
Formel nach aB auflösen

:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math>

dann die Werte einsetzen

Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!

v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

}}
}}
|valign="top"|
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}

|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station1

2011-03-27T13:22:26Z

BirgitLachner: /* Unterschiedliche Straßenverhältnisse */

=== Einstieg ===
[[Bild:YouTube_Bremsentest.jpg|right|300px]]
'''Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?''' Was meinst du?

Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem [http://www.wdr.de/tv/kopfball/sendungsbeitraege/2008/0406/bremsweg.jsp Video aus der Sendung] findest du eine Antwort!! ''Wenn du dir das Video in der Schule anschaust, benutze bitte Kopfhörer und stelle die Lautsprecher leiser.''

=== Tabelle, Graph und Formel ===

Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?

Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:

:{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "right"|Geschwindigkeit '''''v''''' ''(in km/h)''
|align = "right"|10
|align = "right"|20
|align = "right"|30
|align = "right"|40
|align = "right"|50
|align = "right"|80
|align = "right"|100
|align = "right"|120

|-
|align = "right"|       Bremsweg '''''s''''' ''(in m)''
|align = "right"|1
|align = "right"|4
|align = "right"|9
|align = "right"|16
|align = "right"|25
|align = "right"|64
|align = "right"|100
|align = "right"|144

|}

 

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
#Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem in deinem Heft dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit '''''v''''' (in km/h) und nach oben den Bremsweg '''''s''''' (in m) ein.
#Verbinde die Punkte mit einer Linie zu einem Funktionsgraphen (der "gerundet" aussehen soll, also keine "Ecken" haben sollte).
#Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.
}}
'''Lösung:''' Starte GeoGebra mit dem folgenden Knopf, um die fertige Zeichnung zu sehen: <ggb_applet height="31" width="130" type="button" filename="bremsweg01.ggb" />

 

{{Arbeiten|NUMMER=2|
ARBEIT=
#Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man den Bremsweg '''s''' aus der Geschwindigkeit '''v''' berechnen kann.
#In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (also ''Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10'').
:Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.}}
:{{Lösung versteckt|1=
#z.B. <math>s = 0,01 \cdot v^2</math> oder <math>s = \frac{v^2}{100}</math>(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h) 
#Fahrschulformel: <math>s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2</math>. Die Formeln stimmen also überein. 
: ''Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.''
}}

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="600"|In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.[[Bild:unfall1.gif|right]]
|align = "right"| 
|align = "right"|
[[Bild:Bundesarchiv Bild 183-J0710-0303-012, Wismar, Wendorf, Kinder mit Ball.jpg|200px]]
|}

{{Arbeiten|NUMMER=3|
ARBEIT=
#Entscheide mit Hilfe der oben angegebenen Tabelle, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte. 
#Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt, indem du die Formel für s aus der letzten Aufgabe verwendet.
{{Tipp versteckt|Schreibe dir die Formel zur Berechnung des Bremsweges aus der Geschwindigkeit auf, setze den bekannten Wert '''''s''''', also den Bremsweg, ein und löse nach '''''v''''' auf. }}}}
:{{Lösung versteckt|1=
#Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen. 
#<math>30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55</math>
:Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.
:''Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!'' 
}}
 

=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.

Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel: 
      
      
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>
    (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und aB = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.

''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />
 

 
 
{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Wie muss aB gewählt werden, damit ...
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?

Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.

:{{Lösung versteckt|1=
#aB = 3,25 m/s2
#aB = 5,71 m/s2
#aB = 1,73 m/s2
}}
}}

In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung aB von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.

{|

|valign="top"|
{{Arbeiten|
NUMMER=5|
ARBEIT=
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei
#60%,
#75%
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?

Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.

:{{Lösung versteckt|1=

Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

Bremswege:<
:s(60%) = 49 m
:s(75%) = 47 m
:s(100%) = 37 m

Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:
#aB = 7,87 m/s2
#aB = 8,21 m/s2
#aB = 10,43 m/s2

andere Möglichkeit:
Formel nach aB auflösen

:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math>

dann die Werte einsetzen

Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!

v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

}}
}}
|valign="top"|
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}

|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station1

2011-03-27T13:20:48Z

BirgitLachner:

=== Einstieg ===
[[Bild:YouTube_Bremsentest.jpg|right|300px]]
'''Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?''' Was meinst du?

Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem [http://www.wdr.de/tv/kopfball/sendungsbeitraege/2008/0406/bremsweg.jsp Video aus der Sendung] findest du eine Antwort!! ''Wenn du dir das Video in der Schule anschaust, benutze bitte Kopfhörer und stelle die Lautsprecher leiser.''

=== Tabelle, Graph und Formel ===

Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?

Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:

:{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "right"|Geschwindigkeit '''''v''''' ''(in km/h)''
|align = "right"|10
|align = "right"|20
|align = "right"|30
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|-
|align = "right"|       Bremsweg '''''s''''' ''(in m)''
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|align = "right"|64
|align = "right"|100
|align = "right"|144

|}

 

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
#Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem in deinem Heft dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit '''''v''''' (in km/h) und nach oben den Bremsweg '''''s''''' (in m) ein.
#Verbinde die Punkte mit einer Linie zu einem Funktionsgraphen (der "gerundet" aussehen soll, also keine "Ecken" haben sollte).
#Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.
}}
'''Lösung:''' Starte GeoGebra mit dem folgenden Knopf, um die fertige Zeichnung zu sehen: <ggb_applet height="31" width="130" type="button" filename="bremsweg01.ggb" />

 

{{Arbeiten|NUMMER=2|
ARBEIT=
#Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man den Bremsweg '''s''' aus der Geschwindigkeit '''v''' berechnen kann.
#In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (also ''Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10'').
:Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.}}
:{{Lösung versteckt|1=
#z.B. <math>s = 0,01 \cdot v^2</math> oder <math>s = \frac{v^2}{100}</math>(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h) 
#Fahrschulformel: <math>s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2</math>. Die Formeln stimmen also überein. 
: ''Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.''
}}

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="600"|In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.[[Bild:unfall1.gif|right]]
|align = "right"| 
|align = "right"|
[[Bild:Bundesarchiv Bild 183-J0710-0303-012, Wismar, Wendorf, Kinder mit Ball.jpg|200px]]
|}

{{Arbeiten|NUMMER=3|
ARBEIT=
#Entscheide mit Hilfe der oben angegebenen Tabelle, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte. 
#Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt, indem du die Formel für s aus der letzten Aufgabe verwendet.
{{Tipp versteckt|Schreibe dir die Formel zur Berechnung des Bremsweges aus der Geschwindigkeit auf, setze den bekannten Wert '''''s''''', also den Bremsweg, ein und löse nach '''''v''''' auf. }}}}
:{{Lösung versteckt|1=
#Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen. 
#<math>30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55</math>
:Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.
:''Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!'' 
}}
 

=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.

Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel: 
      
      
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>
    (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und aB = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.

''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />
 

 
 
{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Wie muss aB gewählt werden, damit ...
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?

Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.

:{{Lösung versteckt|1=
#aB = 3,25 m/s2
#aB = 5,71 m/s2
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}}
}}

In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung aB von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.

{|

|valign="top"|
{{Arbeiten|
NUMMER=5|
ARBEIT=
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei
#60%,
#75%
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?

Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.

:{{Lösung versteckt|1=

Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

Bremswege:<
:s(60%) = 49 m
:s(75%) = 47 m
:s(100%) = 37 m

Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:
#aB = 7,87 m/s2
#aB = 8,21 m/s2
#aB = 10,43 m/s2

andere Möglichkeit:
Formel nach aB auflösen

:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math>

dann die Werte einsetzen

Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!

v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

}}
}}
|valign="top"|
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}

|}

Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station1

2011-03-27T13:15:55Z

BirgitLachner:

=== Einstieg ===
[[Bild:YouTube_Bremsentest.jpg|right|300px]]
'''Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?''' Was meinst du?

Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem [http://www.wdr.de/tv/kopfball/sendungsbeitraege/2008/0406/bremsweg.jsp Video aus der Sendung] findest du eine Antwort!! ''Wenn du dir das Video in der Schule anschaust, benutze bitte Kopfhörer und stelle die Lautsprecher leiser.''

=== Tabelle, Graph und Formel ===

Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?

Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:

:{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "right"|Geschwindigkeit '''''v''''' ''(in km/h)''
|align = "right"|10
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|align = "right"|       Bremsweg '''''s''''' ''(in m)''
|align = "right"|1
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|align = "right"|25
|align = "right"|64
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|align = "right"|144

|}

 

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
#Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem in deinem Heft dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit '''''v''''' (in km/h) und nach oben den Bremsweg '''''s''''' (in m) ein.
#Verbinde die Punkte mit einer Linie zu einem Funktionsgraphen (der "gerundet" aussehen soll, also keine "Ecken" haben sollte).
#Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.
}}
'''Lösung:''' Starte GeoGebra mit dem folgenden Knopf, um die fertige Zeichnung zu sehen: <ggb_applet height="31" width="130" type="button" filename="bremsweg01.ggb" />

 

{{Arbeiten|NUMMER=2|
ARBEIT=
#Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man den Bremsweg '''s''' aus der Geschwindigkeit '''v''' berechnen kann.
#In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (also ''Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10'').
:Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.}}
:{{Lösung versteckt|1=
#z.B. <math>s = 0,01 \cdot v^2</math> oder <math>s = \frac{v^2}{100}</math>(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h) 
#Fahrschulformel: <math>s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2</math>. Die Formeln stimmen also überein. 
: ''Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.''
}}

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="600"|In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.[[Bild:unfall1.gif|right]]
|align = "right"| 
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[[Bild:Bundesarchiv Bild 183-J0710-0303-012, Wismar, Wendorf, Kinder mit Ball.jpg|200px]]
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{{Arbeiten|NUMMER=3|
ARBEIT=
#Entscheide mit Hilfe der oben angegebenen Tabelle, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte. 
#Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt, indem du die Formel für s aus der letzten Aufgabe verwendet.
{{Tipp versteckt|Schreibe dir die Formel zur Berechnung des Bremsweges aus der Geschwindigkeit auf, setze den bekannten Wert '''''s''''', also den Bremsweg, ein und löse nach '''''v''''' auf. }}}}
:{{Lösung versteckt|1=
#Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen. 
#<math>30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55</math>
:Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.
:''Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!'' 
}}
 

=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.

Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel: 
      
      
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>
    (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und aB = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.

''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />

  
 
 
 
{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Wie muss aB gewählt werden, damit ...
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?

Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.

:{{Lösung versteckt|1=
#aB = 3,25 m/s2
#aB = 5,71 m/s2
#aB = 1,73 m/s2
}}
}}

In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung aB von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.

{|

|valign="top"|
{{Arbeiten|
NUMMER=5|
ARBEIT=
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei
#60%,
#75%
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?

Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.

:{{Lösung versteckt|1=

Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

Bremswege:<
:s(60%) = 49 m
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:s(100%) = 37 m

Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:
#aB = 7,87 m/s2
#aB = 8,21 m/s2
#aB = 10,43 m/s2

andere Möglichkeit:
Formel nach aB auflösen

:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math>

dann die Werte einsetzen

Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!

v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

}}
}}
|valign="top"|
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}

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Benutzer:BirgitLachner/Quadratische Funktionen Station1

2011-03-27T13:13:59Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „=== Einstieg === 300px '''Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?''' Was meinst du? Diese Fr…“

=== Einstieg ===
[[Bild:YouTube_Bremsentest.jpg|right|300px]]
'''Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?''' Was meinst du?

Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem [http://www.wdr.de/tv/kopfball/sendungsbeitraege/2008/0406/bremsweg.jsp Video aus der Sendung] findest du eine Antwort!! ''Wenn du dir das Video in der Schule anschaust, benutze bitte Kopfhörer und stelle die Lautsprecher leiser.''

=== Tabelle, Graph und Formel ===

Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?

Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:

:{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "right"|Geschwindigkeit '''''v''''' ''(in km/h)''
|align = "right"|10
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|-
|align = "right"|       Bremsweg '''''s''''' ''(in m)''
|align = "right"|1
|align = "right"|4
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|align = "right"|16
|align = "right"|25
|align = "right"|64
|align = "right"|100
|align = "right"|144

|}

 

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
#Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem in deinem Heft dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit '''''v''''' (in km/h) und nach oben den Bremsweg '''''s''''' (in m) ein.
#Verbinde die Punkte mit einer Linie zu einem Funktionsgraphen (der "gerundet" aussehen soll, also keine "Ecken" haben sollte).
#Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.
}}
'''Lösung:''' Starte GeoGebra mit dem folgenden Knopf, um die fertige Zeichnung zu sehen: <ggb_applet height="31" width="130" type="button" filename="bremsweg01.ggb" />

 

{{Arbeiten|NUMMER=2|
ARBEIT=
#Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man den Bremsweg '''s''' aus der Geschwindigkeit '''v''' berechnen kann.
#In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (also ''Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10'').
:Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.}}
:{{Lösung versteckt|1=
#z.B. <math>s = 0,01 \cdot v^2</math> oder <math>s = \frac{v^2}{100}</math>(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h) 
#Fahrschulformel: <math>s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2</math>. Die Formeln stimmen also überein. 
: ''Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.''
}}

{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="600"|In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.[[Bild:unfall1.gif|right]]
|align = "right"| 
|align = "right"|
[[Bild:Bundesarchiv Bild 183-J0710-0303-012, Wismar, Wendorf, Kinder mit Ball.jpg|200px]]
|}

{{Arbeiten|NUMMER=3|
ARBEIT=
#Entscheide mit Hilfe der oben angegebenen Tabelle, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte. 
#Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt, indem du die Formel für s aus der letzten Aufgabe verwendet.
{{Tipp versteckt|Schreibe dir die Formel zur Berechnung des Bremsweges aus der Geschwindigkeit auf, setze den bekannten Wert '''''s''''', also den Bremsweg, ein und löse nach '''''v''''' auf. }}}}
:{{Lösung versteckt|1=
#Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen. 
#<math>30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55</math>
:Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.
:''Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!'' 
}}
 

=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.

Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel: 
      
      
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>
    (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und aB = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.

''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />

  
 
 
 
{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
Wie muss aB gewählt werden, damit ...
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?

Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.

:{{Lösung versteckt|1=
#aB = 3,25 m/s2
#aB = 5,71 m/s2
#aB = 1,73 m/s2
}}
}}

In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung aB von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.

{|

|valign="top"|
{{Arbeiten|
NUMMER=2|
ARBEIT=
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei
#60%,
#75%
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?

Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.

:{{Lösung versteckt|1=

Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

Bremswege:<
:s(60%) = 49 m
:s(75%) = 47 m
:s(100%) = 37 m

Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:
#aB = 7,87 m/s2
#aB = 8,21 m/s2
#aB = 10,43 m/s2

andere Möglichkeit:
Formel nach aB auflösen

:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math>

dann die Werte einsetzen

Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!

v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

}}
}}
|valign="top"|
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}

|}

Benutzer Diskussion:SilkeMüller

2011-03-27T10:58:38Z

BirgitLachner: /* Guten Morgen Frau Müller */

==Guten Morgen Frau Müller==

wen ich dir auf deiner "Diskussionsseite" etwas schreibe bekommst du übrigens eine Nachricht.

Fang auf der Benutzerseite man an, die Stationen-Bezeichnungen aufzuschreiben. Mit einer Leerzeile zwischen jedem Eintrag - so gibt es einen Zeilenumbruch.
--[[Benutzer:BirgitLachner|BirgitLachner]] 12:58, 27. Mär. 2011 (CEST)

Benutzer Diskussion:SilkeMüller

2011-03-27T10:58:22Z

BirgitLachner: Die Seite wurde neu angelegt: „==Guten Morgen Frau Müller== wen ich dir auf deiner "Diskussionsseite" etwas schreibe bekommst du eine Nachricht. Fang auf der Benutzerseite man an, die Statio…“

==Guten Morgen Frau Müller==

wen ich dir auf deiner "Diskussionsseite" etwas schreibe bekommst du eine Nachricht.

Fang auf der Benutzerseite man an, die Stationen-Bezeichnungen aufzuschreiben. Mit einer Leerzeile zwischen jedem Eintrag - so gibt es einen Zeilenumbruch.
--[[Benutzer:BirgitLachner|BirgitLachner]] 12:58, 27. Mär. 2011 (CEST)

Vorlage:Hefteintrag

2011-03-27T10:18:10Z

BirgitLachner:

<div style="border: 1px solid lightblue; background-color:darkblue; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid lightblue; margin-left:30px; margin-right:30px"></div>
<div style="border: 2px solid lightblue; background-color:#ffffff; padding:7px; margin-left:30px; margin-right:30px">
;[[Bild:Hefteintrag.png|55px|left]]   Trage ins Heft ein:
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{{{1}}}
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