Medienvielfalt-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Potenzfunktionen

2011-04-15T09:29:06Z

Peter Hofbauer:

<center><big><big><big>Willkommen zum Lernpfad

[[Bild:PotenzfunktionenTitel1.png|150px]] [[Bild:PotenzfunktionenTitel2.JPG|150px]] [[Bild:PotenzfunktionenTitel3.JPG|150px]]

<big>Potenzfunktionen</big></big></big>

erstellt von

[[Benutzer:Hans-Georg Weigand|Hans-Georg Weigand]], [[Benutzer:Michael Schuster|Michael Schuster]], [[Benutzer:Jan Wörler|Jan Wörler]] und [[Benutzer:Petra Bader|Petra Bader]] (2009) 
Überarbeitet von Peter Hofbauer und Heidi Metzger-Schuhäker (2011) 

im Rahmen eines internationalen Projektes von 
[http://www.medienvielfalt.org Medienvielfalt im Mathematikunterricht] 
(Stand April 2011)</big>

</center>

Du erwirbst / stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen  {{versteckt|

 
<big>Modellieren:</big> Kompetenzen:
Du verstehst und interpretierst Funktionen als Modelle zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen. 
Du erkennst Eigenschaften von Funktionen, benennst sie, deutest sie im Kontext und setzt sie zum Erstellen von Funktionsgraphen ein: Monotonie, Monotoniewechsel, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
 
 
<big>Transferieren</big> 
Du kannst Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen in Form einer Gleichung darstellen, diese lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren 
Weiters kannst du zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln. 
Du ermittelst aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) und deutest sie im Kontext.
 
 
<big>Interpretieren</big> 
Funktionen als Modelle zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen verstehen und interpretieren
Du verstehst Potenzgesetze mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten und kannst sie begründen und durch Beispiele veranschaulichen und anwenden 
Du erkennst verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art und kannst sie als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten und zwischen diesen Darstellungsformen wechseln. 
Du verstehst den Einfluss verschiedener Parameter der Potenzfunktionen auf die Funktionsverläufe der angeführten Funktionstypen und kannst sie interpretieren und deuten. 
Du kannst einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten.
 
 
<big>Operieren</big> 
Du kannst Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen. 
Du kannst Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen in Form einer Gleichung darstellen, diese lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren. 
Du erkennst Eigenschaften von Funktionen, kannst sie benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen: Monotonie, Monotoniewechsel, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
 
 
<big>Argumentieren</big> 
Du kannst für gegebene Zusammenhänge entscheiden, ob man sie als Funktionen betrachten kann. 
Du kannst einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben und ihre Eigenschaften vergleichen.

}}

Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht:{{pdf|Didaktischer_Kommentar_Potenzfunktionen.pdf|Didaktischer Kommentar}}

<center>[[Bild:Logos_1.jpg]]</center>

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 Der Lernpfad ist in fünf Kapitel eingeteilt, die du sinnvollerweise in der angegebenen Reihenfolge bearbeitest.

{{Potenzfunktionen}}



[[dmuw:Potenzfunktionen]]

[[zum-wiki:Potenzfunktionen]]

[[zum-wiki:Mathematik-digital/Potenzfunktionen]]

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2011-04-15T09:25:18Z

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Potenzfunktionen

2011-04-15T09:18:41Z

Peter Hofbauer:

Potenzfunktionen

2011-04-15T09:14:24Z

Peter Hofbauer:

Potenzfunktionen

2011-04-15T09:13:31Z

Peter Hofbauer:

Potenzfunktionen

2011-04-15T09:12:39Z

Peter Hofbauer:

<center><big><big><big>Willkommen zum Lernpfad

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<big>Potenzfunktionen</big></big></big>

erstellt von

[[Benutzer:Hans-Georg Weigand|Hans-Georg Weigand]], [[Benutzer:Michael Schuster|Michael Schuster]], [[Benutzer:Jan Wörler|Jan Wörler]] und [[Benutzer:Petra Bader|Petra Bader]](2009) 
Überarbeitet von Peter Hofbauer und Heidi Metzger-Schuhäker (2011) 

im Rahmen eines internationalen Projektes von 
[http://www.medienvielfalt.org Medienvielfalt im Mathematikunterricht] 
(Stand April 2011)</big>

</center>

Du erwirbst / stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen  {{versteckt|

 
<big>Modellieren:</big> Kompetenzen:
Du verstehst und interpretierst Funktionen als Modelle zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen. 
Du erkennst Eigenschaften von Funktionen, benennst sie, deutest sie im Kontext und setzt sie zum Erstellen von Funktionsgraphen ein: Monotonie, Monotoniewechsel, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
 
 
<big>Transferieren</big> 
Du kannst Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen in Form einer Gleichung darstellen, diese lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren 
Weiters kannst du zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln. 
Du ermittelst aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) und deutest sie im Kontext.
 
 
<big>Interpretieren</big> 
Funktionen als Modelle zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen verstehen und interpretieren
Du verstehst Potenzgesetze mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten und kannst sie begründen und durch Beispiele veranschaulichen und anwenden 
Du erkennst verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art und kannst sie als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten und zwischen diesen Darstellungsformen wechseln. 
Du verstehst den Einfluss verschiedener Parameter der Potenzfunktionen auf die Funktionsverläufe der angeführten Funktionstypen und kannst sie interpretieren und deuten. 
Du kannst einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten.
 
 
<big>Operieren</big> 
Du kannst Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen. 
Du kannst Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen in Form einer Gleichung darstellen, diese lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren. 
Du erkennst Eigenschaften von Funktionen, kannst sie benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen: Monotonie, Monotoniewechsel, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
 
 
<big>Argumentieren</big> 
Du kannst für gegebene Zusammenhänge entscheiden, ob man sie als Funktionen betrachten kann. 
Du kannst einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben und ihre Eigenschaften vergleichen.

}}

Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht:{{pdf|Didaktischer_Kommentar_Potenzfunktionen.pdf|Didaktischer Kommentar}}

<center>[[Bild:Logos_1.jpg]]</center>

'''[[Benutzer:Hans-Georg Weigand|Hans-Georg Weigand]], [[Benutzer:Michael Schuster|Michael Schuster]], [[Benutzer:Jan Wörler|Jan Wörler]] und [[Benutzer:Petra Bader|Petra Bader]]'''

{{Kasten 1002|
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BACKGROUND = #00008B|
BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
BILD = Pentagramm.png|50px|
INHALT1=
Dieser Lernpfad stellt eine zusammenfassende Wiederholung zu „Potenzfunktionen“ dar. Es wird also vorausgesetzt, dass dieser Themenbereich im Unterricht bereits behandelt wurde.
Dieser Lernpfad vertieft den Zusammenhang zwischen den Potenzfunktionen mit verschiedenen Exponenten (natürliche, ganze, rationale Exponenten) und entwickelt insbesondere die Wechselbeziehung zwischen Term und Graph durch Variation der Exponenten und Parameter bei f(x) = a·xr + b. |
INHALT1a=
|
INHALT1b=
|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
*Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)
*von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen
*Eigenschaften von Potenzfunktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen |
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
*Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
*Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren
*Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben |
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|Didaktischer_Kommentar_pot_Fkt.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

 Der Lernpfad ist in fünf Kapitel eingeteilt, die du sinnvollerweise in der angegebenen Reihenfolge bearbeitest.

{{Potenzfunktionen}}


[[dmuw:Potenzfunktionen]]
[[zum-wiki:Potenzfunktionen]]
[[zum-wiki:Mathematik-digital/Potenzfunktionen]]

Potenzfunktionen

2011-04-15T09:11:10Z

Peter Hofbauer:

<center><big><big><big>Willkommen zum Lernpfad

[[Bild:Hellsehen.jpg|150px]] [[Bild:Sinab.jpg|150px]] [[Bild:Riesenrad.jpg|150px]]

<big>Potenzfunktionen</big></big></big>

erstellt von

[[Benutzer:Hans-Georg Weigand|Hans-Georg Weigand]], [[Benutzer:Michael Schuster|Michael Schuster]], [[Benutzer:Jan Wörler|Jan Wörler]] und [[Benutzer:Petra Bader|Petra Bader]](2009) 
Überarbeitet von Peter Hofbauer und Heidi Metzger-Schuhäker (2011) 

im Rahmen eines internationalen Projektes von 
[http://www.medienvielfalt.org Medienvielfalt im Mathematikunterricht] 
(Stand April 2011)</big>

</center>

Du erwirbst / stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen  {{versteckt|

 
<big>Modellieren:</big> Kompetenzen:
Du verstehst und interpretierst Funktionen als Modelle zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen. 
Du erkennst Eigenschaften von Funktionen, benennst sie, deutest sie im Kontext und setzt sie zum Erstellen von Funktionsgraphen ein: Monotonie, Monotoniewechsel, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen 
 
<big>Transferieren</big> 
Du kannst Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen in Form einer Gleichung darstellen, diese lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren 
Weiters kannst du zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln. 
Du ermittelst aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) und deutest sie im Kontext.
 
 
<big>Interpretieren</big> 
Funktionen als Modelle zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen verstehen und interpretieren
Du verstehst Potenzgesetze mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten und kannst sie begründen und durch Beispiele veranschaulichen und anwenden 
Du erkennst verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art und kannst sie als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten und zwischen diesen Darstellungsformen wechseln. 
Du verstehst den Einfluss verschiedener Parameter der Potenzfunktionen auf die Funktionsverläufe der angeführten Funktionstypen und kannst sie interpretieren und deuten. 
Du kannst einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten.

 
 
<big>Operieren</big> 
Du kannst Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen. 
Du kannst Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen in Form einer Gleichung darstellen, diese lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren. 
Du erkennst Eigenschaften von Funktionen, kannst sie benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen: Monotonie, Monotoniewechsel, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen 
 
<big>Argumentieren</big> 
Du kannst für gegebene Zusammenhänge entscheiden, ob man sie als Funktionen betrachten kann. 
Du kannst einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben und ihre Eigenschaften vergleichen.

}}

Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht:{{pdf|Didaktischer_Kommentar_Potenzfunktionen.pdf|Didaktischer Kommentar}}

<center>[[Bild:Logos_1.jpg]]</center>

'''[[Benutzer:Hans-Georg Weigand|Hans-Georg Weigand]], [[Benutzer:Michael Schuster|Michael Schuster]], [[Benutzer:Jan Wörler|Jan Wörler]] und [[Benutzer:Petra Bader|Petra Bader]]'''

{{Kasten 1002|
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ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
BILD = Pentagramm.png|50px|
INHALT1=
Dieser Lernpfad stellt eine zusammenfassende Wiederholung zu „Potenzfunktionen“ dar. Es wird also vorausgesetzt, dass dieser Themenbereich im Unterricht bereits behandelt wurde.
Dieser Lernpfad vertieft den Zusammenhang zwischen den Potenzfunktionen mit verschiedenen Exponenten (natürliche, ganze, rationale Exponenten) und entwickelt insbesondere die Wechselbeziehung zwischen Term und Graph durch Variation der Exponenten und Parameter bei f(x) = a·xr + b. |
INHALT1a=
|
INHALT1b=
|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
*Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)
*von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen
*Eigenschaften von Potenzfunktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen |
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
*Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
*Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren
*Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben |
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|Didaktischer_Kommentar_pot_Fkt.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

 Der Lernpfad ist in fünf Kapitel eingeteilt, die du sinnvollerweise in der angegebenen Reihenfolge bearbeitest.

{{Potenzfunktionen}}


[[dmuw:Potenzfunktionen]]
[[zum-wiki:Potenzfunktionen]]
[[zum-wiki:Mathematik-digital/Potenzfunktionen]]

Datei:Didaktischer Kommentar Potenzfunktionen.pdf

2011-04-15T09:07:55Z

Peter Hofbauer: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
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Potenzfunktionen

2011-04-15T09:07:19Z

Peter Hofbauer:

<center><big><big><big>Willkommen zum Lernpfad

[[Bild:Hellsehen.jpg|150px]] [[Bild:Sinab.jpg|150px]] [[Bild:Riesenrad.jpg|150px]]

<big>Potenzfunktionen</big></big></big>

erstellt von

[[Benutzer:Hans-Georg Weigand|Hans-Georg Weigand]], [[Benutzer:Michael Schuster|Michael Schuster]], [[Benutzer:Jan Wörler|Jan Wörler]] und [[Benutzer:Petra Bader|Petra Bader]](2009) 
Überarbeitet von Peter Hofbauer und Heidi Metzger-Schuhäker (2011) 

im Rahmen eines internationalen Projektes von 
[http://www.medienvielfalt.org Medienvielfalt im Mathematikunterricht] 
(Stand April 2011)</big>

</center>

Du erwirbst / stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen  {{versteckt|

 
<big>Modellieren:</big> Kompetenzen:
Du verstehst und interpretierst Funktionen als Modelle zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen. 
Du erkennst Eigenschaften von Funktionen, benennst sie, deutest sie im Kontext und setzt sie zum Erstellen von Funktionsgraphen ein: Monotonie, Monotoniewechsel, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen 
 
<big>Transferieren</big> 
Du kannst Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen in Form einer Gleichung darstellen, diese lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren 
Weiters kannst du zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln. 
Du ermittelst aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) und deutest sie im Kontext.
 
 
<big>Interpretieren</big> 
Funktionen als Modelle zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen verstehen und interpretieren
Du verstehst Potenzgesetze mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten und kannst sie begründen und durch Beispiele veranschaulichen und anwenden 
Du erkennst verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art und kannst sie als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten und zwischen diesen Darstellungsformen wechseln. 
Du verstehst den Einfluss verschiedener Parameter der Potenzfunktionen auf die Funktionsverläufe der angeführten Funktionstypen und kannst sie interpretieren und deuten. 
Du kannst einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten.

 
 
<big>Operieren</big> 
Du kannst Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen. 
Du kannst Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen in Form einer Gleichung darstellen, diese lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren. 
Du erkennst Eigenschaften von Funktionen, kannst sie benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen: Monotonie, Monotoniewechsel, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen 
 
<big>Argumentieren</big> 
Du kannst für gegebene Zusammenhänge entscheiden, ob man sie als Funktionen betrachten kann. 
Du kannst einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben und ihre Eigenschaften vergleichen.

}}

Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht:{{pdf|Didaktischer_Kommentar_-_Poissonverteilung.pdf|Didaktischer Kommentar}}

<center>[[Bild:Logos_1.jpg]]</center>

'''[[Benutzer:Hans-Georg Weigand|Hans-Georg Weigand]], [[Benutzer:Michael Schuster|Michael Schuster]], [[Benutzer:Jan Wörler|Jan Wörler]] und [[Benutzer:Petra Bader|Petra Bader]]'''

{{Kasten 1002|
HINTERGRUND = #f4f0e4|
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BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
BILD = Pentagramm.png|50px|
INHALT1=
Dieser Lernpfad stellt eine zusammenfassende Wiederholung zu „Potenzfunktionen“ dar. Es wird also vorausgesetzt, dass dieser Themenbereich im Unterricht bereits behandelt wurde.
Dieser Lernpfad vertieft den Zusammenhang zwischen den Potenzfunktionen mit verschiedenen Exponenten (natürliche, ganze, rationale Exponenten) und entwickelt insbesondere die Wechselbeziehung zwischen Term und Graph durch Variation der Exponenten und Parameter bei f(x) = a·xr + b. |
INHALT1a=
|
INHALT1b=
|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
*Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)
*von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen
*Eigenschaften von Potenzfunktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen |
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
*Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
*Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren
*Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben |
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|Didaktischer_Kommentar_pot_Fkt.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

 Der Lernpfad ist in fünf Kapitel eingeteilt, die du sinnvollerweise in der angegebenen Reihenfolge bearbeitest.

{{Potenzfunktionen}}


[[dmuw:Potenzfunktionen]]
[[zum-wiki:Potenzfunktionen]]
[[zum-wiki:Mathematik-digital/Potenzfunktionen]]

Potenzfunktionen

2011-04-15T08:55:51Z

Peter Hofbauer:

Potenzfunktionen - 4. Stufe

2011-01-18T05:37:41Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN* ==

=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 ===
<ggb_applet height="300" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W2_xm1n.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Vergleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: Die Definitionsbereiche der roten und blauen Funktionen sind für n>1 nicht-negativ. Im Definitionsbereich der blauen Funktionen muss ferner auch die 0 ausgeschlossen werden. Die verschiedenen blauen Graphen sind streng-monoton fallend. Rote und blaue Graphen haben alle den Punkt (1,1) gemeinsam (Begründung: 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}</math>). Der Wertebereich der blauen Graphen ist ]0,∞[.
}}
}}

== Exponenten, Brüche und Potenzgesetze ==

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:
:''Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n<math>\neq</math>0 wird definiert:''
:<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math>

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
:<math>x^{-\frac 1 n}</math><math>= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.</math>

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung: 
''Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion''
<math>f(x)=x^{-\frac{1}{n}}</math>
''den Definitonsbereich D = IR+.''
:{{Lösung versteckt|
:Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> für <math>n\geq2</math> nur auf IR+o definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math>D = \mathbb{R}^+ \cup \{0\}.</math> 
:Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' grundsätzlich auf die Funktion ''f''. Einschränken muss man den Definitionsbereich von ''f'' allerdings noch um jene Werte, bei denen g(x)<math>=</math>0 gilt, also um x<math>=</math>0. Damit ergibt sich für den Definitionsbereich der Funktion ''f'': D<math>=</math>IR+.}}
}}
|}

== Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen ==
{| width="100%" border="0" cellspacing="0"
! height="0"|
|
|- valign="top"
|<big>'''Beispiel I:'''</big>
Es sei g eine Potenzfunktion, definiert auf D = IR+0 durch <math>g(x)=x^{\frac{1}{3}}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>g^{\,-1}=:f</math> von <math>\!\,g</math>.

<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist: 
<math>\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\
y^3 &=& x^{\frac 3 3} && && \\
&=& x. &\,& && \end{matrix}</math>

Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)<math>=</math>x3.

! width="310" align="left" |<ggb_applet height="300" width="300" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="w_x3_001.ggb" />
|-
|<big>'''Beispiel II:'''</big>
Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch <math>f(x)=x^{- \frac 1 3}</math> mit dem Definitionsbereich D = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f-1.

Auflösen nach x ergibt: 
<math>\begin{matrix}y &=& x^{- \frac 1 3}. &|& (\,)^3\\
y^3 &=& x^{- \frac 3 3}, && \\
&=& x^{-1}, && \\
&=& \textstyle \frac 1 x. &|& \cdot\, x \\
x\cdot y^3 &=& 1. &|& :y^3 \\
x &=& \textstyle \frac{1}{y^3} && \\
&=& y^{-3}.&& \end{matrix}</math>
! align="left"|<ggb_applet height="300" width="300" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W_x3m_001.ggb" />
|}

''Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f-1 und f(x)<math>=</math>x-1!''

=== Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1 ===

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. [[Potenzfunktionen_1._Stufe |Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen]].

{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt? 
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten! 
{{Lösung versteckt| Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math> streng monoton steigend. Deswegen gibt es auf diesem Bereich eine Umkehrfunktion und zwar von der Bauart f(x)<math>=</math>xn. Ähnliches gilt für Funktionen der Form <math>f(x) = x^{-{\frac 1 n}}</math> mit <math>n\geq2</math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. Hier lautet die Umkehrfunktion f(x)<math>=</math>x-n. Hat man aber eine Potenzfunktion f(x)<math>=</math>xn mit <math>n\geq2</math> (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie - für gerade n - auf ihrem Defintionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}</math> nicht überall streng monoton. Die Umkehrbarkeit ist aber nur auf streng monotonen Intervallen möglich. Betrachtet man f auf dem eingeschränkten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+_0</math>, so ist sie dort streng monoton und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist dort <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math>. }}
}}
 

=== Zusammenfassung ===

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Form <math>f(x) = x^{\frac 1 n},</math> mit n ∈ IN* und <math>n\geq2</math> sind Potenzfunktionen der Form <math>f(x)\!\, = x^n.</math> Sie sind definiert auf dem Definitionsbereich D = IR+0. 

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Form <math>f(x) = x^{- \frac 1 n},</math> mit n ∈ IN* und <math>n\geq2</math> sind Potenzfunktionen der Form <math>f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}</math>. Sie sind definiert auf dem Definitionsbereich D = IR+.

== *Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip ==
(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)

<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="10_axminuas1nc.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
Schau Dir dieses [http://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video (Link hier)] auf www.oberprima.com an. Dort lernst Du die Merkregel des "5 S"-Prinzips kennen; die "5 S" lauten:
* '''S'''piegeln
* '''S'''trecken
* '''S'''tauchen
* '''S'''chieben
* '''S'''uperponieren
Beantworte nun die folgenden Fragen:
# Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er?
# Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich?
# Wo gehen die Variationsmöglichkeiten des Applets über die im Video vorgestellten hinaus?
}}

== *Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen ==
(freiwillig)
{|
|<ggb_applet height="380" width="400" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="rosette.ggb" /> 
Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form

:<math>f(x)=a\cdot x^q</math>

mit <math>a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \}</math> zusammengesetzt.
 
 
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen:
# Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert?
# Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut. Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind.
# Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden?
# Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?
# Auf welchen Abschnitten sind die Funktionen definiert?
}}

|
[[Bild:rosette_1.png|thumb|right|250px|Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind.]]
[[Bild:rosette_2.png|thumb|frameless|right|250px|Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen? ]]
[[Bild:rosette_3.png|thumb|frameless|right|250px| Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?]]
|}

----
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Und nun gehts zum Abschlusstest''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_Test|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 4. Stufe

2011-01-17T20:03:15Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN* ==

=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 ===
<ggb_applet height="300" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W2_xm1n.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Vergleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: Die Definitionsbereiche der roten und blauen Funktionen sind für n>1 nicht-negativ. Im Definitionsbereich der blauen Funktionen muss ferner auch die 0 ausgeschlossen werden. Die verschiedenen blauen Graphen sind streng-monoton fallend. Rote und blaue Graphen haben alle den Punkt (1,1) gemeinsam (Begründung: 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}</math>). Der Wertebereich der blauen Graphen ist ]0,∞[.
}}
}}

== Exponenten, Brüche und Potenzgesetze ==

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:
:''Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n<math>\neq</math>0 wird definiert:''
:<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math>

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
:<math>x^{-\frac 1 n}</math><math>= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.</math>

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung: 
''Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion''
<math>f(x)=x^{-\frac{1}{n}}</math>
''den Definitonsbereich D = IR+.''
:{{Lösung versteckt|
:Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> für <math>n\geq2</math> nur auf IR+o definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math>D = \mathbb{R}^+ \cup \{0\}.</math> 
:Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' grundsätzlich auf die Funktion ''f''. Einschränken muss man den Definitionsbereich von ''f'' allerdings noch um jene Werte, bei denen g(x)<math>=</math>0 gilt, also um x<math>=</math>0. Damit ergibt sich für den Definitionsbereich der Funktion ''f'': D<math>=</math>IR+.}}
}}
|}

== Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen ==
{| width="100%" border="0" cellspacing="0"
! height="0"|
|
|- valign="top"
|<big>'''Beispiel I:'''</big>
Es sei g eine Potenzfunktion, definiert auf D = IR+0 durch <math>g(x)=x^{\frac{1}{3}}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>g^{\,-1}=:f</math> von <math>\!\,g</math>.

<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist: 
<math>\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\
y^3 &=& x^{\frac 3 3} && && \\
&=& x. &\,& && \end{matrix}</math>

Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)<math>=</math>x3.

! width="310" align="left" |<ggb_applet height="300" width="300" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="w_x3_001.ggb" />
|-
|<big>'''Beispiel II:'''</big>
Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch <math>f(x)=x^{- \frac 1 3}</math> mit dem Definitionsbereich D = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f-1.

Auflösen nach x ergibt: 
<math>\begin{matrix}y &=& x^{- \frac 1 3}. &|& (\,)^3\\
y^3 &=& x^{- \frac 3 3}, && \\
&=& x^{-1}, && \\
&=& \textstyle \frac 1 x. &|& \cdot\, x \\
x\cdot y^3 &=& 1. &|& :y^3 \\
x &=& \textstyle \frac{1}{y^3} && \\
&=& y^{-3}.&& \end{matrix}</math>
! align="left"|<ggb_applet height="300" width="300" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W_x3m_001.ggb" />
|}

''Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f-1 und f(x)<math>=</math>x-1!''

=== Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1 ===

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. [[Potenzfunktionen_1._Stufe |Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen]].

{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt? 
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten! 
{{Lösung versteckt| Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math> streng monoton steigend. Deswegen gibt es auf diesem Bereich eine Umkehrfunktion und zwar von der Bauart f(x)<math>=</math>xn. Ähnliches gilt für Funktionen der Form <math>f(x) = x^{-{\frac 1 n}}</math> mit <math>n\geq2</math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. Hier lautet die Umkehrfunktion f(x)<math>=</math>x-n. Hat man aber eine Potenzfunktion f(x)<math>=</math>xn mit <math>n\geq2</math> (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie - für gerade n - auf ihrem Defintionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}</math> nicht überall streng monoton. Die Umkehrbarkeit ist aber nur auf streng monotonen Intervallen möglich. Betrachtet man f auf dem eingeschränkten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+_0</math>, so ist sie dort streng monoton und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist dort <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math>. }}
}}
 

=== Zusammenfassung ===

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n},</math><math>n\geq2</math> sind Potenzfunktionen mit <math>f(x)\!\, = x^n.</math> 

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{- \frac 1 n},</math><math>n\geq2</math> sind Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}</math>.

== *Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip ==
(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)

<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="10_axminuas1nc.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
Schau Dir dieses [http://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video (Link hier)] auf www.oberprima.com an. Dort lernst Du die Merkregel des "5 S"-Prinzips kennen; die "5 S" lauten:
* '''S'''piegeln
* '''S'''trecken
* '''S'''tauchen
* '''S'''chieben
* '''S'''uperponieren
Beantworte nun die folgenden Fragen:
# Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er?
# Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich?
# Wo gehen die Variationsmöglichkeiten des Applets über die im Video vorgestellten hinaus?
}}

== *Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen ==
(freiwillig)
{|
|<ggb_applet height="380" width="400" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="rosette.ggb" /> 
Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form

:<math>f(x)=a\cdot x^q</math>

mit <math>a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \}</math> zusammengesetzt.
 
 
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen:
# Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert?
# Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut. Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind.
# Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden?
# Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?
# Auf welchen Abschnitten sind die Funktionen definiert?
}}

|
[[Bild:rosette_1.png|thumb|right|250px|Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind.]]
[[Bild:rosette_2.png|thumb|frameless|right|250px|Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen? ]]
[[Bild:rosette_3.png|thumb|frameless|right|250px| Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?]]
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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Und nun gehts zum Abschlusstest''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_Test|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 4. Stufe

2011-01-17T19:44:24Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN* ==

=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 ===
<ggb_applet height="300" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W2_xm1n.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Vergleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: Die Definitionsbereiche der roten und blauen Funktionen sind für n>1 nicht-negativ. Im Definitionsbereich der blauen Funktionen muss ferner auch die 0 ausgeschlossen werden. Die verschiedenen blauen Graphen sind streng-monoton fallend. Rote und blaue Graphen haben alle den Punkt (1,1) gemeinsam (Begründung: 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}</math>). Der Wertebereich der blauen Graphen ist ]0,∞[.
}}
}}

== Exponenten, Brüche und Potenzgesetze ==

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:
:''Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n<math>\neq</math>0 wird definiert:''
:<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math>

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
:<math>x^{-\frac 1 n}</math><math>= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.</math>

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung: 
''Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion''
<math>f(x)=x^{-\frac{1}{n}}</math>
''den Definitonsbereich D = IR+.''
:{{Lösung versteckt|
:Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> für <math>n\geq2</math> nur auf IR+o definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math>M = \mathbb{R}^+ \cup \{0\}.</math> 
:Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' grundsätzlich auf die Funktion ''f''. Einschränken muss man den Definitionsbereich von ''f'' allerdings noch um jene Werte, bei denen g(x)<math>=</math>0 gilt, also um x<math>=</math>0. Damit ergibt sich für den Definitionsbereich der Funktion ''f'': D<math>=</math>IR+}}
}}
|}

== Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen ==
{| width="100%" border="0" cellspacing="0"
! height="0"|
|
|- valign="top"
|<big>'''Beispiel I:'''</big>
Es sei g eine Potenzfunktion, definiert durch <math>g(x)=x^{\frac{1}{3}}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>g^{\,-1}=:f</math> von <math>\!\,g</math>.

<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist: 
<math>\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\
y^3 &=& x^{\frac 3 3} && && \\
&=& x. &\,& && \end{matrix}</math>

Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)<math>=</math>x3.

! width="310" align="left" |<ggb_applet height="300" width="300" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="w_x3_001.ggb" />
|-
|<big>'''Beispiel II:'''</big>
Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch <math>f(x)=x^{- \frac 1 3}</math> mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f-1.

Auflösen nach x ergibt: 
<math>\begin{matrix}y &=& x^{- \frac 1 3}. &|& (\,)^3\\
y^3 &=& x^{- \frac 3 3}, && \\
&=& x^{-1}, && \\
&=& \textstyle \frac 1 x. &|& \cdot\, x \\
x\cdot y^3 &=& 1. &|& :y^3 \\
x &=& \textstyle \frac{1}{y^3} && \\
&=& y^{-3}.&& \end{matrix}</math>
! align="left"|<ggb_applet height="300" width="300" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W_x3m_001.ggb" />
|}

''Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f-1 und f(x)<math>=</math>x-1!''

=== Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1 ===

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. [[Potenzfunktionen_1._Stufe |Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen]].

=== Zusammenfassung ===

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n},</math><math>n\geq2</math> sind Potenzfunktionen mit <math>f(x)\!\, = x^n.</math> 

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{- \frac 1 n},</math><math>n\geq2</math> sind Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}</math>.

{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt? 
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten! 
{{Lösung versteckt| Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math> streng monoton steigend. Deswegen gibt es auf diesem Bereich eine Umkehrfunktion und zwar von der Bauart f(x)<math>=</math>xn. Hat man aber eine Potenzfunktion f(x)<math>=</math>xn mit <math>n\geq2</math> (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie auf ihrem Defintionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}</math> nicht überall streng monoton. Die Umkehrbarkeit ist aber nur auf streng monotonen Intervallen möglich. Betrachtet man f auf dem eingeschränkten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+_0</math>, so ist sie dort streng monoton und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist dort <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math>. }}
}}

== *Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip ==
(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)

<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="10_axminuas1nc.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
Schau Dir dieses [http://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video (Link hier)] auf www.oberprima.com an. Dort lernst Du die Merkregel des "5 S"-Prinzips kennen; die "5 S" lauten:
* '''S'''piegeln
* '''S'''trecken
* '''S'''tauchen
* '''S'''chieben
* '''S'''uperponieren
Beantworte nun die folgenden Fragen:
# Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er?
# Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich?
# Wo gehen die Variationsmöglichkeiten des Applets über die im Video vorgestellten hinaus?
}}

== *Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen ==
(freiwillig)
{|
|<ggb_applet height="380" width="400" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="rosette.ggb" /> 
Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form

:<math>f(x)=a\cdot x^q</math>

mit <math>a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \}</math> zusammengesetzt.
 
 
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen:
# Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert?
# Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut. Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind.
# Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden?
# Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?
# Auf welchen Abschnitten sind die Funktionen definiert?
}}

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[[Bild:rosette_1.png|thumb|right|250px|Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind.]]
[[Bild:rosette_2.png|thumb|frameless|right|250px|Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen? ]]
[[Bild:rosette_3.png|thumb|frameless|right|250px| Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?]]
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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Und nun gehts zum Abschlusstest''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_Test|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

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Potenzfunktionen - 4. Stufe

2011-01-17T19:43:16Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN* ==

=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 ===
<ggb_applet height="300" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W2_xm1n.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Vergleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: Die Definitionsbereiche der roten und blauen Funktionen sind für n>1 nicht-negativ. Im Definitionsbereich der blauen Funktionen muss ferner auch die 0 ausgeschlossen werden. Die verschiedenen blauen Graphen sind streng-monoton fallend. Rote und blaue Graphen haben alle den Punkt (1,1) gemeinsam (Begründung: 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}</math>). Der Wertebereich der blauen Graphen ist ]0,∞[.
}}
}}

== Exponenten, Brüche und Potenzgesetze ==

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:
:''Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n<math>\neq</math>0 wird definiert:''
:<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math>

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
:<math>x^{-\frac 1 n}</math><math>= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.</math>

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung: 
''Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion''
<math>f(x)=x^{-\frac{1}{n}}</math>
''den Definitonsbereich D = IR+.''
:{{Lösung versteckt|
:Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> für <math>n\geq2</math> nur auf IR+o definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math>M = \mathbb{R}^+ \cup \{0\}.</math> 
:Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' grundsätzlich auf die Funktion ''f''. Einschränken muss man den Definitionsbereich von ''f'' allerdings noch um jene Werte, bei denen g(x)<math>=</math>0 gilt, also um x<math>=</math>0. Damit ergibt sich für den Definitionsbereich von ''f'': D<math>=</math>IR+}}
}}
|}

== Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen ==
{| width="100%" border="0" cellspacing="0"
! height="0"|
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|- valign="top"
|<big>'''Beispiel I:'''</big>
Es sei g eine Potenzfunktion, definiert durch <math>g(x)=x^{\frac{1}{3}}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>g^{\,-1}=:f</math> von <math>\!\,g</math>.

<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist: 
<math>\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\
y^3 &=& x^{\frac 3 3} && && \\
&=& x. &\,& && \end{matrix}</math>

Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)<math>=</math>x3.

! width="310" align="left" |<ggb_applet height="300" width="300" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="w_x3_001.ggb" />
|-
|<big>'''Beispiel II:'''</big>
Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch <math>f(x)=x^{- \frac 1 3}</math> mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f-1.

Auflösen nach x ergibt: 
<math>\begin{matrix}y &=& x^{- \frac 1 3}. &|& (\,)^3\\
y^3 &=& x^{- \frac 3 3}, && \\
&=& x^{-1}, && \\
&=& \textstyle \frac 1 x. &|& \cdot\, x \\
x\cdot y^3 &=& 1. &|& :y^3 \\
x &=& \textstyle \frac{1}{y^3} && \\
&=& y^{-3}.&& \end{matrix}</math>
! align="left"|<ggb_applet height="300" width="300" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W_x3m_001.ggb" />
|}

''Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f-1 und f(x)<math>=</math>x-1!''

=== Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1 ===

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. [[Potenzfunktionen_1._Stufe |Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen]].

=== Zusammenfassung ===

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n},</math><math>n\geq2</math> sind Potenzfunktionen mit <math>f(x)\!\, = x^n.</math> 

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{- \frac 1 n},</math><math>n\geq2</math> sind Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}</math>.

{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt? 
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten! 
{{Lösung versteckt| Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math> streng monoton steigend. Deswegen gibt es auf diesem Bereich eine Umkehrfunktion und zwar von der Bauart f(x)<math>=</math>xn. Hat man aber eine Potenzfunktion f(x)<math>=</math>xn mit <math>n\geq2</math> (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie auf ihrem Defintionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}</math> nicht überall streng monoton. Die Umkehrbarkeit ist aber nur auf streng monotonen Intervallen möglich. Betrachtet man f auf dem eingeschränkten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+_0</math>, so ist sie dort streng monoton und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist dort <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math>. }}
}}

== *Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip ==
(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)

<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="10_axminuas1nc.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
Schau Dir dieses [http://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video (Link hier)] auf www.oberprima.com an. Dort lernst Du die Merkregel des "5 S"-Prinzips kennen; die "5 S" lauten:
* '''S'''piegeln
* '''S'''trecken
* '''S'''tauchen
* '''S'''chieben
* '''S'''uperponieren
Beantworte nun die folgenden Fragen:
# Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er?
# Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich?
# Wo gehen die Variationsmöglichkeiten des Applets über die im Video vorgestellten hinaus?
}}

== *Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen ==
(freiwillig)
{|
|<ggb_applet height="380" width="400" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="rosette.ggb" /> 
Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form

:<math>f(x)=a\cdot x^q</math>

mit <math>a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \}</math> zusammengesetzt.
 
 
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen:
# Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert?
# Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut. Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind.
# Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden?
# Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?
# Auf welchen Abschnitten sind die Funktionen definiert?
}}

|
[[Bild:rosette_1.png|thumb|right|250px|Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind.]]
[[Bild:rosette_2.png|thumb|frameless|right|250px|Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen? ]]
[[Bild:rosette_3.png|thumb|frameless|right|250px| Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?]]
|}

----
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Und nun gehts zum Abschlusstest''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_Test|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 3. Stufe

2011-01-17T19:38:35Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^*</math> als Exponenten haben.'''

== Die Graphen der Funktionen f(x) = x1/n, n ∈ IN* ==

=== Funktionsgraph kennenlernen ===

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5,6\}</math>. 
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich ist IR+0. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. '''Begründung:''' Es gilt 0r <math>=</math>0 und 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001b.ggb" />
|}

=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001.ggb" />
|}


== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}^*.</math>
{{Merksatz|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR+0. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)<math>=</math> xn und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen | nächstes Kapitel]]).

Im Falle n<math>=</math>2 nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>

Im Falle n<math>=</math>3 nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <math>x^{\frac{1}{3}}</math> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.
}}

Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:

=== Beispiel: Quadratwurzeln ===

{| border="0" width="100%" cellspacing="0"
! height="0" |
|
|- valign="top"
|
Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonalen B in einem Quadrat''' der Seitenlänge a<math>=</math>1 über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung <math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
! width="300" | [[Bild:diagonale.png|right|165px]]
|- valign="top"
| Auch die Länge der '''Raumdiagonale C im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = C^2</math>) zu:
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung ist also <math>\textstyle C = \sqrt{3}</math> angeben.
| [[Bild:diagonale3.png|right|170px]]
|}
=== Beispiel: Kubikwurzel ===

Das Volumen V eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge s<math>=</math>5 ergibt sich über: 
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V<math>=</math>27 durch ziehen der 3.-Wurzel:
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>

== Einfluss von Parametern ==

<ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="8_ax1nc_w.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
In obenstehendem Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern. 
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.) Der Parameter a bewirkt für a>1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für 0<a<1 eine Stauchung in y-Richtung; für a<math>=</math>0 erhält man eine konstante Funktion mit f(x)<math>=</math>c. Wird a negativ, so wird f zu einer monoton fallenden Funktion. zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert y der Wert c addiert wird.
}} 
}}



== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)
==== Einschränkung auf IR+0 ====

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math>

Wegen
:(-2)3 <math>=</math>-8

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>

----
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_4._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 3. Stufe

2011-01-17T17:28:40Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^*</math> als Exponenten haben.'''

== Die Graphen der Funktionen f(x) = x1/n, n ∈ IN* ==

=== Funktionsgraph kennenlernen ===

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5,6\}</math>. 
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich ist IR+0. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. '''Begründung:''' Es gilt 0r <math>=</math>0 und 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001b.ggb" />
|}

=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001.ggb" />
|}


== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}^*.</math>
{{Merksatz|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR+0. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)<math>=</math> xn und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen | nächstes Kapitel]]).

Im Falle n<math>=</math>2 nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>

Im Falle n<math>=</math>3 nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <math>x^{\frac{1}{3}}</math> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.
}}

Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:

=== Beispiel: Quadratwurzeln ===

{| border="0" width="100%" cellspacing="0"
! height="0" |
|
|- valign="top"
|
Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonalen B in einem Quadrat''' der Seitenlänge a<math>=</math>1 über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung <math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
! width="300" | [[Bild:diagonale.png|right|165px]]
|- valign="top"
| Auch die Länge der '''Raumdiagonale C im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = C^2</math>) zu:
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung ist also <math>\textstyle C = \sqrt{3}</math> angeben.
| [[Bild:diagonale3.png|right|170px]]
|}
=== Beispiel: Kubikwurzel ===

Das Volumen V eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge s<math>=</math>5 ergibt sich über: 
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V<math>=</math>27 durch ziehen der 3.-Wurzel:
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>

== Einfluss von Parametern ==

<ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="8_ax1nc_w.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
In obenstehendem Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern. 
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.) Der Parameter a bewirkt für a>1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für 0<a<1 eine Stauchung in y-Richtung; für a<math>=</math>0 erhält man eine konstante Funktion mit f(x)<math>=</math>c. Wird a negativ, so wird f zu einer monoton fallenden Funktion. zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert y der Wert c addiert wird.
}} 
}}



== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)
==== Einschränkung auf IR+0 ====

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math>

Wegen
:(-2)3 <math>=</math>-8

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>

==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====

Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>.
Dann gilt: IDg = IR.

----
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_4._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 4. Stufe

2011-01-17T12:48:51Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN* ==

=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 ===
<ggb_applet height="300" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W2_xm1n.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Vergleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: Die Definitionsbereiche der roten und blauen Funktionen sind für n>1 nicht-negativ. Im Definitionsbereich der blauen Funktionen muss ferner auch die 0 ausgeschlossen werden. Die verschiedenen blauen Graphen sind streng-monoton fallend. Rote und blaue Graphen haben alle den Punkt (1,1) gemeinsam (Begründung: 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}</math>). Der Wertebereich der blauen Graphen ist ]0,∞[.
}}
}}

== Exponenten, Brüche und Potenzgesetze ==

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:
:''Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n<math>\neq</math>0 wird definiert:''
:<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math>

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
:<math>x^{-\frac 1 n}</math><math>= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.</math>

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung: 
''Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion''
<math>f(x)=x^{-\frac{1}{n}}</math>
''den Definitonsbereich D = IR+.''
:{{Lösung versteckt|
:Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> für <math>n\geq2</math> nur auf IR+o definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math>M = \mathbb{R}^+ \cup \{0\}.</math> 
:Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' auf die Funktion ''f''.}}
}}
|}

== Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen ==
{| width="100%" border="0" cellspacing="0"
! height="0"|
|
|- valign="top"
|<big>'''Beispiel I:'''</big>
Es sei g eine Potenzfunktion, definiert durch <math>g(x)=x^{\frac{1}{3}}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>g^{\,-1}=:f</math> von <math>\!\,g</math>.

<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist: 
<math>\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\
y^3 &=& x^{\frac 3 3} && && \\
&=& x. &\,& && \end{matrix}</math>

Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)<math>=</math>x3.

! width="310" align="left" |<ggb_applet height="300" width="300" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="w_x3_001.ggb" />
|-
|<big>'''Beispiel II:'''</big>
Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch <math>f(x)=x^{- \frac 1 3}</math> mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f-1.

Auflösen nach x ergibt: 
<math>\begin{matrix}y &=& x^{- \frac 1 3}. &|& (\,)^3\\
y^3 &=& x^{- \frac 3 3}, && \\
&=& x^{-1}, && \\
&=& \textstyle \frac 1 x. &|& \cdot\, x \\
x\cdot y^3 &=& 1. &|& :y^3 \\
x &=& \textstyle \frac{1}{y^3} && \\
&=& y^{-3}.&& \end{matrix}</math>
! align="left"|<ggb_applet height="300" width="300" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W_x3m_001.ggb" />
|}

''Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f-1 und f(x)<math>=</math>x-1!''

=== Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1 ===

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. [[Potenzfunktionen_1._Stufe |Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen]].

=== Zusammenfassung ===

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n},</math><math>n\geq2</math> sind Potenzfunktionen mit <math>f(x)\!\, = x^n.</math> 

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{- \frac 1 n},</math><math>n\geq2</math> sind Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}</math>.

{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt? 
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten! 
{{Lösung versteckt| Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math> streng monoton steigend. Deswegen gibt es auf diesem Bereich eine Umkehrfunktion und zwar von der Bauart f(x)<math>=</math>xn. Hat man aber eine Potenzfunktion f(x)<math>=</math>xn mit <math>n\geq2</math> (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie auf ihrem Defintionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}</math> nicht überall streng monoton. Die Umkehrbarkeit ist aber nur auf streng monotonen Intervallen möglich. Betrachtet man f auf dem eingeschränkten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+_0</math>, so ist sie dort streng monoton und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist dort <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math>. }}
}}

== *Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip ==
(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)

<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="10_axminuas1nc.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
Schau Dir dieses [http://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video (Link hier)] auf www.oberprima.com an. Dort lernst Du die Merkregel des "5 S"-Prinzips kennen; die "5 S" lauten:
* '''S'''piegeln
* '''S'''trecken
* '''S'''tauchen
* '''S'''chieben
* '''S'''uperponieren
Beantworte nun die folgenden Fragen:
# Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er?
# Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich?
# Wo gehen die Variationsmöglichkeiten des Applets über die im Video vorgestellten hinaus?
}}

== *Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen ==
(freiwillig)
{|
|<ggb_applet height="380" width="400" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="rosette.ggb" /> 
Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form

:<math>f(x)=a\cdot x^q</math>

mit <math>a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \}</math> zusammengesetzt.
 
 
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen:
# Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert?
# Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut. Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind.
# Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden?
# Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?
# Auf welchen Abschnitten sind die Funktionen definiert?
}}

|
[[Bild:rosette_1.png|thumb|right|250px|Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind.]]
[[Bild:rosette_2.png|thumb|frameless|right|250px|Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen? ]]
[[Bild:rosette_3.png|thumb|frameless|right|250px| Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?]]
|}

----
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Und nun gehts zum Abschlusstest''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_Test|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 3. Stufe

2011-01-17T12:16:33Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^*</math> als Exponenten haben.'''

== Die Graphen der Funktionen f(x) = x1/n, n ∈ IN* ==

=== Funktionsgraph kennenlernen ===

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5,6\}</math>. 
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. '''Begründung:''' Es gilt 0r <math>=</math>0 und 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001b.ggb" />
|}

=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001.ggb" />
|}


== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}^*.</math>
{{Merksatz|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR+0. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)<math>=</math> xn und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen | nächstes Kapitel]]).

Im Falle n<math>=</math>2 nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>

Im Falle n<math>=</math>3 nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <math>x^{\frac{1}{3}}</math> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.
}}

Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:

=== Beispiel: Quadratwurzeln ===

{| border="0" width="100%" cellspacing="0"
! height="0" |
|
|- valign="top"
|
Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonalen B in einem Quadrat''' der Seitenlänge a<math>=</math>1 über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung <math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
! width="300" | [[Bild:diagonale.png|right|165px]]
|- valign="top"
| Auch die Länge der '''Raumdiagonale C im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = C^2</math>) zu:
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung ist also <math>\textstyle C = \sqrt{3}</math> angeben.
| [[Bild:diagonale3.png|right|170px]]
|}
=== Beispiel: Kubikwurzel ===

Das Volumen V eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge s<math>=</math>5 ergibt sich über: 
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V<math>=</math>27 durch ziehen der 3.-Wurzel:
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>

== Einfluss von Parametern ==

<ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="8_ax1nc_w.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
In obenstehendem Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern. 
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.) Der Parameter a bewirkt für a>1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für 0<a<1 eine Stauchung in y-Richtung; für a<math>=</math>0 erhält man eine konstante Funktion mit f(x)<math>=</math>c. Wird a negativ, so wird f zu einer monoton fallenden Funktion. zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert y der Wert c addiert wird.
}} 
}}



== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)
==== Einschränkung auf IR+0 ====

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math>

Wegen
:(-2)3 <math>=</math>-8

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>

==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====

Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>.
Dann gilt: IDg = IR.

----
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_4._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 3. Stufe

2011-01-17T12:02:13Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.'''

== Die Graphen der Funktionen f(x) = x1/n, n ∈ IN ==

=== Funktionsgraph kennenlernen ===

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5,6\}</math>. 
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. '''Begründung:''' Es gilt 0r <math>=</math>0 und 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001b.ggb" />
|}

=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001.ggb" />
|}


== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math>
{{Merksatz|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR+0. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)<math>=</math> xn und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen | nächstes Kapitel]]).

Im Falle n<math>=</math>2 nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>

Im Falle n<math>=</math>3 nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <math>x^{\frac{1}{3}}</math> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.
}}

Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:

=== Beispiel: Quadratwurzeln ===

{| border="0" width="100%" cellspacing="0"
! height="0" |
|
|- valign="top"
|
Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonale B in einem Quadrat''' der Seitenlänge a<math>=</math>1 über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung ist <math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
! width="300" | [[Bild:diagonale.png|right|165px]]
|- valign="top"
| Auch die Länge der '''Raumdiagonale C im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = D^2</math>) zu:
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung ist also <math>\textstyle C = \sqrt{3}</math> angeben.
| [[Bild:diagonale3.png|right|170px]]
|}
=== Beispiel: Kubikwurzel ===

Das Volumen V eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge s<math>=</math>5 ergibt sich über: 
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V<math>=</math>27 durch ziehen der 3.-Wurzel:
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>

== Einfluss von Parametern ==

<ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="8_ax1nc_w.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern. 
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.) Der Parameter a bewirkt für a>1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für 0<a<1 eine Stauchung in y-Richtung; für a<math>=</math>0 erhält man eine konstante Funktion mit f(x)<math>=</math>c. Wird a negativ, so wird f zu einer monoton fallenden Funktion. zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert y der Wert c addiert wird.
}} 
}}



== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)
==== Einschränkung auf IR+0 ====

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math>

Wegen
:(-2)3 <math>=</math>-8

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>

==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====

Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>.
Dann gilt: IDg = IR.

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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_4._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 3. Stufe

2011-01-17T11:45:30Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.'''

== Die Graphen der Funktionen f(x) = x1/n, n ∈ IN ==

=== Funktionsgraph kennenlernen ===

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5,6\}</math>. 
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. '''Begründung:''' Es gilt 0r <math>=</math>0 und 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001b.ggb" />
|}

=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets 1r <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001.ggb" />
|}


== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math>
{{Merksatz|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) <math>{\Bbb D} = {\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion <math>g</math> der Bauart <math>g(x)=x^n</math> und <math>g</math> die Umkehrfunktion zu <math>f</math> (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen | nächstes Kapitel]]).

Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>

Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <math>x^{\frac{1}{3}}</math> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.
}}

Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:

=== Beispiel: Quadratwurzeln ===

{| border="0" width="100%" cellspacing="0"
! height="0" |
|
|- valign="top"
|
Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonale <math>B</math> in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung ist <math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
! width="300" | [[Bild:diagonale.png|right|165px]]
|- valign="top"
| Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>C</math> im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = D^2</math>) zu:
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung ist also <math>\textstyle C = \sqrt{3}</math> angeben.
| [[Bild:diagonale3.png|right|170px]]
|}
=== Beispiel: Kubikwurzel ===

Das Volumen <math>V</math> eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge <math>s=5</math> ergibt sich über: 
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel:
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>

== Einfluss von Parametern ==

<ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="8_ax1nc_w.ggb" />

{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern. 
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.) Der Parameter <math>a</math> bewirkt für <math>a>1</math> eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für <math>0<a<1</math> eine Stauchung in y-Richtung; für <math>a=0</math> erhält man eine konstante Funktion mit <math>f(x)=c</math>. Wird <math>a</math> negativ, so wird <math>f</math> zu einer monoton fallenden Funktion. zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert <math>y</math> der Wert <math>c</math> addiert wird.
}} 
}}



== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)
==== Einschränkung auf IR+0 ====

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math>

Wegen
:<math>(-2)^3 = -8</math>

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>

==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====

Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>.
Dann gilt: IDg = IR.

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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_4._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 2. Stufe

2011-01-17T10:09:28Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

== Die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, n ∈ IN ==
=== Gerade Potenzen ===

'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.)
:* Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
:* Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall <math>]-\infty;0[</math> streng monoton steigend und im Intervall <math>]0;\infty[</math> streng monoton fallend.
:* Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind <math>]0; \infty[</math>. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.
: 
: zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.</math> Da wir hier nur gerade Zahlen <math>n \in \{2,4,6,...\}</math> betrachten gilt weiter: <math>\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1</math> unabhängig von n.
:: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
: 
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
: 
: zu 4.)
: Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\textstyle \frac{1}{k^n}</math>-facht. 
:: Symbolisch: <math>f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x)</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_gerade_x_minus_n.ggb" />
|}

=== Parabel und Hyperbel ===

Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xn und f(x)=x-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
{{ Merksatz | MERK =
* Die Graphen von Funktionen f(x)=xn und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. 
* Für f(x)=x2 heißt der Graph '''Normalparabel'''; für f(x)=x3 dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung''').
* Die Graphen von Funktionen f(x)=x-n und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
}}
 

=== Ungerade Potenzen ===

'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_ungerade_x_minus_n.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.!
{{ Lösung versteckt |
zu 1.)
:* Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).
:: Beachte: für n<math>=</math>1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y<math>=</math>x.
:* Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}</math> streng monoton fallend.
:* Als Funktionswerte werden alle Werte aus <math>\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}</math>. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.
 
zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).
: '''Begründung''' für Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n</math>. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist <math>\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1</math> für alle betrachteten n.
: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.
: In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.
: In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.
}}
}}
|}

=== Teste dein Wissen ===
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>?
# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>?
:{{Lösung versteckt|
zu 1.) Die Lösung ist n<math>=</math>4.
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math>
zu 2.) Die Lösung ist n<math>=</math>3.
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math>
}}
}}

== Die Graphen von f(x) = a x-n mit a ∈ IR ==

'''Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
{{ Lösung versteckt |
: zu 1.)
:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.
:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
: zu 2.)
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
}}
}}
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_ax_minus_n.ggb" />

|}

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_ax_minus_n_test.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Wir betrachten wieder die Funktionen <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math> für eine eine natürliche Zahl n.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.) Die Lösung ist a<math>=</math>2, n<math>=</math>1.
:: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math>
: zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
: '''Begründung:'''
:* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
:* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a<math>=</math>1 sein.
: Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x)<math>=</math> x-n mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>3 hat.
}}
}}
|}

=== Teste Dein Wissen ===

* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]
* [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_II.html Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!]
 

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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_3._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

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Potenzfunktionen - 2. Stufe

2011-01-17T10:06:52Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

== Die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, n ∈ IN ==
=== Gerade Potenzen ===

'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.)
:* Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
:* Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall <math>]-\infty;0[</math> streng monoton steigend und im Intervall <math>]0;\infty[</math> streng monoton fallend.
:* Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind <math>]0; \infty[</math>. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.
: 
: zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.</math> Da wir hier nur gerade Zahlen <math>n \in \{2,4,6,...\}</math> betrachten gilt weiter: <math>\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1</math> unabhängig von n.
:: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
: 
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
: 
: zu 4.)
: Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\textstyle \frac{1}{k^n}</math>-facht. 
:: Symbolisch: <math>f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x)</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_gerade_x_minus_n.ggb" />
|}

=== Parabel und Hyperbel ===

Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xn und f(x)=x-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
{{ Merksatz | MERK =
* Die Graphen von Funktionen f(x)=xn und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. 
* Für f(x)=x2 heißt der Graph '''Normalparabel'''; für f(x)=x3 dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung''').
* Die Graphen von Funktionen f(x)=x-n und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
}}
 

=== Ungerade Potenzen ===

'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_ungerade_x_minus_n.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.!
{{ Lösung versteckt |
zu 1.)
:* Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).
:: Beachte: für n<math>=</math>1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y<math>=</math>x.
:* Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}</math> streng monoton fallend.
:* Als Funktionswerte werden alle Werte aus <math>\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}</math>. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.
 
zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).
: '''Begründung''' für Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n</math>. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist <math>\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1</math> für alle betrachteten n.
: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.
: In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.
: In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.
}}
}}
|}

=== Teste dein Wissen ===
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>?
# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>?
:{{Lösung versteckt|
zu 1.) Die Lösung ist n<math>=</math>4.
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math>
zu 2.) Die Lösung ist n<math>=</math>3.
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math>
}}
}}

== Die Graphen von f(x) = a x-n mit a ∈ IR ==

'''Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
{{ Lösung versteckt |
: zu 1.)
:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.
:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
: zu 2.)
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
}}
}}
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_ax_minus_n.ggb" />

|}

{| 
|- style="vertical-align:top;"
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||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Wir betrachten wieder die Funktionen <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math> für eine eine natürliche Zahl n.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.) Die Lösung ist a<math>=</math>2, n<math>=</math>1.
:: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math>
: zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
: '''Begründung:'''
:* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
:* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a<math>=</math>1 sein.
: Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art <math>f(x)=x^{-n}</math> mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>3 hat.
}}
}}
|}

=== Teste Dein Wissen ===

* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]
* [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_II.html Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!]
 

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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_3._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

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Potenzfunktionen - 2. Stufe

2011-01-17T09:57:23Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

== Die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, n ∈ IN ==
=== Gerade Potenzen ===

'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.)
:* Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
:* Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall <math>]-\infty;0[</math> streng monoton steigend und im Intervall <math>]0;\infty[</math> streng monoton fallend.
:* Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind <math>]0; \infty[</math>. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.
: 
: zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.</math> Da wir hier nur gerade Zahlen <math>n \in \{2,4,6,...\}</math> betrachten gilt weiter: <math>\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1</math> unabhängig von n.
:: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
: 
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
: 
: zu 4.)
: Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\textstyle \frac{1}{k^n}</math>-facht. 
:: Symbolisch: <math>f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x)</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_gerade_x_minus_n.ggb" />
|}

=== Parabel und Hyperbel ===

Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xn und f(x)=x-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
{{ Merksatz | MERK =
* Die Graphen von Funktionen f(x)=xn und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. 
* Für f(x)=x2 heißt der Graph '''Normalparabel'''; für f(x)=x3 dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung''').
* Die Graphen von Funktionen f(x)=x-n und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
}}
 

=== Ungerade Potenzen ===

'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_ungerade_x_minus_n.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.!
{{ Lösung versteckt |
zu 1.)
:* Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).
:: Beachte: für n<math>=</math>1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y<math>=</math>x.
:* Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}</math> streng monoton fallend.
:* Als Funktionswerte werden alle Werte aus <math>\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}</math>. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.
 
zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).
: '''Begründung''' für Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n</math>. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist <math>\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1</math> für alle betrachteten n.
: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.
: In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.
: In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.
}}
}}
|}

=== Teste dein Wissen ===
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>?
# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>?
:{{Lösung versteckt|
zu 1.) Die Lösung ist <math>n=4.</math>
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math>
zu 2.) Die Lösung ist <math>n=3.</math>
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math>
}}
}}

== Die Graphen von f(x) = a x-n mit a ∈ IR ==

'''Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
{{ Lösung versteckt |
: zu 1.)
:* Für <math>1 < a</math> wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für <math>0<a<1</math> gestaucht.
:* Für <math>a=1</math> bleibt er unverändert
:* Für <math>a=0</math> wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' mit <math>f(x)=0</math> für alle <math>x</math>.
:* Der Wert <math>a=-1</math> bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
: zu 2.)
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
}}
}}
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_ax_minus_n.ggb" />

|}

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_ax_minus_n_test.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Wir betrachten wieder die Funktionen <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math> für eine eine natürliche Zahl n.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.) Die Lösung ist <math>a = 2, n = 1.</math>
:: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math>
: zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
: '''Begründung:'''
:* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
:* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter <math>a = 1</math> sein.
: Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art <math>f(x)=x^{-n}</math> mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle <math>x=1</math> den Funktionswert <math>f(x)=1.</math> Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle <math>x=1</math> den Funktionswert <math>f(x)=3</math> hat.
}}
}}
|}

=== Teste Dein Wissen ===

* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]
* [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_II.html Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!]
 

----
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_3._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 1. Stufe

2011-01-17T09:50:22Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN ==
=== Gerade Potenzen ===

'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x2 zu f(x) = x4, dann die beim Übergang von f(x) = x4 zu f(x) = x6 usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xn, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
:{{Lösung versteckt|
:zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten <math>n \in \{0,2,4,6,...\}</math>. Dann gilt:
:* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
:* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
:* Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen. 
: 
:zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n<math>=</math>0 gilt (-1)0 <math>=</math> 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>
:* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist 1r<math>=</math>r und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>.
: 
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
: 
:zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kn-facht. 
: Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_gerade_xn.ggb" />
|}

=== Ungerade Potenzen ===

'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_ungerade_xn.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x1 zu f(x) = x3, dann die beim Übergang von f(x) = x3 zu f(x) = x5 usw.!
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Wir betrachten hier Exponenten <math>n\in\{1,3,5,7,...\}</math>. Dann gilt:
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv'').
: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. 
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math>
:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0r<math>=</math>0 und 1r<math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
}}
}}
|}

=== Teste dein Wissen ===
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = xn, n eine natürliche Zahl
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
:{{Lösung versteckt|
:Der Punkt P(2;32) wird für n<math>=</math>5 durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>. 
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n<math>=</math>3 durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>.
}}
}}

== Die Graphen von f(x) = a xn, mit a ∈ IR ==

'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
{{ Lösung versteckt |
: zu 1.)
:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.
:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
: zu 2.)
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
}}
}}
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_axn.ggb" />

|}

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_axn_test.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Wir betrachten wieder die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-2;4)''' und '''B(1;-0,5)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(0,5;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
 
{{ Lösung versteckt |
:zu 1.) Lösung: a<math>=</math>-0,5 und n<math>=</math>3. 
: '''Begründung:''' An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5</math> 
:: und an der Stelle x<math>=</math>-2 ist <math>f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4</math> 
:zu 2.) Es gibt keine Lösung! 
: '''Begründung:''' 
::* Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion <math>f(x)=a\cdot x^n</math> mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. 
::* Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a<math>=</math>1 sein (vgl. Aufgabe 4). 
::* Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss <math>f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3</math> gelten. 
:: Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die <math>(0,\!5)^n=3</math> erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da <math>(0,\!5)^n \to 1</math> für <math>n \to \infty.</math>
}}
}}
|}

=== Teste Dein Wissen ===

* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
 
----
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_2._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 1. Stufe

2011-01-17T09:46:40Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN ==
=== Gerade Potenzen ===

'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x2 zu f(x) = x4, dann die beim Übergang von f(x) = x4 zu f(x) = x6 usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xn, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
:{{Lösung versteckt|
:zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten <math>n \in \{0,2,4,6,...\}</math>. Dann gilt:
:* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
:* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
:* Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen. 
: 
:zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n<math>=</math>0 gilt (-1)0 <math>=</math> 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>
:* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist 1r<math>=</math>r und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>.
: 
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
: 
:zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kn-facht. 
: Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_gerade_xn.ggb" />
|}

=== Ungerade Potenzen ===

'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_ungerade_xn.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x1 zu f(x) = x3, dann die beim Übergang von f(x) = x3 zu f(x) = x5 usw.!
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Wir betrachten hier Exponenten <math>n\in\{1,3,5,7,...\}</math>. Dann gilt:
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv'').
: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. 
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math>
:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0r<math>=</math>0 und 1r<math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
}}
}}
|}

=== Teste dein Wissen ===
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = xn, n eine natürliche Zahl
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
:{{Lösung versteckt|
:Der Punkt P(2;32) wird für n<math>=</math>5 durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>. 
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n<math>=</math>3 durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>.
}}
}}

== Die Graphen von f(x) = a xn, mit a ∈ IR ==

'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
{{ Lösung versteckt |
: zu 1.)
:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.
:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
: zu 2.)
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
}}
}}
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_axn.ggb" />

|}

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_axn_test.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-2;4)''' und '''B(1;-0,5)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(0,5;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
 
{{ Lösung versteckt |
:zu 1.) Lösung: <math>a=-0,5</math> und <math>n=3.</math> 
: '''Begründung:''' An der Stelle <math>x=1</math> ist <math>f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5</math> 
:: und an der Stelle <math>x=-2</math> ist <math>f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4</math> 
:zu 2.) Es gibt keine Lösung! 
: '''Begründung:''' 
::* Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion <math>f(x)=a\cdot x^n</math> mit ungeradem <math>n</math> (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. 
::* Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter <math>a=1</math> sein (vgl. Aufgabe 4). 
::* Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss <math>f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3</math> gelten. 
:: Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die <math>(0,\!5)^n=3</math> erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da <math>(0,\!5)^n \to 1</math> für <math>n \to \infty.</math>
}}
}}
|}

=== Teste Dein Wissen ===

* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
 
----
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_2._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 1. Stufe

2011-01-17T09:34:17Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN ==
=== Gerade Potenzen ===

'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x2 zu f(x) = x4, dann die beim Übergang von f(x) = x4 zu f(x) = x6 usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xn, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
:{{Lösung versteckt|
:zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten <math>n \in \{0,2,4,6,...\}</math>. Dann gilt:
:* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
:* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
:* Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen. 
: 
:zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n<math>=</math>0 gilt (-1)0 <math>=</math> 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>
:* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist 1r<math>=</math>r und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>.
: 
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
: 
:zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kn-facht. 
: Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_gerade_xn.ggb" />
|}

=== Ungerade Potenzen ===

'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit <math>f(x) = x^n</math>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_ungerade_xn.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x1 zu f(x) = x3, dann die beim Übergang von f(x) = x3 zu f(x) = x5 usw.!
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Wir betrachten hier Exponenten <math>n\in\{1,3,5,7,...\}</math>. Dann gilt:
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv'').
: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von <math>n</math> in allen Graphen. 
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle <math>x=-1</math> ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da <math>n</math> nach Voraussetzung ungerade ist, ist <math>n-1</math> eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math>
:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt <math>0^r = 0</math> und <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
}}
}}
|}

=== Teste dein Wissen ===
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = xn, n eine natürliche Zahl
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
:{{Lösung versteckt|
:Der Punkt P(2;32) wird für <math>n=5</math> durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>. 
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für <math>n=3</math> durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>.
}}
}}

== Die Graphen von f(x) = a xn, mit a ∈ IR ==

'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
{{ Lösung versteckt |
: zu 1.)
:* Für <math>1 < a</math> wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für <math>0<a<1</math> gestaucht.
:* Für <math>a=1</math> bleibt er unverändert
:* Für <math>a=0</math> wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' mit <math>f(x)=0</math> für alle <math>x</math>.
:* Der Wert <math>a=-1</math> bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
: zu 2.)
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
}}
}}
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_axn.ggb" />

|}

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_axn_test.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-2;4)''' und '''B(1;-0,5)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(0,5;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
 
{{ Lösung versteckt |
:zu 1.) Lösung: <math>a=-0,5</math> und <math>n=3.</math> 
: '''Begründung:''' An der Stelle <math>x=1</math> ist <math>f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5</math> 
:: und an der Stelle <math>x=-2</math> ist <math>f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4</math> 
:zu 2.) Es gibt keine Lösung! 
: '''Begründung:''' 
::* Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion <math>f(x)=a\cdot x^n</math> mit ungeradem <math>n</math> (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. 
::* Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter <math>a=1</math> sein (vgl. Aufgabe 4). 
::* Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss <math>f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3</math> gelten. 
:: Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die <math>(0,\!5)^n=3</math> erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da <math>(0,\!5)^n \to 1</math> für <math>n \to \infty.</math>
}}
}}
|}

=== Teste Dein Wissen ===

* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
 
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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_2._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - 2. Stufe

2011-01-17T08:11:13Z

Peter Hofbauer:

{{Potenzfunktionen}}

== Die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, n ∈ IN ==
=== Gerade Potenzen ===

'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''

{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.)
:* Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
:* Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall <math>]-\infty;0[</math> streng monoton steigend und im Intervall <math>]0;\infty[</math> streng monoton fallend.
:* Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind <math>]0; \infty[</math>. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.
: 
: zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;1): An der Stelle <math>x=-1</math> ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.</math> Da wir hier nur gerade Zahlen <math>n \in \{2,4,6,...\}</math> betrachten gilt weiter: <math>\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1</math> unabhängig von n.
:: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle <math>x=1</math> ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
: 
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für <math>x< -1</math> bzw. <math>x > 1</math> werden die Funktionswerte größer.
: 
: zu 4.)
: Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\textstyle \frac{1}{k^n}</math>-facht. 
:: Symbolisch: <math>f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x)</math>.
}}
}} 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_gerade_x_minus_n.ggb" />
|}

=== Parabel und Hyperbel ===

Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xn und f(x)=x-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
{{ Merksatz | MERK =
* Die Graphen von Funktionen f(x)=xn und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. 
* Für f(x)=x2 heißt der Graph '''Normalparabel'''; für f(x)=x3 dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung''').
* Die Graphen von Funktionen f(x)=x-n und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
}}
 

=== Ungerade Potenzen ===

'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_ungerade_x_minus_n.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.!
{{ Lösung versteckt |
zu 1.)
:* Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).
:: Beachte: für <math>n=1</math> ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden <math>g: y=x.</math>
:* Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}</math> streng monoton fallend.
:* Als Funktionswerte werden alle Werte aus <math>\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}</math>. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.
 
zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).
: '''Begründung''' für Punkt (-1;-1): An der Stelle <math>x=-1</math> ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n</math>. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist <math>\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1</math> für alle betrachteten n.
: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle <math>x=1</math> ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.
: In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.
: In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.
}}
}}
|}

=== Teste dein Wissen ===
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>?
# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>?
:{{Lösung versteckt|
zu 1.) Die Lösung ist <math>n=4.</math>
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math>
zu 2.) Die Lösung ist <math>n=3.</math>
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math>
}}
}}

== Die Graphen von f(x) = a x-n mit a ∈ IR ==

'''Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .'''

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
{{ Lösung versteckt |
: zu 1.)
:* Für <math>1 < a</math> wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für <math>0<a<1</math> gestaucht.
:* Für <math>a=1</math> bleibt er unverändert
:* Für <math>a=0</math> wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' mit <math>f(x)=0</math> für alle <math>x</math>.
:* Der Wert <math>a=-1</math> bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
: zu 2.)
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
}}
}}
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_ax_minus_n.ggb" />

|}

{| 
|- style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_ax_minus_n_test.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Wir betrachten wieder die Funktionen <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math> für eine eine natürliche Zahl n.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.) Die Lösung ist <math>a = 2, n = 1.</math>
:: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math>
: zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
: '''Begründung:'''
:* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
:* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter <math>a = 1</math> sein.
: Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art <math>f(x)=x^{-n}</math> mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle <math>x=1</math> den Funktionswert <math>f(x)=1.</math> Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle <math>x=1</math> den Funktionswert <math>f(x)=3</math> hat.
}}
}}
|}

=== Teste Dein Wissen ===

* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]
* [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_II.html Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!]
 

----
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.''' 
[[Bild:Pfeil.gif]]   [[Potenzfunktionen_3._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''

|}

Potenzfunktionen - Einführung

2011-01-17T07:50:31Z

Peter Hofbauer: /* Die Graphen der Funktionen x, x² und x³ */

{{Potenzfunktionen}}

== Einführung==
== Die Graphen der Funktionen x, x² und x³==
{| cellspacing="10"
|-
| [[Bild:graphx.jpg |180px]] || [[Bild:xhoch2.jpg |180px]] ||[[Bild:graphxhoch3.jpg | 150px]] || {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
# Vergleiche den Graph der Funktion h(x) = x3 mit dem Graphen der Funktion g(x) = x. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede!
# Vergleiche den Graph der Funktion mit h(x) = x3 mit dem Graphen der quadratischen Funktion mit f(x) = x2. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede!
}}
|- style="text-align:center;"
| '''g(x) = x''' || '''f(x) = x²''' || '''h(x) = x³'''
|}

===Die Graphen und ein Wanderer===

{|
|-
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
# Ein Wanderer legt bei seinem Weg von A nach B einen Höhenunterschied von 10 m zurück. Wir betrachten nun drei verschiedene Formen des Verbindungsweges. Diese drei Wege haben im Seitenprofil in etwa die eingezeichneten Formen W1, W2, W3. Beschreibe den Wanderweg jeweils entlang dieser drei Wege, den der Wanderer zurücklegt, wenn er von A nach B geht.}}
| [[Bild:wanderer.png |350px]]
|}

===Wir betrachten jetzt die drei Funktionen mit ihren Graphen im Bereich von x = 0 bis x = 2===

{|cellspacing="10"
|-
|rowspan=3| || rowspan=3|[[Bild:alle3graphen.jpg]]|| align="center"|'''g(x) = x (Graph A)''' 
'''f(x) = x2 (Graph B)''' '''h(x) = x3 (Graph C)'''
|-
|align="left" | {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
# Begründe mit Hilfe der Tabelle, warum die '''Graphen A''' und '''B''' in der Umgebung des Nullpunktes stärker steigen als der '''Graph C'''.
# Ab welchem Punkt steigt der '''Graph C''' stärker als der '''Graph A'''?
# Ab welchem Punkt steigt der '''Graph C''' stärker als der '''Graph B'''?}}
|-
|align="center"|
{| class="prettytable"
|-
| '''x''' || '''Graph A''' || '''Graph B''' || '''Graph C'''
|-
| 0 || || || 
|-
| 0,2 || || || 
|-
| 0,4 || || || 
|-
| ... || || || 
|-
| ... || || || 
|-
| 2 || || || 
|-
|}
|}

== Verändern von Variablen ==

===Der Graph der Funktion ha(x)<math>= a \cdot x^3</math> ===

{| cellspacing="10"
|-
|<ggb_applet height="300" width="400" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="1_ax3.ggb" />
|| {{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Betätige den Schieberegler um die '''Variable a''' zu verändern. Beschreibe die Veränderung der Graphen der Funktion mit <math>f_a= a \cdot x^3</math> in Abhängigkeit von a!
}} 
|}

===Der Graph der Funktion ha,c(x)<math> = a \cdot x^3 + c</math>===
 
{| cellspacing="10"
|-
|<ggb_applet height="300" width="400" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="2_ax3c.ggb" />
|| {{Arbeiten|NUMMER=6|ARBEIT=
Verändere - mit dem Schieberegler - den Wert der '''Variablen c'''. Beschreibe!}} 
|}

==Teste Dein Wissen==
[http://www.mathe-online.at/tests/fun1/erkennen.html Ordne die Funktionsterme den Funktionsgraphen zu! (auf www.mathe-online.at)]

[http://hotpotatoes.bildung-rp.de/parabel.htm Wähle den zum Graphen passenden Funktionsterm aus!]

Potenzfunktionen

2011-01-17T07:43:42Z

Peter Hofbauer:

'''[[Benutzer:Hans-Georg Weigand|Hans-Georg Weigand]], [[Benutzer:Michael Schuster|Michael Schuster]], [[Benutzer:Jan Wörler|Jan Wörler]] und [[Benutzer:Petra Bader|Petra Bader]]'''

{{Kasten 1002|
HINTERGRUND = #f4f0e4|
BORDER = grey|
BACKGROUND = #00008B|
BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
BILD = Pentagramm.png|50px|
INHALT1=
Dieser Lernpfad stellt eine zusammenfassende Wiederholung zu „Potenzfunktionen“ dar. Es wird also vorausgesetzt, dass dieser Themenbereich im Unterricht bereits behandelt wurde.
Dieser Lernpfad vertieft den Zusammenhang zwischen den Potenzfunktionen mit verschiedenen Exponenten (natürliche, ganze, rationale Exponenten) und entwickelt insbesondere die Wechselbeziehung zwischen Term und Graph durch Variation der Exponenten und Parameter bei f(x) = a·xr + b. |
INHALT1a=
|
INHALT1b=
|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
*Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)
*von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen
*Eigenschaften von Potenzfunktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen |
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
*Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
*Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren
*Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben |
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|Didaktischer_Kommentar_pot_Fkt.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

 Der Lernpfad ist in fünf Kapitel eingeteilt, die du sinnvollerweise in der angegebenen Reihenfolge bearbeitest.

{{Potenzfunktionen}}


[[dmuw:Potenzfunktionen]]
[[zum-wiki:Potenzfunktionen]]
[[zum-wiki:Mathematik-digital/Potenzfunktionen]]

Datei:HeidiMetzger.jpg

2009-05-04T13:50:10Z

Peter Hofbauer: hat eine neue Version von „Bild:HeidiMetzger.jpg“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = HAK Horn |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Zugang zur Poissonverteilung

2009-05-04T13:43:17Z

Peter Hofbauer:

'''[[Benutzer:Heidi Metzger-Schuhäker|Heidi Metzger-Schuhäker]], [[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]], Gabi Bleier'''

{{Kasten1000|

BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
INHALT1=
Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema diskrete Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen anhand eines Anwendungsbeispiels. Dabei wird eine Unfallstatistik als Maß der Sicherheit genauer untersucht. Als Alternative zur im Unterricht häufig verwendeten Binomialverteilung wird hier bewusst die Poissonverteilung eingesetzt.|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
* Werte einer Tabelle grafisch darstellen und interpretieren
* statistische Zentral - und Streuungsmaße berechnen und ihre Bedeutung kennen
* die Begriffe des Zufalls, der Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeitsfunktion kennen
* Treppenfunktionen zeichnen und ihren Graph interpretieren ||
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
* Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
* grafische Darstellung diskreter Zufallsvariable erkennen
* Treppenfunktionen als Graphen von diskreten Verteilungsfunktionen identifizieren
* charakteristische Merkmale einer poissonverteilten Zufallsvariable kennenlernen
* Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben|
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|Didaktischer_Kommentar.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

----

= Es gibt nur gute Autofahrer, oder? =

== Die Behauptung==

Die meisten Autofahrer behaupten von sich, dass ihre Fahrkünste nicht schlechter als durchschnittlich sind. Ist das möglich oder handelt es sich um Selbstüberschätzung?
Wie kann man die Fahrkünste überhaupt bewerten?
Als Maß der Sicherheit soll die Anzahl der Unfälle gelten, in die ein(e) Fahrer(in) im Laufe des Lebens verwickelt ist.

== Statistische Auswertung==

Da als Maß der Sicherheit die Anzahl der Unfälle gilt, in die ein(e) Fahrer(in) im Laufe des Lebens verwickelt ist, legen wir unserer Analyse eine Unfallstatistik zugrunde. Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:
Stichprobe: 100 Fahrer

{| class="prettytable" valign="center"
|+ Unfallstatistik
! style="background: #FFDDDD;"|Anzahl der Unfälle
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
| 13
| 14
| 15
| 16
| 17
| 18
| 19
| 20
|-
! style="background: #FFDDDD;"|Personen
| 6
| 17
| 23
| 20
| 14
| 9
| 4
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0
|}

----
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=# Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem dar.
# In wie viele Unfälle ist ein "durchschnittlicher" Autofahrer verwickelt? Berechne wichtige statistische Zentral- und Streuungsmaße und interpretiere deine Ergebnisse!
# Berechne, wie viele Autofahrer der Stichprobe nicht schlechter als der Durchschnitt sind, wenn man die Anzahl der Unfälle als Maß nimmt!
# Zur Diskussion: Was könnte problematisch sein, wenn die Anzahl der Autounfälle im Laufe eines Lebens als Maß der Sicherheit gewählt wird? Findest du ein anderes geeignetes Modell?}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|Mittelwert: 3,22 
Standardabweichung: 2,63 
Anzahl der Autofahrer mit höchstens 3 Unfällen: 66 von 100, also 66%.
[http://www.hakhorn.ac.at/mathematik/mv/Autofahrer1.xls Lösung als Excel-Datei]}}
----

= Der Begriff der Wahrscheinlichkeitsfunktion=

Als erstes Modell könntest du als Beurteilung der Sicherheit eines Autofahrers bzw. einer Autofahrerin die Anzahl der Unfälle, in welche die Person im Laufe ihres Lebens verwickelt war, heranziehen.

== Die Zufallsvariable==

; Zufallsvariable

{{Merksatz|MERK= Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes verschiedenene, nicht vorhersagbare Zahlen x zu.}}

In diesem Beispiel ist die Zufallsvariable X das Maß der Sicherheit eines Autofahrers, es werden hier entsprechend die Anzahlen der Unfälle, also die Zahlen 0 bis 20 zugeordnet.

; diskrete Zufallsvariable

{{Merksatz|MERK= Wenn dabei die zugeordneten Werte abzählbar sind, also einem Zählprozess zugrunde liegen, spricht man von '''diskreten Zufallsvariablen'''.}}

----
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Finde eigenständig weitere Beispiele für diskrete Zufallsvariable!}}
----

Wir wollen nun versuchen, aus der vorliegenden Stichprobe der Polizei etwas allgemeinere Aussagen treffen zu können. Da es sich um eine Stichprobe mittlerer Größe handelt, ist es sinnvoll, sich die relativen Häufigkeiten genauer anzusehen.

----
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=# Recherchiere eigenständig, was man unter der "statistischen Definition von Wahrscheinlichkeit" versteht.
# Stelle die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieses Beispiels mit Hilfe relativer Häufigkeiten sowohl in einer Tabelle als auch grafisch dar!}}

{| class="prettytable" valign="center"
|+ Unfallstatistik
! style="background: #FFDDDD;"|Zufallsvariable (Anzahl der Unfälle) X=x
| x=0
| x=1
| x=2
| x=3
| x=4
| x=5
| x=6
| x=7
| x=8
| x=9
| x=10
| x=11
| x=12
| x=13
| x=14
| x=15
| x=16
| x=17
| x=18
| x=19
| x=20

|-
! style="background: #FFDDDD;"|relative Häufigkeiten
| 0.06
| 0,17
| 0,23
| 0,20
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|}

'''Lösung zu 1:'''
{{versteckt|1=
Approximation der (statistischen) Wahrscheinlichkeit mit Hilfe von relativen Häufigkeiten:
Nähern sich bei wachsendem Stichprobenumfang die relativen Häufigkeiten des Eintretens eines Ereignisses E einer bestimmten Zahl p(E) so bezeichnet man p(E) als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignises E. Man schreibt <math>p(E)\approx h_n</math> für sehr großes n.
Diese statistische Definition der Wahrscheinlichkeit findet vor allem dann Anwendung, wenn man kein mathematisches Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit findet. Es handelt sich um eine empirische Größe, die eine große Versuchsreihe voraussetzt, um einen guten „Schätzwert“ liefern zu können. Somit ist die nach dieser Definition die Wahrscheinlichkeit die optimale Prognose der relativen Häufigkeiten.}}

'''Lösung zu 2:'''
{{versteckt|[http://www.hakhorn.ac.at/mathematik/mv/Autofahrer2.xls Lösung als Excel-Datei]}}
----

== Die Darstellung mittels relativer Häufigkeiten==

; Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariable

{{Merksatz|MERK= Unter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f der diskreten Zufallsvariablen X versteht man die Funktion, die den Funktionswerten von X, also den zugeordneten Werten x die Wahrscheinlichkeit p ihres Eintretens zuordnet.}}

In diesem Beispiel entspricht die grafische Darstellung der relativen Häufigkeiten also einer Wahrscheinlichkeitsfunktion.

----
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Beschreibe den Verlauf der Funktionswerte. Macht es Sinn, die einzelnen Werte miteinander zu verbinden?}}

Lösung:
{{versteckt|Wenn man die Darstellung der relativen Häufigkeiten betrachtet, so zeigt sich eine deutlich asymmetrische Verteilung. Bei einer zufällig aus der Stichprobe gewählten Person ist der berechnete Mittelwert von 3 Unfällen eine optimale Prognose, der Erwartungswert. Aus der Graphik zeigt sich, dass die meisten Personen eher in wenige Unfälle verwickelt sind. Größere Unfallanzahlen treten hingegen viel seltener auf.
Da Unfälle nur ganzzahlige auftreten können (du kannst nicht 0,3 Unfälle haben) ist es nicht sinnvoll, die einzelnen Werte zu verbinden. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist deshalb nur für ganzzahlige nicht negative Werte definiert.}}
----

= Die Poissonverteilung=

; Poisson-Verteilung

{{Merksatz|MERK= Wahrscheinlichkeitsfunktionen mit einer grafischen Darstellung wie jener des Autofahrerbeispiels, wurden nach dem französischen Mathematiker Simeón Denis Poisson (1781–1840) benannt und treten bei sehr seltenen Ereignissen und einer großen Stichprobe auf. Poisson hat erkannt, dass der Verlauf der relativen Häufigkeiten eine Form hat, die an den Graphen folgender Funktion erinnert: <math>f(x)={{e^{{-p\cdot n}}}\cdot (p\cdot n)^x \over x!}</math> , wobei p die Wahrscheinlichkeit darstellt, mit welcher das Ereignis eintritt; n ist die Anzahl der Stichprobengröße. Man spricht bei einer stetigen Funktion dieser Form von einer "Trägerkurve" als Annäherung der diskreten Wahrscheinlichkeitsfunktion.}}

----
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Finde durch Probieren mit Hilfe des GeoGebra-Applets eine Funktion der oben erwähnten Form, die der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Autounfälle möglichst nahe kommt. Variiere dabei die Parameter p und n durch Einsetzen der Schieberegler.}}

<ggb_applet height="400" width="800" filename="Poisson_1.ggb" />
----

= Der Begriff der Verteilungsfunktion=

In der ursprünglichen Aufgabenstellung interessiert uns nicht die Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Autofahrer im Laufe seines Lebens eine bestimmte Anzahl von Unfällen hat.
Vielmehr interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, mit welcher Zufallsvariable Werte annehmen, die nicht größer als ein fest vorgegebener Wert sind, also ein Autofahrer nicht mehr als vier Unfälle im Laufe seines Lebens hat.

{{Merksatz|MERK= Eine diskrete Zufallsvariable X heißt poissonverteilt, wenn gilt: <math>f(x)=P(X=x)\begin{cases}{{e^{{-p\cdot n}}}\cdot (p\cdot n)^x \over x!}& \mbox{wenn }x\in \mathcal{f} 0,1,2,... \mathcal{g}\\ 0 & \mbox{sonst}\end{cases}</math>}}

----
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=#Berechne die summierten Häufigkeiten und stelle diese sowohl in einer Tabelle als auch grafisch dar!
# Überlege, warum sich die Funktionswerte bei größer werdenden x-Werten der Zahl 1 annähern müssen, sie jedoch nie überschreiten!
# Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Autofahrer höchstens 3 Unfälle hat? Berechne die Lösung sowohl mit Hilfe der Werte der Stichprobe als auch annähernd durch die POISSONVERTEILUNG.
# Formuliere allgemein die Verteilungsfunktion der POISSONVERTEILUNG.}}

'''Lösung zu 1:'''
{{versteckt|[http://www.hakhorn.ac.at/mathematik/mv/Autofahrer4.xls Lösung als Excel-Datei]}}
'''Lösung zu 2:'''
{{versteckt|1=
Die Wahrscheinlichkeit <math>\le</math>höchste Anzahl ist ein sicheres Ereignis und liegt bei 100% bzw. 1.}}
'''Lösung zu 3:'''
{{versteckt|1=
P(X<math>\le</math>3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=66%; POISSONVERTEILUNG: zB. bei n=4500, p=0,00062: 69%}}
'''Lösung zu 4:'''
{{versteckt|1=
Formulierung als Summe: <math>F(x)=\sum_{k=0}^x f(k)</math>}}
----

Da es bei dieser Darstellung Sprungstellen bei den jeweils ganzzahligen Werten gibt, handelt es sich bei der grafischen Darstellung solcher Verteilungsfunktionen um Treppenfunktionen.

= Weitere Aufgaben =
Zum Schluss noch weitere Aufgaben, um die neuerlernte Poissonverteilung selbständig anzuwenden:

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Ein deutscher Statistiker namens Bortkiewicz führte zu Beginn des 20. Jahrhunderts eine versicherungsmathematisch interessante Untersuchung durch:
Zu wie vielen tödlichen Unfällen durch Pferdehufschlag kam es in der preußischen Armee?
Die folgende Tabelle enthält die Statistik der Unfallopfer von 10 Kavallerieregimentern für einen Zeitraum von 20 Jahren (dies entspricht 200 "Regimentsjahren"). Berechne das arithmetische Mittel und setzte diese Zahl als Parameter <math>\lambda</math> ein´. (Erwartungswert <math>\lambda=p\cdot n</math>). Vergleiche mit Hilfe einer Tabelle die Werte der relativen Häufigkeiten und der possionverteilten Wahrscheinlichkeitsfunktion!}}

{| class="prettytable" valign="center"
|+ Unfallstatistik
! style="background: #FFDDDD;"|Zahl der Todesopfer
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| >4
|-
! style="background: #FFDDDD;"|Zahl der Regimentsjahre
| 109
| 65
| 22
| 3
| 1
| 0
|}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Die mittlere Ankunftsrate der Bestellungen per E-Mail auf unserem Server beträgt <math>\lambda=4</math> pro Tag.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8 Bestellungen pro Tag hereinkommen.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Die Häufigkeit von Kreditausfällen kann näherungsweise durch eine POISSON-Verteilung dargestellt werden.
Wie groß ist für ein Portfolio von z.B. n=1000 Krediten mit einer einheitlichen und unabhängigen Ausfallwahrscheinlichkeit von p=1% die Wahrscheinlichkeit, dass es – etwa innerhalb eines Jahres – zu mehr als 2 Ausfällen kommt.}}

{{Autoren|Peter Hofbauer, Heidi Metzger-Schuhäker, Gabi Bleier}}

Sek2Uni/Pool 2

2009-05-04T13:23:03Z

Peter Hofbauer: /* Kosten- und Preistheorie */

Lernpfad zur Schnittstelle Sekundarstufe 2 - Universität bzw. Hochschule

Aufgabenpool 2

[[Sek2Uni|Startseite des Lernpfads]] | [[Sek2Uni/Pool_1|Aufgabenpool 1]] | [[Sek2Uni/Didaktischer_Kommentar|Didaktischer Kommentar]]

== Text korrigieren: Radioaktiver Zerfall ==

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Franz Embacher|Franz Embacher]])

Stellt euch vor, ihr findet bei einer Internetrecherche zum Thema "mathematische Beschreibung des radioaktiven Zerfalls" den folgenden Text:

:Die Funktion <math>\,C\,e^{-\lambda x}</math> nähert sich für große <math>\,x</math> der <math>\,x</math>-Achse an. Auf der anderen Seite kommt sie von unendlich großen Werten herunter, bis sie bei <math>\,C</math> die <math>\,y</math>-Achse schneidet. Daher beschreibt sie eine exponentielle Abnahme, in welchem Fall man <math>\,x=t</math> setzen muss. Beim radioaktiven Zerfall ist <math>\,C</math> die Menge der am Anfang vorhandenen Radioaktivität. Wir nennen sie <math>\,n(t)</math>. <math>\,\lambda</math> heißt Zerfallskonstante (siehe [http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Zerfallskonstante http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Zerfallskonstante]). Jetzt kann gefragt werden, nach welcher Zeit nur mehr die Hälfte übrig ist? Diese Frage lösen wir mit Hilfe der Exponentialgleichung <center><math>\,C\,e^{-\lambda\,t}=50\%\,C\,e^{-\lambda\,t=0}</math>,</center> die sich nach geeigneter Behandlung auf <center><math>\,e^{-\lambda t}=\frac{1}{2}</math></center> reduziert. Jetzt wird logarithmiert (natürlich), also <center><math>\,-\lambda t=\ln(\frac{1}{2})=\frac{1}{\ln(2)}=-\ln(2)</math>,</center> woraus sich <center><math>\,t=\frac{\ln(2)}{\lambda}</math></center> ergibt. Das ist also die Halbwertszeit und gleichzeitig die Beziehung derselben mit der Zerfallskonstante.

Welche ungeschickten Formulierungen wurden verwendet, welche Fehler wurden gemacht? Formuliert den Text so um, dass er das, was er sagen will, auf richtigere und schönere Weise zum Ausdruck bringt!

== Text korrigieren: Integral ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Viele Texte im Internet werden durch Laien erstellt und sind nicht immer ganz korrekt (das trifft für viele Wikis zu und hoffentlich nicht für unseres hier). Folgender Text wurde in einem Wiki gefunden. Finde alle Fehler und korrigiere ihn!
}}
''Das Integral ist ein kompliziertes mathematisches Verfahren, das ausschließlich verwendet werden kann, um das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen. Wie beim Differenzieren, das die Umkehroperation des Integrierens ist, lässt sich jede Funktion mit einer mehr oder weniger einfachen Formel berechnen. Folgende einfache Regeln sind beim Integrieren zu beachten:''

* <math>\int (f(x)+g(x))\mathrm{d}x= \int f(x)\mathrm{d}x + \int g(x)\mathrm{d}x + C</math>
* <math>\int \mathrm{Konstante}\cdot f(x)\mathrm{d}x=\mathrm{Konstante}\cdot \int \ f(x)\mathrm{d}x + C</math>
* <math>\int (f(x)\cdot g(x))\mathrm{d}x= \int f(x)\mathrm{d}x \cdot \int g(x)\mathrm{d}x + C</math>
* <math>\int x^{n}\mathrm{d}x= \int \frac{1}{n-1}\cdot x^{n-1}\mathrm{d}x + C</math>

''Integriert man eine Funktion ist immer eine so genannte Integrationskonstante <math>\,C </math> anzuhängen, da ja multiplikative Konstanten beim Differenzieren verloren gehen und bei der Umkehroperation wieder gefunden werden müssen. Diese Integrationskonstante darf nur positive Werte annehmen und kann nicht genau bestimmt werden.''
''Die soeben beschriebene Art der Integration bezeichnet man als uneigentliches Integral, deren Ergebnis immer eine Funktion ist.''

''Die zweite Interpretation der Integration ist das bestimmte Integral, das als Ergebnis eine Zahl hat. Diese Zahl beschreibt den Flächeninhalt einer Fläche oberhalb der Kurve. Ein bestimmtes Integral benötigt zwei Grenzen, die unter- und oberhalb des Integralzeichens angeschrieben werden, was wie folgt aussieht:''

<math>\int_{3}^{1}4x-4\mathrm{d}x=2x^2-4x|_{3}^{1}=(2\cdot 1^2-4\cdot 1)-(2\cdot 3^2-4 \cdot 3)= -2-6=-8</math> ''Flächeneinheiten.''

''Der negative Wert des bestimmten Integrals beschreibt die Lage der Fläche. Sie befindet sich im Bereich des zweiten und dritten Quadrantens im Koordinatensystem.''

=== '''Lösungen im pdf-Format''' ===
----

Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/5/59/Fehlertext_integration_loes_mv.pdf Lösungen zum Fehlertext] (pdf-File, 64 kb).

== Text korrigieren: Kurvendiskussion ==

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT= Auf einer Referatsseite im Internet wurde folgender Text gefunden. Lies ihn dir genau durch und korrigiere eventuelle '''Fehler''' bzw. '''Ungenauigkeiten'''!
}}

Eine Kurvendiskussion besteht im Wesentlichen aus 10 Teilaufgaben. Den Definitionsbereich kann man sehr einfach bestimmen, weil er immer R ist.
Um die Nullstellen berechnen zu können, löst man die Gleichung <math>\,f(x)=0</math>, weil eine Nullstelle immer der Schnittpunkt mit der x – Achse ist. Daher ist die Nullstelle immer N(0 / y).
Für eventuelle Extremstellen setzt man die 1. Ableitung Null. Der Grund ist recht einfach: die erste Ableitung gibt nämlich die mittlere Änderungsrate einer Funktion an. Will man zusätzlich entscheiden, ob es sich um einen Hoch- bzw. Tiefpunkt handelt, setzt man in die zweite Ableitung ein. Ist die zweite Ableitung größer als Null, dann handelt es sich um einen Hochpunkt, andernfalls um ein Minimum. Ist eine Funktion in einem bestimmten Intervall gegeben, dann kann es auch zu Extremstellen kommen, obwohl die 1. Ableitung ungleich Null ist. Den Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremstellen habe ich nie verstanden. Ist eine Funktion streng monoton wachsend, so gilt: <math>\,x_1</math> < <math>\,x_2</math> → <math>\,f(x_1)</math> <math>{}\ge{} {}</math> <math>\,f(x_2)</math> 
Mit der 1. Ableitung kann das Monotonieverhalten natürlich auch bestimmt werden. Ist <math>\,f'(x_0)</math> in einem bestimmten Intervall kleiner als Null, so ist die Funktion dort monoton fallend.
Nun zu den Wendepunkten: eine Wendestelle <math>\,x_0</math> ist so definiert, dass sich die Krümmung an dieser Stelle nicht ändert. Deshalb muss man die 2. Ableitung bestimmen und die Gleichung <math>\,f''(x)=0</math> lösen. Zur Sicherheit – müsste man nicht – bildet man die 3. Ableitung und überprüft, dass <math>\,f'''(x_0)=0</math> ungleich Null ist. Der Funktionsgraph der 1. Ableitung hat dort immer eine Extremstelle. Je nachdem, ob <math>\,f''(x)<0 </math> bzw. <math>\,f''(x)>0 </math> ist, spricht man von konkav bzw. konvex. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, d.h. <math>\,f'(x){}\neq{} {}0</math> und <math>\,f''(x)=0</math>, weil es ja eine Wendestelle ist.

Ich hoffe, dass ich euch mit meinem Referat helfen konnte!
 
''' Lösung als pdf Datei'''
{{versteckt|[http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/2/2f/Text_Lsg.pdf Lösungstext.pdf]}} 

== Verhalten von Funktionen ==

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Franz Embacher|Franz Embacher]])

Gegeben sei eine Funktion <math>f:x\mapsto f(x)</math>. Ist <math>\,a</math> eine Konstante, so können aus <math>\,f</math> weitere Funktionen gewonnen werden:
*<math>g:x\mapsto f(x+a)</math>
*<math>h:x\mapsto f(a x)</math>
*<math>u:x\mapsto f(x)+a</math>
*<math>v:x\mapsto a f(x)</math>

Diskutiert das Verhalten und die Graphen der Funktionen
<math>\,g</math>, <math>\,h</math>, <math>\,u</math> und <math>\,v</math>
im Verhältnis zu jenen von <math>\,f</math>! Gebt einige Beispiele an und erstellt aussagekräftige Grafiken!

Wie übertragen sich folgende Eigenschaften auf die Funktionen <math>\,g</math>, <math>\,h</math>, <math>\,u</math> und <math>\,v</math>?
*<math>\,f</math> ist periodisch mit Periode <math>\,p</math>.
*<math>\,f</math> ist überall positiv.
*<math>\,f</math> ist monoton steigend.
*<math>\,f</math> hat bei <math>\,x_0</math> eine Nullstelle (d.h. <math>\,f(x_0)=0</math>).

Erstellt mit einem dynamischen Geometriesystem (z.B. GeoGebra) ein Arbeitsblatt, in dem anhand einer Funktion <math>\,f</math> eurer Wahl die Konstante <math>\,a</math> mittels eines Schiebereglers variiert werden kann!

== Das Integral ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

Die zwei grundlegenden Interpretationen des Integrals lauten:

* Das Integral ist die '''Umkehroperation der Differentation'''. Jede mathematische Operation hat sein Spiegelbild. So wie die Paare Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division, Potenzieren/Radizieren existiert das Paar Differentation/Integration.
Differentation: <math>f(x)=x^3+2x^2-4x+7 \rightarrow f'(x)=3x^2+4x-4</math>

Integration: <math>g(x)=3x^2+4x-4 \rightarrow \int g(x) \mathrm{d}x =G(x)=x^3+2x^2-4x+C</math>

Die Funktionen <math>\, f(x)</math> und <math>\, G(x)</math> sind bis auf die '''Integrationskonstante''' <math>\, C </math>ident.

Diese Art von Integral nennt man '''unbestimmtes Integral'''. Das Ergebnis dieser Operation ist eine '''Funktion'''. Durch das Differenzieren geht jede Art von additiver Konstante verloren. Diese lässt sich durch die Integration nicht eindeutig wieder herstellen. Das Ergebnis der Integration ist daher eine '''Kurvenschar'''. Eine unendliche Anzahl von ähnlichen Funktionen, die entlang der y-Achse verschoben sind. Möchte man die Funktion genau bestimmen, ist ein Punkt notwendig, durch den die gesuchte Funktion geht.
* Das Integral dient zur '''Berechnung des Flächeninhaltes der Fläche unterhalb des Graphen einer Funktion'''.
Der Flächeninhalt einer Fläche entspricht einer '''Zahl'''. Diese Zahl lässt sich ebenfalls mit dem Integral berechnen. Dieses Integral wird '''bestimmtes Integral''' genannt. Zur Berechnung braucht man Informationen über die Ränder der zu berechnenden Fläche. Diese Ränder werden obere und untere Grenze genannt, diese sind mit den x-Koordinaten der Randpunkte ident.

<math>\int_{2}^{4}3x^2+4x-4\mathrm{d}x=x^3+2x^2-4x|_{2}^{4}=(4^3+2\cdot 4^2-4 \cdot 4)-(2^3+2\cdot 2^2-4 \cdot 2)= 80-8=72</math> Flächeneinheiten.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Überprüft, ob Differentation und Integration wirklich Umkehroperationen sind! Teilt die Funktionen auf. Jedes Gruppenmitglied leitet zwei Funktionen ab und integriert zwei andere. Dann werden die Ergebnisse verglichen und überprüft, ob sie übereinstimmen. Dabei gilt <math>\,F'_{i}(x)=f_{i}(x)</math> und <math>\int f_{i}(x)\mathrm{d}x=F_{i}(x)</math>. Ist dies nicht der Fall, hat sich jemand verrechnet. Sucht und findet dabei gemachte Fehler!
}}
# Funktionen zur Differentation: <math>F_{1}(x)=x^4-4\cdot x^2+7\cdot x+22 </math>, <math>\,F_{2}(x)=\ln x +\sin x+x^{-4}</math>, <math>F_{3}(x)=x \cdot \ln x -x -\cos x-\frac{x^{-3}}{3}</math>, <math>F_{4}(x)=(2-x^2) \cdot \cos x + 2 \cdot x \cdot \sin x</math>
# Funktionen zur Integration: <math>f_{1}(x)=4\cdot x^3-8\cdot x+7</math>, <math>f_{2}(x)=\cos x + \frac{1}{x} - 4\cdot x^{-5}</math>, <math>\,f_{3}(x)=\ln x +\sin x+x^{-4}</math>, <math>f_{4}(x)=x^2\cdot \sin x</math>
# Berechnet die bestimmten Intgrale von <math>\,f_{1}(x)</math> bis <math>\,f_{4}(x)</math> im Intervall <math>\,1</math> bis <math>\,2</math>.

'''Lösungen der bestimmten Integrale:'''
{{versteckt|* <math>\int_{1}^{2} f_{1}(x) \mathrm{d}x=10</math> Flächeneinheiten (FE)
* <math>\int_{1}^{2} f_{2}(x) \mathrm{d}x=-0.1765263774</math> FE (Hier ist der Betrag zu nehmen.)
* <math>\int_{1}^{2} f_{3}(x) \mathrm{d}x=1,63440170</math> FE
* <math>\int_{1}^{2} f_{4}(x) \mathrm{d}x=2,246239104</math> FE
}}

== Kurvendiskussion ==

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=# Erklärt die Berechnung der Nullstellen einer Funktion. Achtet dabei auf die mögliche Anzahl der Lösungen!
# Erklärt die Berechnung der Extremstellen einer Funktion!
# Wie lässt sich zwischen Hoch- und Tiefpunkt unterscheiden?
# Worin besteht der Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremstellen?
# Erklärt die Berechnung der Wendestellen einer Funktion!
# Wann spricht man von einem Sattelpunkt?
# Wie kann man bei einer Funktion die Eigenschaften Monotonie und Krümmung untersuchen?

}}

Erstellt zur Veranschaulichung mit einem dynamischen Geometrieprogramm (z.B. GeoGebra) ein Arbeitsblatt, das die Zusammenhänge der ersten drei Ableitungen zeigt! Probiert es z.B. mit der Polynomfunktion <math> f(x) = \frac{ 1 }{64 }\cdot x^4 - \frac{ 1 }{8 }\cdot x^3+2\cdot x </math>

''' Lösung als pdf Datei'''
{{versteckt|[http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/f/f3/Kurvendiskussion.pdf Kurvendiskussion.pdf]}}

''' Lösung als ggb Datei'''
{{versteckt|<ggb_applet height = "460" width = "800" filename="Kurvendisk.ggb" />}} 

== Bewegung (fächerübergreifend mit Physik) ==

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Franz Embacher|Franz Embacher]])

Was haben Zeit, Weg (Ort), Geschwindigkeit und Beschleunigung mit dem Differenzieren und Integrieren zu tun? Ihr könnt dabei davon ausgehen, dass eine Bewegungsform durch eine Zuordnung
<center><math>t\mapsto s(t)</math></center>
beschrieben wird. Dabei ist <math>\,s(t)</math> der Ort des betrachteten Objekts zur Zeit <math>\,t</math>.

Gebt einige Beispiele für Bewegungsformen an und erstellt aussagekräftige Grafiken oder Animationen (etwa mit einem Computeralgebra-System).

Beantwortet folgende Fragen:
*Kann die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn der Ort als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
*Kann die Beschleunigung als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn der Ort als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
*Kann die Beschleunigung als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
*Kann der Ort als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
*Kann der Ort als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn die Beschleunigung als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
*Wie kann der Ort als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn bekannt ist, dass die Beschleunigung konstant (<math>\,=g</math>) ist, und dass zur Zeit <math>\,t=0</math> sowohl der Ort als auch die Geschwindigkeit gleich 0 sind? (Kommt euch das Ergebnis bekannt vor?)

== Kosten- und Preistheorie ==

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]])

Euer Freund leitet ein Entsorgungsunternehmen für Metall- und Elektronikschrott und befindet sich in einer angespannten finanziellen Situation. Er bittet euch, dem Unternehmen beratend zur Seite zu stehen, da seine Firma derzeit defizitär arbeitet und Veränderungen unausweichlich scheinen.

Von eurem Freund bekommt ihr folgende Unternehmensdaten zur Verfügung gestellt:
Derzeit kann der Betrieb pro Tag bis zu 5 Tonnen Metall- und Elektroschrott verarbeiten. Der Preis, den andere Unternehmen für die Entsorgung einer Tonne Schrott verlangen, beträgt 10 GE (Geldeinheiten). Aus sozialen Gründen (in der Firma arbeiten viele Familienmitglieder eures Freundes) muss daran festgehalten werden, keine Angestellten und Arbeiter zu entlassen.
Eine vor einigen Monaten durchgeführte Kostenanalyse ergab für den Betrieb bei Fixkosten in Höhe von 10 GE folgende Grenzkostenaufstellung:

{| class="prettytable"
|+ Grenzkostenanalyse des Unternehmens
|-
! style="background: #FFFDDD;"|Entsorgungsmenge in Tonnen
| 0,0
| 0,5
| 1,0
| 1,5
| 2,0
| 2,5
| 3,0
| 3,5
| 4,0
| 4,5
| 5,0
|-
! style="background: #FFFDDD;"|Grenzkosten in GE
| 26.0
| 21.2
| 16.9
| 13.0
| 9.6
| 6.6
| 4.1
| 2.0
| 0.4
| -0.8
| -1.5
|}

Auch an den Ankauf neuer Technologien wurde bereits gedacht, wodurch die Entsorgungsmenge auf max. 7 Tonnen pro Tag erhöht werden könnte. Allerdings wurde der Ankauf aus gegebenem Anlass vorerst aufgeschoben. Die Prognose der Kostenentwicklung durch die Investition in die neuen Entsorgungstechnologien sieht folgendermaßen aus:

{| class="prettytable" align="center"
|+ prognostizierte Kosten für das Unternehmens nach Investition
|-
! style="background: #FFFDDD;"|Entsorgungsmenge in Tonnen
| 0,0
| 0,5
| 1,0
| 1,5
| 2,0
| 2,5
| 3,0
| 3,5
| 4,0
| 4,5
| 5,0
| 5,5
| 6,0
| 6,5
| 7,0
|-
! style="background: #FFFDDD;"|Gesamtkosten in GE
| 11,0
| 22,8
| 32,3
| 39,8
| 45,5
| 49,6
| 52,4
| 54,0
| 54,8
| 55,0
| 54,7
| 54,3
| 54,0
| 53,9
| 54,3
|}

Eure Aufgabe besteht nun darin die Unternehmenssituation zu analysieren und das Unternehmen zu beraten.
Dazu sind zumindest folgende Größen in eurem Bericht anzuführen und zu analysieren:
* Gewinnfunktion
* bestmögliche Entsorgungsmenge (in Tonnen pro Tag)
* optimale Entsorgungssituation (d.h. was kann aus dem Betrieb heraus geholt werden) bezogen auf Gewinn bzw. Verlust
* Gewinnfunktion nach Investition in neue Technologien
* optimale Entsorgungsmenge nach Investition
* möglicher Gewinn nach Investition
* Abhängigkeit von Preisschwankungen

''Hinweis: Bei den Preisschwankungen ist auf jeden Fall von Interesse, wie weit der Preis pro Tonne
fallen dürfte, damit ohne Verlust gearbeitet werden kann (sofern das überhaupt möglich ist).''

Abschließend sollt ihr in einem Bericht eure Erkenntnisse zusammenfassen und eine Strategie für das Unternehmen festlegen.

''Solltet ihr mit einigen der oben genannten Begriffe nichts anfangen können, so schaut euch die
Fachbereichsarbeit einer Schülerin der HBLA Amstetten an: [http://home.schule.at/teaching/Mam/hw3/Wirtschaftsmathematik-Wenzl.pdf Fachbereichsarbeit Wirtschaftsmathematik]''

== Funktionstypen ==

[Aufgabe für 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

Eine klassische Aufgabe in der Schule ist in Österreich eine '''Kurvendiskussion'''. Dabei werden die Eigenschaften von Funktionen untersucht. Die zu untersuchenden Funktionen kommen aus den unterschiedlichen Bereichen der Wissenschaft, sehen verschieden aus und besitzen daher auch klassizifierbare Eigenschaften.

Eine Kurvendiskussion besteht aus Punkten, die oft unterschiedlich gruppiert werden, aber im Prinzip dasselbe darstellen. Eine Übersicht dieser Punkte inklusive einer Kurzanleitung findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/c/ce/Kurvendiskussion_menue_mv.pdf Übersicht der Aufgaben bei einer Kurvendiskussion] (pdf-File, 41kb).

Die Aufgaben einer '''Kurvendiskussion''' lauten:

# Definitionsmenge und Ableitungen
# Nullstellenberechnung
# Extremstellenberechnung
# Wendestellenberechnung inklusive Ermittelung der Wendetangenten
# Monotoniebetrachtungen
# Bestimmung des Krümmungsverhaltens
# Zeichnen des Graphens
# Bestimmung des asymptotischen Verhaltens
# Bestimmung der Symmetrie des Graphens
# Periodizitätsbetrachtungen

Funktionen werden in der Schule grob in sechs Klassen unterteilt:

* Polynomfunktionen, z.B. <math> f_{1}(x)=\frac{1}{50}\cdot(x^{4}-14x^{3}+45x^{2})</math>
* gebrochen rationale Funktionen, z.B. <math> f_{2}(x)=\frac{x^{2}-2x}{(x+1)^{2}}</math>
* zusammengesetzte Funktionen mit Winkelfunktionen, z.B. <math> f_{3}(x)=\, (\sin x -\cos x)^{2}</math>
* zusammengesetzte Funktionen mit Logarithmusfunktionen, z.B. <math> f_{4}(x)=x\cdot (\ln x -1)</math>
* zusammengesetzte Funktionen mit Exponentialfunktionen, z.B. <math> f_{5}(x)=(x^{2}-1)\cdot e^{x}</math>
* zusammengesetzte Funktionen mit Wurzelfunktionen, z.B. <math> f_{6}(x)=x \cdot \sqrt{x^{2}-4}</math>

Die Funktionsklassen besitzen spezielle Eigenschaften, die einer besonderen Untersuchung bedürfen. Die Eigenschaften bezieungsweise Tipps oder Vorsichtshinweise bei Kurvendiskussionen sind im pdf-File [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/a/a8/Kurvendiskussion_fkt_uebersicht_mv.pdf Übersicht über Funktioneneigenschaften] (22kb) zusammengefasst.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Verteilt obige sechs Funktionen auf die Mitgliede der Gruppe (zwei für jede/n). Verwendet obiges pdf-Files, um die Kurvendiskussion durchzuführen. Verwendet besonders Augenmerk auf jene Punkte, die die Besonderheiten der angegeben Funktionen behandeln! Als Hilfe gibt es die Graphen der Funktionen unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/6/67/Kurvendiskussion_graphen_mv.pdf Funktionsgraphen der Beispielfunktionen] (pdf-File, 103kb) als Download.
}}

{{Autoren|Franz Embacher, Peter Hofbauer, Matthias Kittel, Jochen Maierhofer, Walter Wegscheider}}

Sek2Uni/Pool 1

2009-04-12T06:22:07Z

Peter Hofbauer: /* Elastizität */

Lernpfad zur Schnittstelle Sekundarstufe 2 - Universität

Aufgabenpool 1

[[Sek2Uni|Startseite des Lernpfads]] | [[Sek2Uni/Pool_2|Aufgabenpool 2]] | [[Sek2Uni/Didaktischer_Kommentar|Didaktischer Kommentar]]

== Differentialgleichung versus Differenzengleichung ==

[Einzelaufgaben] ([[Benutzer:Walter Wegscheider|Walter Wegscheider]] und [[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

siehe Lernpfad [[Diskret_-_kontinuierlich#Von_der_diskreten_zur_kontinuierlichen_Ver.C3.A4nderung|Diskret - kontinuierlich]]

== Integrationsverfahren vergleichen ==

[Aufgabe für 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

Die Berechnung von Integralen ist eine oft notwendige Operation, die in vielen Bereichen des wissenschaftlichen Lebens Anwendung findet. Gar nicht so selten kommt es vor, dass ein Integral gar nicht analytisch lösbar ist. Das bedeutet, es gibt kein Verfahren wie die ''partielle Integration'', die ''Substitutionsmethode'' oder die ''Partialbruchzerlegung'' (diese Lösungswege lernst Du in der Schule, es gibt aber noch viel mehr), um das Integral lösen zu können. Aus diesem Grund ist es notwendig alternative Integrationsmethoden zu finden. Hier werden zwei Möglichkeiten vorgestellt:

* '''Die gegebene Funktion wird vereinfacht:''' Sie wird durch ein beliebig genaues Taylorpolynom angenähert. Bei diesem Verfahren sind nur Kenntnisse über das Ableiten notwendig. Jede Funktion ist ja bekanntlich differenzierbar, auch wenn es umständlich ist und lange dauert. Es wird die Formel

<math> \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} \cdot (x-x_{0})^k = P(x)=</math>
<math>\frac{f(x_{0})}{0!} \cdot (x-x_{0})^0+\frac{f'(x_{0})}{1!} \cdot (x-x_{0})^1+\frac{f''(x_{0})}{2!} \cdot (x-x_{0})^2+\frac{f'''(x_{0})}{3!} \cdot (x-x_{0})^3+\ldots </math>

verwendet. Danach wird dieses Polynom <math>\,P(x)</math> an Stelle der gegebenen Funktion <math>\,f(x)</math> integriert.

* '''Das Integral wird durch numerische Methoden angenähert:''' Man führt also keine analytische Integration durch, sondern nähert den Wert des Integrals durch Summen an. Hier gibt es einige Methoden, die je nach Aufwand zu genaueren oder weniger genaueren Ergebnissen führen. Die bekanntesten Verfahren sind:
''Rechtecksformel'': <math> \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \approx \sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i}) \cdot \Delta x </math> mit einer Schrittweite <math> \Delta x =\frac{b-a}{n} </math>, wobei <math>\, a</math> und <math>\, b</math> die untere und obere Grenze des Integrals darstellt. <math>\,n</math> gibt die Anzahl der Rechtecke an, in die die Fläche unterhalb der Funktion zerlegt wird. Möchte man das Intervall <math>\, [2;3]</math> in <math>\,4 </math> Rechtecke unterteilen, erhält man <math> \Delta x =\frac{3-2}{4}=\frac{1}{4}</math> und aus dem <math>\,x_{0}=2, x_{1}=\frac{5}{4}, x_{2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, x_{3}=\frac{7}{4}</math>.

''Trapezformel'': <math> \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{2n} \cdot (f(x_{0})+2 \cdot f(x_{1}) + 2 \cdot f(x_{2}) + \ldots + 2 \cdot f(x_{n-1})+f(x_{n})) </math> mit <math> \Delta x =\frac{b-a}{n} </math>, wobei <math>\,a</math> und <math>\,b</math> die untere und obere Grenze des Integrals darstellt. Je größer hier <math>\,n </math> ist, desto genauer wird das Ergebnis. Die einzelnen <math>\,x_{i} </math> werden wie oben berechnet. Das gewählte <math>\,n </math> wird dann einfach in die Formel eingesetzt.

''Simpson'sche Formel'': <math> \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{6n} \cdot (f(x_{0})+4 \cdot f(x_{1}) + 2 \cdot f(x_{2}) + 4 \cdot f(x_{3}) + 2 \cdot f(x_{4})\ldots + 4 \cdot f(x_{2n-1})+f(x_{2n})) </math> mit <math> \Delta x =\frac{b-a}{2n} </math>, wobei <math>\,a</math> und <math>\,b</math> die untere und obere Grenze des Integrals darstellt. Für <math>\,n </math> und die <math>\,x_{i} </math> gilt obiges.

----
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Gegeben ist die Funktion <math> f(x)=x \cdot \ln x </math>. Es gilt <math>\int_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0,636294261</math> FE.

Bearbeitet folgende Arbeitspunkte. Jeder Schüler sucht sich zwei Punkte aus:

* Überprüfe das Ergebnis obiger Integration durch analytisches Nachrechnen.
* Nähere das Integral mit der Rechtecksformel an (<math>\,n</math> = <math>\,3</math>, <math>\,4</math> und <math>\,5</math>)! Welche Auswirkung hat die Erhöhung der Rechteckanzahl auf die Genauigkeit des Ergebnisses?
* Nähere das Integral mit der Trapezformel an (<math>\,n = 3</math>)!
* Nähere das Integral mit der Simpson'schen Formel an (<math>\,n=3</math> ) an!
* Entwickle für die Funktion ein Taylorpolynom dritten Grades an der Stelle <math>\,x_{0}=1</math>!
* Zeichne das Taylorpolynom und die gegebene Funktion in ein Koordinatensystem ein. In welchem Intervall nähert das Polynom die Funktion genügend genau an? Was bedeutet genügend genau?
}}
=== '''Aufgaben im pdf-Format''' ===
----

Die Angaben zu den Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/7/7a/Integrationsmethoden_mv.pdf Integrationsmethoden_mv.pdf] (41 kb).

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=== '''Lösungen im pdf-Format''' ===
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Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/1/1f/Integrationsmethoden_loes_mv.pdf Lösungen zu Integrationsmethoden_mv.pdf] (117 kb).

== Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

Das Verhalten einer Population von Lebewesen lässt sich mit Hilfe der '''logistischen Gleichung''' leicht visualisieren. Diese Gleichung lässt sich etweder analytisch oder mittels Differenzengleichung lösen.
Die '''logistischen Gleichung''' beschreibt ein Wachstum mit einer Grenzpopulation, das bedeutet, dass sich die Population nicht auf alle Zeiten exponentiell vermehrt, sondern sich einer Maximalpopulation annähert. Neben der Geburtenrate <math>\,g</math> fließt die natürliche Sterberate <math>\,s</math> (Alter, Krankheit und Ähnliches) und die Sterberate auf Grund von Überbevülkerung <math>\,su</math> (fehlender Lebensraum, Nahrungsmittelknappheit, etc.) in die Gleichung mit ein.
Die Änderung der Populationszahl <math>\,N(t)</math> in der Zeit lässt sich nun wie folgt berechnen:

<math>\dot N(t) = \frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}=(1+g-s)\cdot N(t) - su \cdot N(t)^2 </math>

Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet:

<math> N(t)=\frac{K \cdot N_{0}}{N_{0}+K \cdot N_{0} \cdot e^{-v \cdot t}} </math>, wobei <math>\,N_{0}</math> die Anfangspopulation ist und <math> K = \frac{g-s}{su} </math> sowie <math> \,v = g-s </math> gilt.

Die entsprechende Differenzengleichung lautet

<math> N_{t+1}=(1+g-s) \cdot N_{t}-su \cdot N_{t}^2 </math>.

Die analytische Lösung, sowie die Lösung der Differenzengleichung sind in dem

[http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/c/cb/Ein_lebewesen_verhulst_analyt.xls Excel-Arbeitsblatt zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst] (1,4Mb) programmiert und graphisch dargestellt. Es lassen sich die Anzahl der Individuen, sowie die Parameter <math>\,g</math>, <math>\,s</math> und <math>\,su</math> eingeben. Die Differenzengleichung wird für die ersten <math>\, 10000</math> Schritte gelöst und gemeinsam mit der analytischen Lösung in einem Graphen für die ersten <math>\, 100</math> Schritte dargestellt. Des Weiteren wird noch der Grenzwert der Population und der '''Chaosparamter''' <math>\,c=1+g-s</math> berechnet. Es können mit diesem Excel-Arbeitsblatt auch eigene Graphen erstellt und selbstständig Rechnungen durchgeführt werden.

Die Differenzengleichung liefert je nach Wert dieses Chaosparameters von einander stark abweichende Lösungen.
Folgendes Verhalten der '''logistischen Gleichung''' kann in Abhängigkeit des Parameters <math>\,c</math> beobachtet werden:

* <math> 0<c\leq 1</math> - Die Population stirbt aus, die Anzahl der Individuen nimmt exponentiell ab.
* <math> 1<c\leq 2</math> - Die Population wächst bis sie die Grenzpopulation erreicht.
* <math> 2<c\leq 3</math> - Die Pupulation wächst und die Anzahl der Individuen '''schwingt''' um die Grenzpopulation und nähert sich dieser wie eine gedämpfte Schwingung. Je näher der Parameter bei dem Wert <math>\, 3</math>, desto länger dauert dieser Schwingvorgang.
* <math> 3<c\leq 4</math> - Die Population pendelt zwischen mehreren Werten (im Intervall <math>\, [3 ; 3,45]</math> zwischen zwei Werten bei <math>\, 3,45</math> zwischen vier Werten usw.) und erreicht ab ungefähr <math>\, 3,57</math> chaotisches Verhalten. Das heißt, dass die Anzahl der Individuen nicht mehr vorhergesagt werden kann bzw. kleine Änderungen in den Parametern zu großen Änderungen in den Ergebnissen führen.

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
Führt selbst eine Parameterstudie durch und überprüft oben angegeben Intervalle des Chaosparameters auf ihre Richtigkeit. Welche weiteren überraschenden Ergebnisse liefert die '''logistischen Gleichung'''? Experimentiert mit dem Excel-Arbeitsblatt. Verwende dazu die Angabe aus dem pdf-file [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/8/82/Parameterstudie_mv.pdf Arbeitsblatt Parameterstudie zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst] (40kb). Fertigt ein Protokoll an, in dem eure Experimente dokumentiert sind! Fertigt so viele Graphen wie möglich an!

Unter [http://www.neuroinformatik.ruhr-uni-bochum.de/VDM/exercises/Logist/tex-ss/Logist/node2.html Die logistische Differentialgleichung] findet man noch weitere Übungsaufgaben und einen Graphenplotter, der online Graphen für unterschiedliche Parameterwerte zeichnet.
}}

Link:
* [http://wwwu.uni-klu.ac.at/gossimit/pap/logwachs.pdf Günther Ossimitz, Zwei Zugänge zum logistischen Wachstum, Univ. Klagenfurt] - Betrachtungen und Herleitung der logistischen Differentialgleichung.

=== Räuber-Beute-Modell ===

{{Arbeiten|NUMMER=2|
ARBEIT=

Als Erweiterung dieses Beispieles kann das Räuber-Beute-Modell gesehen werden. Ein Modell, das die Abhängigkeit der Population eines Beutetieres (Hase) und eines Raubtieres (Fuchs) voneinander untersucht. Hier gelten die '''Lotka-Volterra-Regeln''':

# Die Anzahl der Individuen (Populationsgröße) von Räuber und Beute schwanken periodisch. Diese beiden periodischen Vorgänge sind phasenverschoben, wobei die Räuberpopulaion der Beutepopulation nachläuft.
# Obwohl die Räuber- und Beutepopulation schwanken, ist der Mittelwert der Individuenanzahlen konstant.
# Sollten die Populationen durch ein besonderes Ereignis (Umweltkatastrophe, Krankheit) dezimiert werden, erholt sich die Beutepopulation stets schneller als die Raubtierpopulation

Im [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/9/95/Raeuber_beute_mit_zeitschritt_und_stoerung.xls Excel-Arbeitsblatt zum Räuber-Beute-Modell] (3,6Mb) werden wiederum die Population berechnet und die Ergebnisse graphisch visualisiert. Auch hier können alle Parameter variiert werden, um obige Gesetze zu verifizieren. Alle Bedienungshinweise sind in der Datei angegeben.
}}

== Ein bisschen Relativitätstheorie ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Franz Embacher|Franz Embacher]])

Die Funktion
<center><math>v\mapsto\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math></center>
spielt in der Speziellen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Die Variable <math>\,v</math>
steht für die Geschwindigkeit, mit der sich ein Körper (relativ zu einem Bezugssystem) bewegt, die Konstante <math>\,c</math> bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit.
Bearbeitet zunächst ''getrennt'' folgende Fragestellungen:
*a.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten <math>\,v</math>, deren Betrag sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind (<math>\,|v|\ll c</math>)? Erstelle eine Näherungsformel <math>\gamma(v)\approx\dots</math> (Reihenentwicklung bis zur Ordnung <math>\,v^2</math>)! Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?
*b.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten <math>\,v</math>, die in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit liegen (<math>v\approx c</math>, wobei aber <math>\,v<c</math> sein soll)? Erstelle eine Näherungsformel <math>\gamma(v)\approx\dots</math>! Hier ein Tipp: <center><math>1-\frac{v^2}{c^2}=\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)\approx 2\left(1-\frac{v}{c}\right)</math>.</center>Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?

Setzt euch danach wieder ''zusammen'', diskutiert eure Ergebnisse und führt sie zusammen:
*Wie sieht der Graph der gesamten Funktion aus? (Welche Definitionsmenge wird man sinnvollerweise für sie wählen?)
*Wie passt dieser Graph mit den Graphen der (von euren getrennt erhaltenen) Näherungsfunktionen zusammen? Stellt alle drei Graphen in ''einem'' Diagramm dar! Verwendet als Tool einen Punktionsplotter oder ein Programm, das einen solchen enthält! Überlegt euch, wie ihr die Einheiten auf den Achsen wählt, damit das Diagramm möglichst aussagekräftig wird!
*Illustriert anhand einiger Werte von <math>\,v</math> (z.B. die Geschwindigkeit eines Fußgängers, eines Flugzeugs, 90% der Lichtgeschwindigkeit, 99% der Lichtgeschwindigkeit...) wie gut eure Näherungsformeln sind!

Wenn das alles geklärt ist, könnt ihr ein bisschen Relativitätstheorie betreiben:
*Die (relativistische) Gesamtenergie eines Körpers der Masse <math>\,m</math>, der sich mit der Geschwindigkeit <math>\,v</math> bewegt, ist durch <math>\,E(v)=m c^2 \gamma(v)</math> gegeben. Wie verhält sich <math>\,E</math> für kleine Geschwindigkeiten? Erinnert euch das Ergebnis an etwas, das ihr in eurem Physikunterricht gelernt habt? Wie verhält sich <math>\,E</math> für große Geschwindigkeiten? (Damit könnt ihr argumentieren, dass kein Körper auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann!)
*Zwillingsparadoxon: Alice und Bob sich gleich alt. Alice unternimmt eine Reise durchs All mit Geschwindigkeit <math>\,v</math>, während Bob auf der Erde zurückbleibt. Als Alice zurückkehrt, stellen die beiden fest, dass Alice jünger geblieben ist. Ist für Bob die Zeit <math>\,\Delta T_{\rm Bob}</math> vergangen und für Alice die Zeit <math>\,\Delta T_{\rm Alice}</math>, so ist sagt die Relativitätstheorie die Beziehung <center><math>\frac{\Delta T_{\rm Bob}}{\Delta T_{\rm Alice}}=\gamma(v)</math></center> zwischen den beiden Zeiten voraus. Wie sieht die Formel für diesen Zusammenhang aus, wenn Alice ''fast'' mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs war? Wie sieht sie aus, wenn sich Alice sich - vergleichsweise - nur recht langsam bewegt hat? Formuliert Fausregeln, wie die Größe des Effekts für kleine und für große <math>\,v</math> abgeschätzt werden kann!

== Epidemie ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]])

Jährlich wird Europa von Grippewellen überrollt, die trotz der Möglichkeit der Grippeimpfung immer wieder zahlreiche Todesfälle fordern.
In der nachfolgenden Abbildung seht ihr den Tagesreport der Grippefälle einer Kleinstadt. Waagrecht sind die Tage ab Ausbruch der Grippewelle aufgetragen, senkrecht die Anzahl der an der Grippe erkrankten Personen an diesem Tag:

[[Bild:Grippewelle.jpg]]

Setzt euch zusammen und überlegt vorerst ganz allgemein (d.h. ohne jetzt schon Berechnungen anzustellen), wie sich die folgenden Fragen mathematisch behandeln und beantworten lassen:

* Welche Funktionen könnten geeignet sein, um den Epidemieverlauf zu modellieren?
* Welche Aussagekraft hat die 1.Ableitung dieser Modellfunktion?
* Wie lässt sich das Integral dieser Funktion aus volkswirtschaftlicher Sicht interpretieren?
* Zu welchem Zeitpunkt verbreitete sich die Krankheit am stärksten?
* Wann begann die Anzahl der Neuinfektionen rückläufig zu werden?

Geht jetzt auseinander und versucht jeder alleine eine Modellfunktion zu finden und die oben gestellten Fragen mithilfe dieser Funktion zu beantworten. Die Daten müsst ihr aus der Grafik ablesen.

Vergleicht anschließend eure Ergebnisse. Wahrscheinlich werdet ihr nicht zu denselben Ergebnissen gekommen sein, dennoch solltet ihr zu ähnlichen Schlüssen kommen.

Diskutiert abschließend die Frage, welche Informationen notwendig wären um mithilfe des Integrals die Frage beantworten zu können, ob eine kostenlose Grippeimpfung volkswirtschaftlich sinnvoll wäre.

== Elastizität ==

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]])

Der '''Begriff der Elastizität''' ist in der Ökonomie von entscheidender Bedeutung.

Die Elastizität einer Funktion f(x) an der Stelle x0 ist definiert durch: <math>\varepsilon (x_0):=f'(x_0) \cdot \frac{x_0}{f(x_0)} </math>

Eine '''Motivation für diesen Begriff''' und einige Erklärungen dazu findest du unter anderem auf folgenden Seiten:

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Elastizit%C3%A4t_(Wirtschaft) Wikipedia] (betrachte dabei nur den Fall mit einer Variablen!)

* [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node103.html Foliensatz von Josef Leydold (Wirtschaftsuniversität Wien)] (kannst du das Beispiel am Ende der Seite nachvollziehen?)

* [http://www.financial-economics.vwl.uni-mainz.de/downloads/vergangene%20Semester/Einf_VWLVGR%20WiSe%200506/VWLVGR05065.pdf Powerpoint-Präsentation der Johannes Gutenberg-Universität Mainz]

* Eine ausgezeichnete Erklärung dafür, warum Cola an Flughäfen so teuer ist, liefert die [http://www.faz.net/s/RubB8DFB31915A443D98590B0D538FC0BEC/Doc~E05AF144BD89D49D6B1CFAF9FC198F369~ATpl~Ecommon~Scontent.html Frankfurter Allgemeine Zeitung ] mithilfe der Elastizität .

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
Macht euch zuerst anhand der oben angeführten Links alleine mit dem Begriff der Elastizität ein wenig vertraut und setzt euch anschließend zusammen und versucht folgende Fragen zu beantworten:

# Angenommen die Funktion n(p) beschreibt die Nachfrage nach einem Produkt beim Verkaufspreis p (dh. welche Menge des Produkts lässt sich beim Preis p absetzen). Was sagt dann die Elastizität (genauer: die Preiselastizität der Nachfrage) bei einem bestimmten Preis p0 aus?
# Worin besteht der Unterschied zwischen n'(p0) und <math>\varepsilon (p_0) </math>?
# Was ist generell der Unterschied zwischen der Ableitung einer Funktion und der Elastizität der Funktion?
# In einem Land wurde die Preiselastizität für Butter auf -1 geschätzt, während die Preiselastizität für Kartoffel auf -0,2 geschätzt wurde (aus Sydsæter, Hammond: Mathematik für Wirtschaftswissenschafter). Was könnte der Grund dafür sein, dass die Nachfrage nach Kartoffel unelastischer ist als jene nach Butter?
# Ein Wirtschaftsmathematiker hat bei einer Diskussion folgende Behauptung aufgestellt: "Meine Preiselastizität der Nachfrage nach meiner bevorzugten Whiskymarke ist null!" Was wollte er damit eigentlich sagen?
# In welchem Zahlenbereich sollte sich die Preiselastizität der Nachfrage normalerweise bewegen? Könnt ihr Gründe nennen, warum die Preiselastizität in Einzelfällen auch Werte außerhalb dieses Bereichs annehmen kann?
# Die Nachfrage nach Netbooks einer bestimmten Marke beträgt n(p)=60000-80p. Bestimme die Preiselastizität der Nachfrage für die Preise von 1 Euro, 100 Euro, 350 Euro, 700 Euro und 750 Euro. Was bedeuten diese Ergebnisse?
# Bisher haben wir nur über die Preiselastizität der Nachfrage gesprochen. Was versteht man vermutlich unter der Preiselastizität des Angebots und der Einkommenselastizitä der Nachfrage?
}}

== Rekursionsverfahren ==

[Einzelaufgaben] ([[Benutzer:Walter Wegscheider|Walter Wegscheider]] und [[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

siehe Lernpfad [[Diskret_-_kontinuierlich#Rekursive_Beschreibung_von_Ver.C3.A4nderungen|Diskret - kontinuierlich]]

Sek2Uni/Pool 1

2009-04-12T06:21:00Z

Peter Hofbauer: /* Elastizität */

Lernpfad zur Schnittstelle Sekundarstufe 2 - Universität

Aufgabenpool 1

[[Sek2Uni|Startseite des Lernpfads]] | [[Sek2Uni/Pool_2|Aufgabenpool 2]] | [[Sek2Uni/Didaktischer_Kommentar|Didaktischer Kommentar]]

== Differentialgleichung versus Differenzengleichung ==

[Einzelaufgaben] ([[Benutzer:Walter Wegscheider|Walter Wegscheider]] und [[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

siehe Lernpfad [[Diskret_-_kontinuierlich#Von_der_diskreten_zur_kontinuierlichen_Ver.C3.A4nderung|Diskret - kontinuierlich]]

== Integrationsverfahren vergleichen ==

[Aufgabe für 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

Die Berechnung von Integralen ist eine oft notwendige Operation, die in vielen Bereichen des wissenschaftlichen Lebens Anwendung findet. Gar nicht so selten kommt es vor, dass ein Integral gar nicht analytisch lösbar ist. Das bedeutet, es gibt kein Verfahren wie die ''partielle Integration'', die ''Substitutionsmethode'' oder die ''Partialbruchzerlegung'' (diese Lösungswege lernst Du in der Schule, es gibt aber noch viel mehr), um das Integral lösen zu können. Aus diesem Grund ist es notwendig alternative Integrationsmethoden zu finden. Hier werden zwei Möglichkeiten vorgestellt:

* '''Die gegebene Funktion wird vereinfacht:''' Sie wird durch ein beliebig genaues Taylorpolynom angenähert. Bei diesem Verfahren sind nur Kenntnisse über das Ableiten notwendig. Jede Funktion ist ja bekanntlich differenzierbar, auch wenn es umständlich ist und lange dauert. Es wird die Formel

<math> \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} \cdot (x-x_{0})^k = P(x)=</math>
<math>\frac{f(x_{0})}{0!} \cdot (x-x_{0})^0+\frac{f'(x_{0})}{1!} \cdot (x-x_{0})^1+\frac{f''(x_{0})}{2!} \cdot (x-x_{0})^2+\frac{f'''(x_{0})}{3!} \cdot (x-x_{0})^3+\ldots </math>

verwendet. Danach wird dieses Polynom <math>\,P(x)</math> an Stelle der gegebenen Funktion <math>\,f(x)</math> integriert.

* '''Das Integral wird durch numerische Methoden angenähert:''' Man führt also keine analytische Integration durch, sondern nähert den Wert des Integrals durch Summen an. Hier gibt es einige Methoden, die je nach Aufwand zu genaueren oder weniger genaueren Ergebnissen führen. Die bekanntesten Verfahren sind:
''Rechtecksformel'': <math> \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \approx \sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i}) \cdot \Delta x </math> mit einer Schrittweite <math> \Delta x =\frac{b-a}{n} </math>, wobei <math>\, a</math> und <math>\, b</math> die untere und obere Grenze des Integrals darstellt. <math>\,n</math> gibt die Anzahl der Rechtecke an, in die die Fläche unterhalb der Funktion zerlegt wird. Möchte man das Intervall <math>\, [2;3]</math> in <math>\,4 </math> Rechtecke unterteilen, erhält man <math> \Delta x =\frac{3-2}{4}=\frac{1}{4}</math> und aus dem <math>\,x_{0}=2, x_{1}=\frac{5}{4}, x_{2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, x_{3}=\frac{7}{4}</math>.

''Trapezformel'': <math> \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{2n} \cdot (f(x_{0})+2 \cdot f(x_{1}) + 2 \cdot f(x_{2}) + \ldots + 2 \cdot f(x_{n-1})+f(x_{n})) </math> mit <math> \Delta x =\frac{b-a}{n} </math>, wobei <math>\,a</math> und <math>\,b</math> die untere und obere Grenze des Integrals darstellt. Je größer hier <math>\,n </math> ist, desto genauer wird das Ergebnis. Die einzelnen <math>\,x_{i} </math> werden wie oben berechnet. Das gewählte <math>\,n </math> wird dann einfach in die Formel eingesetzt.

''Simpson'sche Formel'': <math> \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{6n} \cdot (f(x_{0})+4 \cdot f(x_{1}) + 2 \cdot f(x_{2}) + 4 \cdot f(x_{3}) + 2 \cdot f(x_{4})\ldots + 4 \cdot f(x_{2n-1})+f(x_{2n})) </math> mit <math> \Delta x =\frac{b-a}{2n} </math>, wobei <math>\,a</math> und <math>\,b</math> die untere und obere Grenze des Integrals darstellt. Für <math>\,n </math> und die <math>\,x_{i} </math> gilt obiges.

----
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Gegeben ist die Funktion <math> f(x)=x \cdot \ln x </math>. Es gilt <math>\int_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0,636294261</math> FE.

Bearbeitet folgende Arbeitspunkte. Jeder Schüler sucht sich zwei Punkte aus:

* Überprüfe das Ergebnis obiger Integration durch analytisches Nachrechnen.
* Nähere das Integral mit der Rechtecksformel an (<math>\,n</math> = <math>\,3</math>, <math>\,4</math> und <math>\,5</math>)! Welche Auswirkung hat die Erhöhung der Rechteckanzahl auf die Genauigkeit des Ergebnisses?
* Nähere das Integral mit der Trapezformel an (<math>\,n = 3</math>)!
* Nähere das Integral mit der Simpson'schen Formel an (<math>\,n=3</math> ) an!
* Entwickle für die Funktion ein Taylorpolynom dritten Grades an der Stelle <math>\,x_{0}=1</math>!
* Zeichne das Taylorpolynom und die gegebene Funktion in ein Koordinatensystem ein. In welchem Intervall nähert das Polynom die Funktion genügend genau an? Was bedeutet genügend genau?
}}
=== '''Aufgaben im pdf-Format''' ===
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Die Angaben zu den Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/7/7a/Integrationsmethoden_mv.pdf Integrationsmethoden_mv.pdf] (41 kb).

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=== '''Lösungen im pdf-Format''' ===
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Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/1/1f/Integrationsmethoden_loes_mv.pdf Lösungen zu Integrationsmethoden_mv.pdf] (117 kb).

== Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

Das Verhalten einer Population von Lebewesen lässt sich mit Hilfe der '''logistischen Gleichung''' leicht visualisieren. Diese Gleichung lässt sich etweder analytisch oder mittels Differenzengleichung lösen.
Die '''logistischen Gleichung''' beschreibt ein Wachstum mit einer Grenzpopulation, das bedeutet, dass sich die Population nicht auf alle Zeiten exponentiell vermehrt, sondern sich einer Maximalpopulation annähert. Neben der Geburtenrate <math>\,g</math> fließt die natürliche Sterberate <math>\,s</math> (Alter, Krankheit und Ähnliches) und die Sterberate auf Grund von Überbevülkerung <math>\,su</math> (fehlender Lebensraum, Nahrungsmittelknappheit, etc.) in die Gleichung mit ein.
Die Änderung der Populationszahl <math>\,N(t)</math> in der Zeit lässt sich nun wie folgt berechnen:

<math>\dot N(t) = \frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}=(1+g-s)\cdot N(t) - su \cdot N(t)^2 </math>

Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet:

<math> N(t)=\frac{K \cdot N_{0}}{N_{0}+K \cdot N_{0} \cdot e^{-v \cdot t}} </math>, wobei <math>\,N_{0}</math> die Anfangspopulation ist und <math> K = \frac{g-s}{su} </math> sowie <math> \,v = g-s </math> gilt.

Die entsprechende Differenzengleichung lautet

<math> N_{t+1}=(1+g-s) \cdot N_{t}-su \cdot N_{t}^2 </math>.

Die analytische Lösung, sowie die Lösung der Differenzengleichung sind in dem

[http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/c/cb/Ein_lebewesen_verhulst_analyt.xls Excel-Arbeitsblatt zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst] (1,4Mb) programmiert und graphisch dargestellt. Es lassen sich die Anzahl der Individuen, sowie die Parameter <math>\,g</math>, <math>\,s</math> und <math>\,su</math> eingeben. Die Differenzengleichung wird für die ersten <math>\, 10000</math> Schritte gelöst und gemeinsam mit der analytischen Lösung in einem Graphen für die ersten <math>\, 100</math> Schritte dargestellt. Des Weiteren wird noch der Grenzwert der Population und der '''Chaosparamter''' <math>\,c=1+g-s</math> berechnet. Es können mit diesem Excel-Arbeitsblatt auch eigene Graphen erstellt und selbstständig Rechnungen durchgeführt werden.

Die Differenzengleichung liefert je nach Wert dieses Chaosparameters von einander stark abweichende Lösungen.
Folgendes Verhalten der '''logistischen Gleichung''' kann in Abhängigkeit des Parameters <math>\,c</math> beobachtet werden:

* <math> 0<c\leq 1</math> - Die Population stirbt aus, die Anzahl der Individuen nimmt exponentiell ab.
* <math> 1<c\leq 2</math> - Die Population wächst bis sie die Grenzpopulation erreicht.
* <math> 2<c\leq 3</math> - Die Pupulation wächst und die Anzahl der Individuen '''schwingt''' um die Grenzpopulation und nähert sich dieser wie eine gedämpfte Schwingung. Je näher der Parameter bei dem Wert <math>\, 3</math>, desto länger dauert dieser Schwingvorgang.
* <math> 3<c\leq 4</math> - Die Population pendelt zwischen mehreren Werten (im Intervall <math>\, [3 ; 3,45]</math> zwischen zwei Werten bei <math>\, 3,45</math> zwischen vier Werten usw.) und erreicht ab ungefähr <math>\, 3,57</math> chaotisches Verhalten. Das heißt, dass die Anzahl der Individuen nicht mehr vorhergesagt werden kann bzw. kleine Änderungen in den Parametern zu großen Änderungen in den Ergebnissen führen.

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
Führt selbst eine Parameterstudie durch und überprüft oben angegeben Intervalle des Chaosparameters auf ihre Richtigkeit. Welche weiteren überraschenden Ergebnisse liefert die '''logistischen Gleichung'''? Experimentiert mit dem Excel-Arbeitsblatt. Verwende dazu die Angabe aus dem pdf-file [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/8/82/Parameterstudie_mv.pdf Arbeitsblatt Parameterstudie zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst] (40kb). Fertigt ein Protokoll an, in dem eure Experimente dokumentiert sind! Fertigt so viele Graphen wie möglich an!

Unter [http://www.neuroinformatik.ruhr-uni-bochum.de/VDM/exercises/Logist/tex-ss/Logist/node2.html Die logistische Differentialgleichung] findet man noch weitere Übungsaufgaben und einen Graphenplotter, der online Graphen für unterschiedliche Parameterwerte zeichnet.
}}

Link:
* [http://wwwu.uni-klu.ac.at/gossimit/pap/logwachs.pdf Günther Ossimitz, Zwei Zugänge zum logistischen Wachstum, Univ. Klagenfurt] - Betrachtungen und Herleitung der logistischen Differentialgleichung.

=== Räuber-Beute-Modell ===

{{Arbeiten|NUMMER=2|
ARBEIT=

Als Erweiterung dieses Beispieles kann das Räuber-Beute-Modell gesehen werden. Ein Modell, das die Abhängigkeit der Population eines Beutetieres (Hase) und eines Raubtieres (Fuchs) voneinander untersucht. Hier gelten die '''Lotka-Volterra-Regeln''':

# Die Anzahl der Individuen (Populationsgröße) von Räuber und Beute schwanken periodisch. Diese beiden periodischen Vorgänge sind phasenverschoben, wobei die Räuberpopulaion der Beutepopulation nachläuft.
# Obwohl die Räuber- und Beutepopulation schwanken, ist der Mittelwert der Individuenanzahlen konstant.
# Sollten die Populationen durch ein besonderes Ereignis (Umweltkatastrophe, Krankheit) dezimiert werden, erholt sich die Beutepopulation stets schneller als die Raubtierpopulation

Im [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/9/95/Raeuber_beute_mit_zeitschritt_und_stoerung.xls Excel-Arbeitsblatt zum Räuber-Beute-Modell] (3,6Mb) werden wiederum die Population berechnet und die Ergebnisse graphisch visualisiert. Auch hier können alle Parameter variiert werden, um obige Gesetze zu verifizieren. Alle Bedienungshinweise sind in der Datei angegeben.
}}

== Ein bisschen Relativitätstheorie ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Franz Embacher|Franz Embacher]])

Die Funktion
<center><math>v\mapsto\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math></center>
spielt in der Speziellen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Die Variable <math>\,v</math>
steht für die Geschwindigkeit, mit der sich ein Körper (relativ zu einem Bezugssystem) bewegt, die Konstante <math>\,c</math> bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit.
Bearbeitet zunächst ''getrennt'' folgende Fragestellungen:
*a.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten <math>\,v</math>, deren Betrag sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind (<math>\,|v|\ll c</math>)? Erstelle eine Näherungsformel <math>\gamma(v)\approx\dots</math> (Reihenentwicklung bis zur Ordnung <math>\,v^2</math>)! Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?
*b.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten <math>\,v</math>, die in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit liegen (<math>v\approx c</math>, wobei aber <math>\,v<c</math> sein soll)? Erstelle eine Näherungsformel <math>\gamma(v)\approx\dots</math>! Hier ein Tipp: <center><math>1-\frac{v^2}{c^2}=\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)\approx 2\left(1-\frac{v}{c}\right)</math>.</center>Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?

Setzt euch danach wieder ''zusammen'', diskutiert eure Ergebnisse und führt sie zusammen:
*Wie sieht der Graph der gesamten Funktion aus? (Welche Definitionsmenge wird man sinnvollerweise für sie wählen?)
*Wie passt dieser Graph mit den Graphen der (von euren getrennt erhaltenen) Näherungsfunktionen zusammen? Stellt alle drei Graphen in ''einem'' Diagramm dar! Verwendet als Tool einen Punktionsplotter oder ein Programm, das einen solchen enthält! Überlegt euch, wie ihr die Einheiten auf den Achsen wählt, damit das Diagramm möglichst aussagekräftig wird!
*Illustriert anhand einiger Werte von <math>\,v</math> (z.B. die Geschwindigkeit eines Fußgängers, eines Flugzeugs, 90% der Lichtgeschwindigkeit, 99% der Lichtgeschwindigkeit...) wie gut eure Näherungsformeln sind!

Wenn das alles geklärt ist, könnt ihr ein bisschen Relativitätstheorie betreiben:
*Die (relativistische) Gesamtenergie eines Körpers der Masse <math>\,m</math>, der sich mit der Geschwindigkeit <math>\,v</math> bewegt, ist durch <math>\,E(v)=m c^2 \gamma(v)</math> gegeben. Wie verhält sich <math>\,E</math> für kleine Geschwindigkeiten? Erinnert euch das Ergebnis an etwas, das ihr in eurem Physikunterricht gelernt habt? Wie verhält sich <math>\,E</math> für große Geschwindigkeiten? (Damit könnt ihr argumentieren, dass kein Körper auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann!)
*Zwillingsparadoxon: Alice und Bob sich gleich alt. Alice unternimmt eine Reise durchs All mit Geschwindigkeit <math>\,v</math>, während Bob auf der Erde zurückbleibt. Als Alice zurückkehrt, stellen die beiden fest, dass Alice jünger geblieben ist. Ist für Bob die Zeit <math>\,\Delta T_{\rm Bob}</math> vergangen und für Alice die Zeit <math>\,\Delta T_{\rm Alice}</math>, so ist sagt die Relativitätstheorie die Beziehung <center><math>\frac{\Delta T_{\rm Bob}}{\Delta T_{\rm Alice}}=\gamma(v)</math></center> zwischen den beiden Zeiten voraus. Wie sieht die Formel für diesen Zusammenhang aus, wenn Alice ''fast'' mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs war? Wie sieht sie aus, wenn sich Alice sich - vergleichsweise - nur recht langsam bewegt hat? Formuliert Fausregeln, wie die Größe des Effekts für kleine und für große <math>\,v</math> abgeschätzt werden kann!

== Epidemie ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]])

Jährlich wird Europa von Grippewellen überrollt, die trotz der Möglichkeit der Grippeimpfung immer wieder zahlreiche Todesfälle fordern.
In der nachfolgenden Abbildung seht ihr den Tagesreport der Grippefälle einer Kleinstadt. Waagrecht sind die Tage ab Ausbruch der Grippewelle aufgetragen, senkrecht die Anzahl der an der Grippe erkrankten Personen an diesem Tag:

[[Bild:Grippewelle.jpg]]

Setzt euch zusammen und überlegt vorerst ganz allgemein (d.h. ohne jetzt schon Berechnungen anzustellen), wie sich die folgenden Fragen mathematisch behandeln und beantworten lassen:

* Welche Funktionen könnten geeignet sein, um den Epidemieverlauf zu modellieren?
* Welche Aussagekraft hat die 1.Ableitung dieser Modellfunktion?
* Wie lässt sich das Integral dieser Funktion aus volkswirtschaftlicher Sicht interpretieren?
* Zu welchem Zeitpunkt verbreitete sich die Krankheit am stärksten?
* Wann begann die Anzahl der Neuinfektionen rückläufig zu werden?

Geht jetzt auseinander und versucht jeder alleine eine Modellfunktion zu finden und die oben gestellten Fragen mithilfe dieser Funktion zu beantworten. Die Daten müsst ihr aus der Grafik ablesen.

Vergleicht anschließend eure Ergebnisse. Wahrscheinlich werdet ihr nicht zu denselben Ergebnissen gekommen sein, dennoch solltet ihr zu ähnlichen Schlüssen kommen.

Diskutiert abschließend die Frage, welche Informationen notwendig wären um mithilfe des Integrals die Frage beantworten zu können, ob eine kostenlose Grippeimpfung volkswirtschaftlich sinnvoll wäre.

== Elastizität ==

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]])

Der '''Begriff der Elastizität''' ist in der Ökonomie von entscheidender Bedeutung.

Die Elastizität einer Funktion f(x) an der Stelle x0 ist definiert durch: <math>\varepsilon (x_0):=f'(x_0) \cdot \frac{x_0}{f(x_0)} </math>

Eine '''Motivation für diesen Begriff''' und einige Erklärungen dazu findest du unter anderem auf folgenden Seiten:

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Elastizit%C3%A4t_(Wirtschaft) Wikipedia] (betrachte dabei nur den Fall mit einer Variablen!)

* [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node103.html Foliensatz von Josef Leydold (Wirtschaftsuniversität Wien)] (kannst du das Beispiel am Ende der Seite nachvollziehen?)

* [http://www.financial-economics.vwl.uni-mainz.de/downloads/vergangene%20Semester/Einf_VWLVGR%20WiSe%200506/VWLVGR05065.pdf Powerpoint-Präsentation der Johannes Gutenberg-Universität Mainz]

* Eine ausgezeichnete Erklärung dafür, warum Cola an Flughäfen so teuer ist, liefert die [http://www.faz.net/s/RubB8DFB31915A443D98590B0D538FC0BEC/Doc~E05AF144BD89D49D6B1CFAF9FC198F369~ATpl~Ecommon~Scontent.html Frankfurter Allgemeine Zeitung ] mithilfe der Elastizität .

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
Macht euch zuerst anhand der oben angeführten Links alleine mit dem Begriff der Elastizität ein wenig vertraut und setzt euch anschließend zusammen und versucht folgende Fragen zu beantworten:

# Angenommen die Funktion n(p) beschreibt die Nachfrage nach einem Produkt beim Verkaufspreis p (dh. welche Menge des Produkts lässt sich beim Preis p absetzen). Was sagt dann die Elastizität (genauer: die Preiselastizität der Nachfrage) bei einem bestimmten Preis p0 aus?
# Worin besteht der Unterschied zwischen n'(p0) und <math>\varepsilon (p_0) </math>?
# Was ist generell der Unterschied zwischen der Ableitung einer Funktion und der Elastizität der Funktion?
# In einem Land wurde die Preiselastizität für Butter auf -1 geschätzt, während die Preiselastizität für Kartoffel auf -0,2 geschätzt wurde (aus Sydsaeter, Hammond: Mathematik für Wirtschaftswissenschafter). Was könnte der Grund dafür sein, dass die Nachfrage nach Kartoffel unelastischer ist als jene nach Butter?
# Ein Wirtschaftsmathematiker hat bei einer Diskussion folgende Behauptung aufgestellt: "Meine Preiselastizität der Nachfrage nach meiner bevorzugten Whiskymarke ist null!" Was wollte er damit eigentlich sagen?
# In welchem Zahlenbereich sollte sich die Preiselastizität der Nachfrage normalerweise bewegen? Könnt ihr Gründe nennen, warum die Preiselastizität in Einzelfällen auch Werte außerhalb dieses Bereichs annehmen kann?
# Die Nachfrage nach Netbooks einer bestimmten Marke beträgt n(p)=60000-80p. Bestimme die Preiselastizität der Nachfrage für die Preise von 1 Euro, 100 Euro, 350 Euro, 700 Euro und 750 Euro. Was bedeuten diese Ergebnisse?
# Bisher haben wir nur über die Preiselastizität der Nachfrage gesprochen. Was versteht man vermutlich unter der Preiselastizität des Angebots und der Einkommenselastizitä der Nachfrage?
}}

== Rekursionsverfahren ==

[Einzelaufgaben] ([[Benutzer:Walter Wegscheider|Walter Wegscheider]] und [[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

siehe Lernpfad [[Diskret_-_kontinuierlich#Rekursive_Beschreibung_von_Ver.C3.A4nderungen|Diskret - kontinuierlich]]

Wie lange dauern Projekte? - Die Dreiecksverteilung

2009-04-12T06:00:24Z

Peter Hofbauer: /* Versuche es selbst */

'''[[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]], Heidi Metzger-Schuhäker, Gabi Bleier'''

{{Kasten1000|

BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
INHALT1=
Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema ''kontinuierliche Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen''. Die Einführung soll in einem Beispiel erfolgen, bei dem versucht wird, die Dauer von Projekten vorherzusagen.|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
* Integrale als Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen verstehen
* mit diskreten Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen arbeiten
* Schieberegler zur Parametervariation verwenden
* Funktionseigenschaften grafisch interpretieren
* grafische Darstellungen durch Terme formulieren |
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
* Reale Problemstellungen mithilfe mathematischer Modelle beschreiben und diese exaktifizieren
* Skizzen und mathematische Vorgaben kombinieren und zu einem mathematischen Modell verbinden
* die Integralrechnung im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen
* Fragestellungen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeit mathematisch formulieren
* Möglichkeiten und Grenzen der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen erkennen|
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|DidaktischerKommentar.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

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= Projekte dauern ... wie lange???=

Projekte lassen sich zeitlich oft nicht genau planen: Neue Aufgaben benötigen zur Lösung Zeit - wie viel, das ist zu Projektbeginn oft unklar.
Im besten Fall ist die Aufgabenstellung bereits aus früheren Projekten bekannt und somit bereits gelöst.
Im schlechtesten Fall erweist sich die Aufgabe als so komplex, dass das Projekt irgendwann abgebrochen und die Suche nach einer Lösung der Aufgabe eingestellt wird.
Doch normalerweise lassen sich Projekte innerhalb einer angemessenen Zeit abschließen. Idealerweise hat man aus früheren Projekten schon Erfahrungswerte bezüglich der Projektdauer gesammelt und kann diese somit abschätzen.

== Die Ausgangssituation==
Ein Konzern stellt uns eine Aufgabe, die in einem Projektteam gelöst werden soll. Für die Lösung hat das Team maximal 14 Tage Zeit. Der Projektleiter war bereits früher mit ähnlichen Projekten betraut und schätzt die voraussichtliche Projektdauer auf 10 Tage.

== Die Frage==
Lässt sich mithilfe der bekannten Zeitangaben eine Methode entwicklen, die es uns ermöglicht, die tatsächliche Projektdauer vorherzusagen?
Oder mathematisch formuliert: Können wir die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Projekt eine bestimmte Zeit dauern wird?

== Das Modell==
Da der Projektleiter mit einer voraussichtlichen Projektdauer von 10 Tagen rechnet, soll die Wahrscheinlichkeit für die Dauer von 10 Tagen am größten sein. Über die Zeitspanne von 0 bis 10 Tagen bzw. von 10 bis 14 Tagen ist es am einfachsten, eine lineare Zu- bzw. Abnahme der Wahrscheinlichkeit zu modellieren.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Vergleiche das Modell mit den Modellen der diskreten Wahrscheinlichkeitsvereilungen! Welcher grundlegende Unterschied fällt dir auf?
}}

''' Lösung'''
{{versteckt|Im Gegensatz zu den diskreten Verteilungen, kann die Zufallsvariable (in unserem Beispiel die Projektdauer) - zumindest theoretisch - jeden beliebigen Wert annehmen. So kann das Projekt z. B nicht nur 8 oder 9 Tage dauern, sondern auch 8,3 Tage.}}

{{Merksatz|MERK= Eine Zufallsvariable, die (in einem Intervall) jeden beliebigen Wert annehmen kann, nennt man '''kontinuierliche Zufallsvariable'''.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT= Finde selbst Beispiele für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariable!
}}

'''weiter im Modell'''
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie sieht die grafische Umsetzung des Wahrscheinlichkeitsmodells aus? Skizziere den Verlauf der Wahrscheinlichkeitsfunktion!
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckSkizze.ggb" />
}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen nennt man '''Dichtefunktion'''.}}

Vielleicht sind beim Zeichnen der Skizze schon ein paar Fragen aufge-
taucht, die man noch genauer klären muss:
- Wie sieht die Wahrscheinlichkeit für eine Projektdauer vor
dem 0. Tag bzw. nach dem 14. Tag aus?
und
- Wie laesst sich diese interpretieren?

'''Antwort:'''
{{versteckt|Da das Projekt ja kaum beendet sein kann, bevor es begonnen hat, muss die Wahrscheinlichkeit für ein Projektende vor dem 0. Tag natürlich 0 sein.
Ähnliches gilt für ein Projektende nach dem 14. Tag. Da man weiss, dass das Team maximal 14 Tage Zeit hat, ist ein Ende des Projekts zu einem späteren Zeitpunkt ebenfalls unmöglich - daher ist auch hierfür die Wahrscheinlichkeit 0.}}

Die Dichtefunktion soll bei X=10 ihr Maximum haben.
Welchen Funktionswert nimmt sie an dieser Stelle an?
Ist er beliebig oder gibt es einen einzig möglichen Wert für die
konkrete Aufgabenstellung?

Dazu müssen wir uns erst einmal überlegen, wie man aus einer Dichtefunktion Wahrscheinlichkeiten ablesen kann. 
Im diskreten Fall war es einfach, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in einem bestimmten Intervall zu bestimmen: Addiert man die Einzelwahrscheinlichkeiten aller Ereignisse im gegebenen Intervall, so erhält man die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit. 
Aber wie geht man im kontinuierlichen Fall vor?
Im kontinuierlichen Fall gibt es in jedem Intervall unendlich viele Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann. Das Aufsummieren wie im diskreten Fall schlägt damit also fehl. Du hast allerdings die mathematische Idee des Übergangs von diskret zu kontinuierlich bereits kennen gelernt.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=In welchem Zusammenhang hast du schon einmal den Schritt von Summen im diskreten Fall zu "Summen" bei kontinuierlichen Prozessen durchgeführt?
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|Flächenberechnung bei (stetigen) Funktionen: Aus Summen von Rechtecksflächen wurde das Integral.}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem gegebenen Intervall läuft auf die Berechnung der Fläche der Dichtefunktion innerhalb dieses Intervalls hinaus.}}

Als Wiederholung zum Thema Integralrechnung siehe gegebenenfalls die Seiten von [http://mathe-online.at/ressourcen/?s=int mathe-online]

== Wir präzisieren die Fragestellung==
Um einmal eine konkrete Aufgabenstellung lösen zu können, stellen wir uns die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Projekt 7 bis 9 Tage dauert.

Um die Frage beantworten zu können, müssen wir - ausgehend von der zuvor bereits erstellten Skizze - die Dichtefunktion auch mathematisch beschreiben können.
Vieles wissen wir bereits über diese Funktion, ein Detail fehlt uns aber noch: der Funktionswert für den 10. Tag, an dem das Projekt mit größter Wahrscheinlichkeit beendet wird.
In diesem Zusammenhang solltest du folgende Frage beantworten:
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie groß muss die Gesamtfläche unterhalb der Dichtefunktion (d. h. in diesem Fall die Fläche des Dreiecks) sein?
}}
'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Fläche unterhalb der Dichtefunktion muss 1 sein (irgendein eines aller möglichen Ereignis muss ja eintreten!)
Das bedeutet nun, dass die Höhe des Dreiecks so gewählt werden müssen, dass die Dreiecksfläche genau den Wert 1 ergibt.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Mithilfe der Formel *Dreiecksfläche = halbe Seitenlänge mal zugehöriger Höhe* kannst du selbst das Ergebnis berechnen.
}}

Überprüfe dein Ergebnis anhand der folgenden Simulation! 

{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckHoehe.ggb" />
}}

== Geschafft ==
Somit haben wir UNSER Projekt bereits gelöst.
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Das Berechnen der Fläche unter der Dichtefunktion im Intervall [7;9] sollte dir keine Schwierigkeiten bereiten. 
''Wenn doch, dann überlege am besten zuerst, welche geometrische Form die gesuchte Fläche besitzt.''}}

[[Bild:Flaeche.jpg|thumb|center|250px|gesuchte Fläche]] 

'''Lösung:'''
{{versteckt|1=z. B. lässt sich mittels Strahlensatz die Länge der beiden parallelen Seiten a und c des Trapezes bestimmen: <math>{10 : h = 9 : a} \Rightarrow {a = 0,129} \mbox{ und } {10 : h = 7 : c} \Rightarrow c = 0,100 \mbox{ und somit } W(7 \le X \le 9)=0,229 = 22,9%</math>
oder mittels einer linearen Funktion für den Bereich von 0 bis 10: <math>f(x)=0,0143 \cdot x</math> (warum?) und jetzt mittels <math>\int\limits_{7}^{9} f(x)\, \mathrm{d}x = \left. {0,0143 \over 2} \cdot x^2 \right \vert ^9_7 = 0,229 = 22,9%</math>}}

=== Die Antwort ===
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Projekt nach 7 bis 9 Tagen beendet ist, liegt nach unserem Modell bei ca. 23%.

= Dreiecksverteilung=
Allgemein nennt man eine Verteilung, welche durch das von uns gewählte Modell entsteht, eine ''Dreiecksverteilung'' (warum wohl)?

Die Verallgemeinerung unseres Verteilungsmodells setzt den Startpunkt nicht an die Stelle 0, sondern ganz allgemein an eine Stelle a (= optimistischster Wert, minimaler Wert), den Endpunkt an die Stelle b (= pessimistischster Wert, maximaler Wert) und den Fußpunkt des Dreiecks an eine beliebige Stelle c im Intervall [a ; b] (= vermutlicher Wert, wahrscheinlichster Wert).
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Versuche selbst, die Dichtefunktion der Dreiecksverteilung zu definieren!

''Ein Tipp:'' Modelliere zuerst die Funktion im Bereich [a ; c] und dann im Bereich [c ; b] und fasse diese beiden Ergebnisse zu einer stückweise definierten Funktion zusammen! Die Lösung führt über die Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle c (= der Höhe des Dreiecks). Die nachfolgende Grafik soll dir bei deinen Überlegungen behilflich sein.
 
[[Bild:BildDreieck.png|thumb|center|250px|Dichtefunktion einer Dreiecksverteilung]]

}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|1= <math>A={{{(b-a)} \cdot h} \over 2} = 1 \Rightarrow h={2 \over {b-a}} \mbox{ und } {f(x)=\begin{cases} {h \over {c-a}} \cdot {(x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {h \over {c-b}} \cdot {(x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}}</math>
 bzw. wenn man das Ergebnis für h einsetzt: 
<math>f(x)=\begin{cases} {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}</math>}}
 

Um ganz exakt zu sein sollte man die Dichtefunktion auch noch für die Intervalle [-inf ; a] und [b ; inf] definieren. In diesen Bereichen ist die Funktion immer 0 und somit erhält man letztendlich für die Dreiecksverteilung die Dichtefunktion:
 

{{versteckt|<math>f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{ } \forall x \in (\infty,a] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \\ 0 & \mbox{ } \forall x \in [b,\infty) \end{cases}</math> }}
 

= Zum Schluss=

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Was lässt sich über die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert aussagen (bei der Dreiecksverteilung aber auch ganz allgemein bei kontinuierlichen Verteilungen)?
}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert (in unserem Beispiel für das Projektende zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt) führt auf die Berechnung des Integrals an einer einzigen Stelle. Da das Integral für einen bestimmten Wert aber immer gleich 0 ist, macht also die Frage nach ganz bestimmten Ausgängen bei kontinuierlichen Verteilungen keinen Sinn. Nur die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für bestimmte Intervalle der Zufallsvariablen lassen sich beantworten.}}
 

= Versuche es selbst=
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir bei der Bearbeitung des untenstehenden Arbeitsblattes helfen.
Versuche die Aufgaben selbstständig zu lösen und nimm das Applet als Unterstützung zuhilfe.

<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckVerteilung.ggb" />

 
 
{{pdf|Aufgaben_zur_Dreiecksverteilung.pdf|Anwendungsaufgaben}}
 

= im WWW=
[http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-drei.html Java-Applet zur Dreiecksverteilung der Uni Konstanz] 
[http://pm.hs-augsburg.de/glossar/Dreiecksverteilung Eine Zusammenfassung der Eigenschaften der Dreiecksverteilung von der Hochschule Augsburg] 
[http://www.decisionsciences.org/DecisionLine/Vol31/31_3/31_3clas.pdf Ein Artikel zur Umsetzung der Dreiecksverteilung mit MS Excel (von Rick Hesse, Graziadia Graduate School of Business, Pepperdine University)]

Wie lange dauern Projekte? - Die Dreiecksverteilung

2009-04-12T05:58:00Z

Peter Hofbauer: /* im WWW */

'''[[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]], Heidi Metzger-Schuhäker, Gabi Bleier'''

{{Kasten1000|

BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
INHALT1=
Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema ''kontinuierliche Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen''. Die Einführung soll in einem Beispiel erfolgen, bei dem versucht wird, die Dauer von Projekten vorherzusagen.|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
* Integrale als Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen verstehen
* mit diskreten Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen arbeiten
* Schieberegler zur Parametervariation verwenden
* Funktionseigenschaften grafisch interpretieren
* grafische Darstellungen durch Terme formulieren |
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
* Reale Problemstellungen mithilfe mathematischer Modelle beschreiben und diese exaktifizieren
* Skizzen und mathematische Vorgaben kombinieren und zu einem mathematischen Modell verbinden
* die Integralrechnung im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen
* Fragestellungen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeit mathematisch formulieren
* Möglichkeiten und Grenzen der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen erkennen|
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|DidaktischerKommentar.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

----
= Projekte dauern ... wie lange???=

Projekte lassen sich zeitlich oft nicht genau planen: Neue Aufgaben benötigen zur Lösung Zeit - wie viel, das ist zu Projektbeginn oft unklar.
Im besten Fall ist die Aufgabenstellung bereits aus früheren Projekten bekannt und somit bereits gelöst.
Im schlechtesten Fall erweist sich die Aufgabe als so komplex, dass das Projekt irgendwann abgebrochen und die Suche nach einer Lösung der Aufgabe eingestellt wird.
Doch normalerweise lassen sich Projekte innerhalb einer angemessenen Zeit abschließen. Idealerweise hat man aus früheren Projekten schon Erfahrungswerte bezüglich der Projektdauer gesammelt und kann diese somit abschätzen.

== Die Ausgangssituation==
Ein Konzern stellt uns eine Aufgabe, die in einem Projektteam gelöst werden soll. Für die Lösung hat das Team maximal 14 Tage Zeit. Der Projektleiter war bereits früher mit ähnlichen Projekten betraut und schätzt die voraussichtliche Projektdauer auf 10 Tage.

== Die Frage==
Lässt sich mithilfe der bekannten Zeitangaben eine Methode entwicklen, die es uns ermöglicht, die tatsächliche Projektdauer vorherzusagen?
Oder mathematisch formuliert: Können wir die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Projekt eine bestimmte Zeit dauern wird?

== Das Modell==
Da der Projektleiter mit einer voraussichtlichen Projektdauer von 10 Tagen rechnet, soll die Wahrscheinlichkeit für die Dauer von 10 Tagen am größten sein. Über die Zeitspanne von 0 bis 10 Tagen bzw. von 10 bis 14 Tagen ist es am einfachsten, eine lineare Zu- bzw. Abnahme der Wahrscheinlichkeit zu modellieren.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Vergleiche das Modell mit den Modellen der diskreten Wahrscheinlichkeitsvereilungen! Welcher grundlegende Unterschied fällt dir auf?
}}

''' Lösung'''
{{versteckt|Im Gegensatz zu den diskreten Verteilungen, kann die Zufallsvariable (in unserem Beispiel die Projektdauer) - zumindest theoretisch - jeden beliebigen Wert annehmen. So kann das Projekt z. B nicht nur 8 oder 9 Tage dauern, sondern auch 8,3 Tage.}}

{{Merksatz|MERK= Eine Zufallsvariable, die (in einem Intervall) jeden beliebigen Wert annehmen kann, nennt man '''kontinuierliche Zufallsvariable'''.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT= Finde selbst Beispiele für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariable!
}}

'''weiter im Modell'''
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie sieht die grafische Umsetzung des Wahrscheinlichkeitsmodells aus? Skizziere den Verlauf der Wahrscheinlichkeitsfunktion!
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckSkizze.ggb" />
}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen nennt man '''Dichtefunktion'''.}}

Vielleicht sind beim Zeichnen der Skizze schon ein paar Fragen aufge-
taucht, die man noch genauer klären muss:
- Wie sieht die Wahrscheinlichkeit für eine Projektdauer vor
dem 0. Tag bzw. nach dem 14. Tag aus?
und
- Wie laesst sich diese interpretieren?

'''Antwort:'''
{{versteckt|Da das Projekt ja kaum beendet sein kann, bevor es begonnen hat, muss die Wahrscheinlichkeit für ein Projektende vor dem 0. Tag natürlich 0 sein.
Ähnliches gilt für ein Projektende nach dem 14. Tag. Da man weiss, dass das Team maximal 14 Tage Zeit hat, ist ein Ende des Projekts zu einem späteren Zeitpunkt ebenfalls unmöglich - daher ist auch hierfür die Wahrscheinlichkeit 0.}}

Die Dichtefunktion soll bei X=10 ihr Maximum haben.
Welchen Funktionswert nimmt sie an dieser Stelle an?
Ist er beliebig oder gibt es einen einzig möglichen Wert für die
konkrete Aufgabenstellung?

Dazu müssen wir uns erst einmal überlegen, wie man aus einer Dichtefunktion Wahrscheinlichkeiten ablesen kann. 
Im diskreten Fall war es einfach, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in einem bestimmten Intervall zu bestimmen: Addiert man die Einzelwahrscheinlichkeiten aller Ereignisse im gegebenen Intervall, so erhält man die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit. 
Aber wie geht man im kontinuierlichen Fall vor?
Im kontinuierlichen Fall gibt es in jedem Intervall unendlich viele Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann. Das Aufsummieren wie im diskreten Fall schlägt damit also fehl. Du hast allerdings die mathematische Idee des Übergangs von diskret zu kontinuierlich bereits kennen gelernt.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=In welchem Zusammenhang hast du schon einmal den Schritt von Summen im diskreten Fall zu "Summen" bei kontinuierlichen Prozessen durchgeführt?
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|Flächenberechnung bei (stetigen) Funktionen: Aus Summen von Rechtecksflächen wurde das Integral.}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem gegebenen Intervall läuft auf die Berechnung der Fläche der Dichtefunktion innerhalb dieses Intervalls hinaus.}}

Als Wiederholung zum Thema Integralrechnung siehe gegebenenfalls die Seiten von [http://mathe-online.at/ressourcen/?s=int mathe-online]

== Wir präzisieren die Fragestellung==
Um einmal eine konkrete Aufgabenstellung lösen zu können, stellen wir uns die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Projekt 7 bis 9 Tage dauert.

Um die Frage beantworten zu können, müssen wir - ausgehend von der zuvor bereits erstellten Skizze - die Dichtefunktion auch mathematisch beschreiben können.
Vieles wissen wir bereits über diese Funktion, ein Detail fehlt uns aber noch: der Funktionswert für den 10. Tag, an dem das Projekt mit größter Wahrscheinlichkeit beendet wird.
In diesem Zusammenhang solltest du folgende Frage beantworten:
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie groß muss die Gesamtfläche unterhalb der Dichtefunktion (d. h. in diesem Fall die Fläche des Dreiecks) sein?
}}
'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Fläche unterhalb der Dichtefunktion muss 1 sein (irgendein eines aller möglichen Ereignis muss ja eintreten!)
Das bedeutet nun, dass die Höhe des Dreiecks so gewählt werden müssen, dass die Dreiecksfläche genau den Wert 1 ergibt.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Mithilfe der Formel *Dreiecksfläche = halbe Seitenlänge mal zugehöriger Höhe* kannst du selbst das Ergebnis berechnen.
}}

Überprüfe dein Ergebnis anhand der folgenden Simulation! 

{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckHoehe.ggb" />
}}

== Geschafft ==
Somit haben wir UNSER Projekt bereits gelöst.
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Das Berechnen der Fläche unter der Dichtefunktion im Intervall [7;9] sollte dir keine Schwierigkeiten bereiten. 
''Wenn doch, dann überlege am besten zuerst, welche geometrische Form die gesuchte Fläche besitzt.''}}

[[Bild:Flaeche.jpg|thumb|center|250px|gesuchte Fläche]] 

'''Lösung:'''
{{versteckt|1=z. B. lässt sich mittels Strahlensatz die Länge der beiden parallelen Seiten a und c des Trapezes bestimmen: <math>{10 : h = 9 : a} \Rightarrow {a = 0,129} \mbox{ und } {10 : h = 7 : c} \Rightarrow c = 0,100 \mbox{ und somit } W(7 \le X \le 9)=0,229 = 22,9%</math>
oder mittels einer linearen Funktion für den Bereich von 0 bis 10: <math>f(x)=0,0143 \cdot x</math> (warum?) und jetzt mittels <math>\int\limits_{7}^{9} f(x)\, \mathrm{d}x = \left. {0,0143 \over 2} \cdot x^2 \right \vert ^9_7 = 0,229 = 22,9%</math>}}

=== Die Antwort ===
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Projekt nach 7 bis 9 Tagen beendet ist, liegt nach unserem Modell bei ca. 23%.

= Dreiecksverteilung=
Allgemein nennt man eine Verteilung, welche durch das von uns gewählte Modell entsteht, eine ''Dreiecksverteilung'' (warum wohl)?

Die Verallgemeinerung unseres Verteilungsmodells setzt den Startpunkt nicht an die Stelle 0, sondern ganz allgemein an eine Stelle a (= optimistischster Wert, minimaler Wert), den Endpunkt an die Stelle b (= pessimistischster Wert, maximaler Wert) und den Fußpunkt des Dreiecks an eine beliebige Stelle c im Intervall [a ; b] (= vermutlicher Wert, wahrscheinlichster Wert).
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Versuche selbst, die Dichtefunktion der Dreiecksverteilung zu definieren!

''Ein Tipp:'' Modelliere zuerst die Funktion im Bereich [a ; c] und dann im Bereich [c ; b] und fasse diese beiden Ergebnisse zu einer stückweise definierten Funktion zusammen! Die Lösung führt über die Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle c (= der Höhe des Dreiecks). Die nachfolgende Grafik soll dir bei deinen Überlegungen behilflich sein.
 
[[Bild:BildDreieck.png|thumb|center|250px|Dichtefunktion einer Dreiecksverteilung]]

}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|1= <math>A={{{(b-a)} \cdot h} \over 2} = 1 \Rightarrow h={2 \over {b-a}} \mbox{ und } {f(x)=\begin{cases} {h \over {c-a}} \cdot {(x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {h \over {c-b}} \cdot {(x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}}</math>
 bzw. wenn man das Ergebnis für h einsetzt: 
<math>f(x)=\begin{cases} {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}</math>}}
 

Um ganz exakt zu sein sollte man die Dichtefunktion auch noch für die Intervalle [-inf ; a] und [b ; inf] definieren. In diesen Bereichen ist die Funktion immer 0 und somit erhält man letztendlich für die Dreiecksverteilung die Dichtefunktion:
 

{{versteckt|<math>f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{ } \forall x \in (\infty,a] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \\ 0 & \mbox{ } \forall x \in [b,\infty) \end{cases}</math> }}
 

= Zum Schluss=

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Was lässt sich über die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert aussagen (bei der Dreiecksverteilung aber auch ganz allgemein bei kontinuierlichen Verteilungen)?
}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert (in unserem Beispiel für das Projektende zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt) führt auf die Berechnung des Integrals an einer einzigen Stelle. Da das Integral für einen bestimmten Wert aber immer gleich 0 ist, macht also die Frage nach ganz bestimmten Ausgängen bei kontinuierlichen Verteilungen keinen Sinn. Nur die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für bestimmte Intervalle der Zufallsvariablen lassen sich beantworten.}}
 

= Versuche es selbst=
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir bei der Bearbeitung des untenstehenden Arbeitsblattes helfen.
Versuche die Aufgaben selbstständig zu lösen und nimm das Applet als Unterstützung zuhilfe.

<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckVerteilung.ggb" />

 

{{pdf|Aufgaben_zur_Dreiecksverteilung.pdf|Anwendungsaufgaben}}
 

== im WWW==
[http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-drei.html Java-Applet zur Dreiecksverteilung der Uni Konstanz] 
[http://pm.hs-augsburg.de/glossar/Dreiecksverteilung Eine Zusammenfassung der Eigenschaften der Dreiecksverteilung von der Hochschule Augsburg] 
[http://www.decisionsciences.org/DecisionLine/Vol31/31_3/31_3clas.pdf Ein Artikel zur Umsetzung der Dreiecksverteilung mit MS Excel (von Rick Hesse, Graziadia Graduate School of Business, Pepperdine University)]

Sek2Uni/Pool 2

2009-04-11T18:42:33Z

Peter Hofbauer: /* Kosten- und Preistheorie */

Lernpfad zur Schnittstelle Sekundarstufe 2 - Universität

Aufgabenpool 2

[[Sek2Uni|Startseite des Lernpfads]] | [[Sek2Uni/Pool_1|Aufgabenpool 1]] | [[Sek2Uni/Didaktischer_Kommentar|Didaktischer Kommentar]]

== Text korrigieren: Radioaktiver Zerfall ==

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Franz Embacher|Franz Embacher]])

Stellt euch vor, ihr findet bei einer Internetrecherche zum Thema "mathematische Beschreibung des radioaktiven Zerfalls" den folgenden Text:

:Die Funktion <math>\,C\,e^{-\lambda x}</math> nähert sich für große <math>\,x</math> der <math>\,x</math>-Achse an. Auf der anderen Seite kommt sie von unendlich großen Werten herunter, bis sie bei <math>\,C</math> die <math>\,y</math>-Achse schneidet. Daher beschreibt sie eine exponentielle Abnahme, in welchem Fall man <math>\,x=t</math> setzen muss. Beim radioaktiven Zerfall ist <math>\,C</math> die Menge der am Anfang vorhandenen Radioaktivität. Wir nennen sie <math>\,n(t)</math>. <math>\,\lambda</math> heißt Zerfallskonstante (siehe [http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Zerfallskonstante http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Zerfallskonstante]). Jetzt kann gefragt werden, nach welcher Zeit nur mehr die Hälfte übrig ist? Diese Frage lösen wir mit Hilfe der Exponentialgleichung <center><math>\,C\,e^{-\lambda\,t}=50\%\,C\,e^{-\lambda\,t=0}</math>,</center> die sich nach geeigneter Behandlung auf <center><math>\,e^{-\lambda t}=\frac{1}{2}</math></center> reduziert. Jetzt wird logarithmiert (natürlich), also <center><math>\,-\lambda t=\ln(\frac{1}{2})=\frac{1}{\ln(2)}=-\ln(2)</math>,</center> woraus sich <center><math>\,t=\frac{\ln(2)}{\lambda}</math></center> ergibt. Das ist also die Halbwertszeit und gleichzeitig die Beziehung derselben mit der Zerfallskonstante.

Welche ungeschickten Formulierungen wurden verwendet, welche Fehler wurden gemacht? Formuliert den Text so um, dass er das, was er sagen will, auf richtigere und schönere Weise zum Ausdruck bringt!

== Text korrigieren: Integral ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Viele Texte im Internet werden durch Laien erstellt und sind nicht immer ganz korrekt (das trifft für viele Wikis zu und hoffentlich nicht für unseres hier). Folgender Text wurde in einem Wiki gefunden. Finde alle Fehler und korrigiere ihn!
}}
''Das Integral ist ein kompliziertes mathematisches Verfahren, das ausschließlich verwendet werden kann, um das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen. Wie beim Differenzieren, das die Umkehroperation des Integrierens ist, lässt sich jede Funktion mit einer mehr oder weniger einfachen Formel berechnen. Folgende einfache Regeln sind beim Integrieren zu beachten:''

* <math>\int (f(x)+g(x))\mathrm{d}x= \int f(x)\mathrm{d}x + \int g(x)\mathrm{d}x + C</math>
* <math>\int \mathrm{Konstante}\cdot f(x)\mathrm{d}x=\mathrm{Konstante}\cdot \int \ f(x)\mathrm{d}x + C</math>
* <math>\int (f(x)\cdot g(x))\mathrm{d}x= \int f(x)\mathrm{d}x \cdot \int g(x)\mathrm{d}x + C</math>
* <math>\int x^{n}\mathrm{d}x= \int \frac{1}{n-1}\cdot x^{n-1}\mathrm{d}x + C</math>

''Integriert man eine Funktion ist immer eine so genannte Integrationskonstante <math>\,C </math> anzuhängen, da ja multiplikative Konstanten beim Differenzieren verloren gehen und bei der Umkehroperation wieder gefunden werden müssen. Diese Integrationskonstante darf nur positive Werte annehmen und kann nicht genau bestimmt werden.''
''Die soeben beschriebene Art der Integration bezeichnet man als uneigentliches Integral, deren Ergebnis immer eine Funktion ist.''

''Die zweite Interpretation der Integration ist das bestimmte Integral, das als Ergebnis eine Zahl hat. Diese Zahl beschreibt den Flächeninhalt einer Fläche oberhalb der Kurve. Ein bestimmtes Integral benötigt zwei Grenzen, die unter- und oberhalb des Integralzeichens angeschrieben werden, was wie folgt aussieht:''

<math>\int_{3}^{1}4x-4\mathrm{d}x=2x^2-4x|_{3}^{1}=(2\cdot 1^2-4\cdot 1)-(2\cdot 3^2-4 \cdot 3)= -2-6=-8</math> ''Flächeneinheiten.''

''Der negative Wert des bestimmten Integrals beschreibt die Lage der Fläche. Sie befindet sich im Bereich des zweiten und dritten Quadrantens im Koordinatensystem.''

=== '''Lösungen im pdf-Format''' ===
----

Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/5/59/Fehlertext_integration_loes_mv.pdf Lösungen zum Fehlertext] (pdf-File, 64 kb).

== Text korrigieren: Kurvendiskussion ==

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT= Auf einer Referatsseite im Internet wurde folgender Text gefunden. Lies ihn dir genau durch und korrigiere eventuelle '''Fehler''' bzw. '''Ungenauigkeiten'''!
}}

Eine Kurvendiskussion besteht im Wesentlichen aus 10 Teilaufgaben. Den Definitionsbereich kann man sehr einfach bestimmen, weil er immer R ist.
Um die Nullstellen berechnen zu können, löst man die Gleichung <math>\,f(x)=0</math>, weil eine Nullstelle immer der Schnittpunkt mit der x – Achse ist. Daher ist die Nullstelle immer N(0 / y).
Für eventuelle Extremstellen setzt man die 1. Ableitung Null. Der Grund ist recht einfach: die erste Ableitung gibt nämlich die mittlere Änderungsrate einer Funktion an. Will man zusätzlich entscheiden, ob es sich um einen Hoch- bzw. Tiefpunkt handelt, setzt man in die zweite Ableitung ein. Ist die zweite Ableitung größer als Null, dann handelt es sich um einen Hochpunkt, andernfalls um ein Minimum. Ist eine Funktion in einem bestimmten Intervall gegeben, dann kann es auch zu Extremstellen kommen, obwohl die 1. Ableitung ungleich Null ist. Den Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremstellen habe ich nie verstanden. Ist eine Funktion streng monoton wachsend, so gilt: <math>\,x_1</math> < <math>\,x_2</math> → <math>\,f(x_1)</math> <math>{}\ge{} {}</math> <math>\,f(x_2)</math> 
Mit der 1. Ableitung kann das Monotonieverhalten natürlich auch bestimmt werden. Ist <math>\,f'(x_0)</math> in einem bestimmten Intervall kleiner als Null, so ist die Funktion dort monoton fallend.
Nun zu den Wendepunkten: eine Wendestelle <math>\,x_0</math> ist so definiert, dass sich die Krümmung an dieser Stelle nicht ändert. Deshalb muss man die 2. Ableitung bestimmen und die Gleichung <math>\,f''(x)=0</math> lösen. Zur Sicherheit – müsste man nicht – bildet man die 3. Ableitung und überprüft, dass <math>\,f'''(x_0)=0</math> ungleich Null ist. Der Funktionsgraph der 1. Ableitung hat dort immer eine Extremstelle. Je nachdem, ob <math>\,f''(x)<0 </math> bzw. <math>\,f''(x)>0 </math> ist, spricht man von konkav bzw. konvex. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, d.h. <math>\,f'(x){}\neq{} {}0</math> und <math>\,f''(x)=0</math>, weil es ja eine Wendestelle ist.

Ich hoffe, dass ich euch mit meinem Referat helfen konnte!
 
''' Lösung als pdf Datei'''
{{versteckt|[http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/2/2f/Text_Lsg.pdf Lösungstext.pdf]}} 

== Verhalten von Funktionen ==

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Franz Embacher|Franz Embacher]])

Gegeben sei eine Funktion <math>f:x\mapsto f(x)</math>. Ist <math>\,a</math> eine Konstante, so können aus <math>\,f</math> weitere Funktionen gewonnen werden:
*<math>g:x\mapsto f(x+a)</math>
*<math>h:x\mapsto f(a x)</math>
*<math>u:x\mapsto f(x)+a</math>
*<math>v:x\mapsto a f(x)</math>

Diskutiert das Verhalten und die Graphen der Funktionen
<math>\,g</math>, <math>\,h</math>, <math>\,u</math> und <math>\,v</math>
im Verhältnis zu jenen von <math>\,f</math>! Gebt einige Beispiele an und erstellt aussagekräftige Grafiken!

Wie übertragen sich folgende Eigenschaften auf die Funktionen <math>\,g</math>, <math>\,h</math>, <math>\,u</math> und <math>\,v</math>?
*<math>\,f</math> ist periodisch mit Periode <math>\,p</math>.
*<math>\,f</math> ist überall positiv.
*<math>\,f</math> ist monoton steigend.
*<math>\,f</math> hat bei <math>\,x_0</math> eine Nullstelle (d.h. <math>\,f(x_0)=0</math>).

Erstellt mit einem dynamischen Geometriesystem (z.B. GeoGebra) ein Arbeitsblatt, in dem anhand einer Funktion <math>\,f</math> eurer Wahl die Konstante <math>\,a</math> mittels eines Schiebereglers variiert werden kann!

== Das Integral ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

Die zwei grundlegenden Interpretationen des Integrals lauten:

* Das Integral ist die '''Umkehroperation der Differentation'''. Jede mathematische Operation hat sein Spiegelbild. So wie die Paare Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division, Potenzieren/Radizieren existiert das Paar Differentation/Integration.
Differentation: <math>f(x)=x^3+2x^2-4x+7 \rightarrow f'(x)=3x^2+4x-4</math>

Integration: <math>g(x)=3x^2+4x-4 \rightarrow \int g(x) \mathrm{d}x =G(x)=x^3+2x^2-4x+C</math>

Die Funktionen <math>\, f(x)</math> und <math>\, G(x)</math> sind bis auf die '''Integrationskonstante''' <math>\, C </math>ident.

Diese Art von Integral nennt man '''unbestimmtes Integral'''. Das Ergebnis dieser Operation ist eine '''Funktion'''. Durch das Differenzieren geht jede Art von additiver Konstante verloren. Diese lässt sich durch die Integration nicht eindeutig wieder herstellen. Das Ergebnis der Integration ist daher eine '''Kurvenschar'''. Eine unendliche Anzahl von ähnlichen Funktionen, die entlang der y-Achse verschoben sind. Möchte man die Funktion genau bestimmen, ist ein Punkt notwendig, durch den die gesuchte Funktion geht.
* Das Integral dient zur '''Berechnung des Flächeninhaltes der Fläche unterhalb des Graphen einer Funktion'''.
Der Flächeninhalt einer Fläche entspricht einer '''Zahl'''. Diese Zahl lässt sich ebenfalls mit dem Integral berechnen. Dieses Integral wird '''bestimmtes Integral''' genannt. Zur Berechnung braucht man Informationen über die Ränder der zu berechnenden Fläche. Diese Ränder werden obere und untere Grenze genannt, diese sind mit den x-Koordinaten der Randpunkte ident.

<math>\int_{2}^{4}3x^2+4x-4\mathrm{d}x=x^3+2x^2-4x|_{2}^{4}=(4^3+2\cdot 4^2-4 \cdot 4)-(2^3+2\cdot 2^2-4 \cdot 2)= 80-8=72</math> Flächeneinheiten.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Überprüft, ob Differentation und Integration wirklich Umkehroperationen sind! Teilt die Funktionen auf. Jedes Gruppenmitglied leitet zwei Funktionen ab und integriert zwei andere. Dann werden die Ergebnisse verglichen und überprüft, ob sie übereinstimmen. Dabei gilt <math>\,F'_{i}(x)=f_{i}(x)</math> und <math>\int f_{i}(x)\mathrm{d}x=F_{i}(x)</math>. Ist dies nicht der Fall, hat sich jemand verrechnet. Sucht und findet dabei gemachte Fehler!
}}
# Funktionen zur Differentation: <math>F_{1}(x)=x^4-4\cdot x^2+7\cdot x+22 </math>, <math>\,F_{2}(x)=\ln x +\sin x+x^{-4}</math>, <math>F_{3}(x)=x \cdot \ln x -x -\cos x-\frac{x^{-3}}{3}</math>, <math>F_{4}(x)=(2-x^2) \cdot \cos x + 2 \cdot x \cdot \sin x</math>
# Funktionen zur Integration: <math>f_{1}(x)=4\cdot x^3-8\cdot x+7</math>, <math>f_{2}(x)=\cos x + \frac{1}{x} - 4\cdot x^{-5}</math>, <math>\,f_{3}(x)=\ln x +\sin x+x^{-4}</math>, <math>f_{4}(x)=x^2\cdot \sin x</math>
# Berechnet die bestimmten Intgrale von <math>\,f_{1}(x)</math> bis <math>\,f_{4}(x)</math> im Intervall <math>\,1</math> bis <math>\,2</math>.

'''Lösungen der bestimmten Integrale:'''
{{versteckt|* <math>\int_{1}^{2} f_{1}(x) \mathrm{d}x=10</math> Flächeneinheiten (FE)
* <math>\int_{1}^{2} f_{2}(x) \mathrm{d}x=-0.1765263774</math> FE (Hier ist der Betrag zu nehmen.)
* <math>\int_{1}^{2} f_{3}(x) \mathrm{d}x=1,63440170</math> FE
* <math>\int_{1}^{2} f_{4}(x) \mathrm{d}x=2,246239104</math> FE
}}

== Kurvendiskussion ==

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=# Erklärt die Berechnung der Nullstellen einer Funktion. Achtet dabei auf die mögliche Anzahl der Lösungen!
# Erklärt die Berechnung der Extremstellen einer Funktion!
# Wie lässt sich zwischen Hoch- und Tiefpunkt unterscheiden?
# Worin besteht der Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremstellen?
# Erklärt die Berechnung der Wendestellen einer Funktion!
# Wann spricht man von einem Sattelpunkt?
# Wie kann man bei einer Funktion die Eigenschaften Monotonie und Krümmung untersuchen?

}}

Erstellt zur Veranschaulichung mit einem dynamischen Geometrieprogramm (z.B. GeoGebra) ein Arbeitsblatt, das die Zusammenhänge der ersten drei Ableitungen zeigt! Probiert es z.B. mit der Polynomfunktion <math> f(x) = \frac{ 1 }{64 }\cdot x^4 - \frac{ 1 }{8 }\cdot x^3+2\cdot x </math>

''' Lösung als pdf Datei'''
{{versteckt|[http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/f/f3/Kurvendiskussion.pdf Kurvendiskussion.pdf]}}

''' Lösung als ggb Datei'''
{{versteckt|<ggb_applet height = "460" width = "800" filename="Kurvendisk.ggb" />}} 

== Bewegung (fächerübergreifend mit Physik) ==

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Franz Embacher|Franz Embacher]])

Was haben Zeit, Weg (Ort), Geschwindigkeit und Beschleunigung mit dem Differenzieren und Integrieren zu tun? Ihr könnt dabei davon ausgehen, dass eine Bewegungsform durch eine Zuordnung
<center><math>t\mapsto s(t)</math></center>
beschrieben wird. Dabei ist <math>\,s(t)</math> der Ort des betrachteten Objekts zur Zeit <math>\,t</math>.

Gebt einige Beispiele für Bewegungsformen an und erstellt aussagekräftige Grafiken oder Animationen (etwa mit einem Computeralgebra-System).

Beantwortet folgende Fragen:
*Kann die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn der Ort als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
*Kann die Beschleunigung als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn der Ort als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
*Kann die Beschleunigung als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
*Kann der Ort als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
*Kann der Ort als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn die Beschleunigung als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
*Wie kann der Ort als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn bekannt ist, dass die Beschleunigung konstant (<math>\,=g</math>) ist, und dass zur Zeit <math>\,t=0</math> sowohl der Ort als auch die Geschwindigkeit gleich 0 sind? (Kommt euch das Ergebnis bekannt vor?)

== Kosten- und Preistheorie ==

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]])

Euer Freund leitet ein Entsorgungsunternehmen für Metall- und Elektronikschrott und befindet sich in einer angespannten finanziellen Situation. Er bittet euch, dem Unternehmen beratend zur Seite zu stehen, da seine Firma derzeit defizitär arbeitet und Veränderungen unausweichlich scheinen.

Von eurem Freund bekommt ihr folgende Unternehmensdaten zur Verfügung gestellt:
Derzeit kann der Betrieb pro Tag bis zu 5 Tonnen Metall- und Elektroschrott verarbeiten. Der Preis, den andere Unternehmen für die Entsorgung einer Tonne Schrott verlangen, beträgt 10 GE (Geldeinheiten). Aus sozialen Gründen (in der Firma arbeiten viele Familienmitglieder eures Freundes) muss daran festgehalten werden, keine Angestellten und Arbeiter zu entlassen.
Eine vor einigen Monaten durchgeführte Kostenanalyse ergab für den Betrieb bei Fixkosten in Höhe von 10 GE folgende Grenzkostenaufstellung:

{| class="prettytable"
|+ Grenzkostenanalyse des Unternehmens
|-
! style="background: #FFFDDD;"|Entsorgungsmenge in Tonnen
| 0,0
| 0,5
| 1,0
| 1,5
| 2,0
| 2,5
| 3,0
| 3,5
| 4,0
| 4,5
| 5,0
|-
! style="background: #FFFDDD;"|Grenzkosten in GE
| 26.0
| 21.2
| 16.9
| 13.0
| 9.6
| 6.6
| 4.1
| 2.0
| 0.4
| -0.8
| -1.5
|}

Auch an den Ankauf neuer Technologien wurde bereits gedacht, wodurch die Entsorgungsmenge auf max. 7 Tonnen pro Tag erhöht werden könnte. Allerdings wurde der Ankauf aus gegebenem Anlass vorerst aufgeschoben. Die Prognose der Kostenentwicklung durch die Investition in die neuen Entsorgungstechnologien sieht folgendermaßen aus:

{| class="prettytable" align="center"
|+ prognostizierte Kosten für das Unternehmens nach Investition
|-
! style="background: #FFFDDD;"|Entsorgungsmenge in Tonnen
| 0,0
| 0,5
| 1,0
| 1,5
| 2,0
| 2,5
| 3,0
| 3,5
| 4,0
| 4,5
| 5,0
| 5,5
| 6,0
| 6,5
| 7,0
|-
! style="background: #FFFDDD;"|Grenzkosten in GE
| 11,0
| 22,8
| 32,3
| 39,8
| 45,5
| 49,6
| 52,4
| 54,0
| 54,8
| 55,0
| 54,7
| 54,3
| 54,0
| 53,9
| 54,3
|}

Eure Aufgabe besteht nun darin die Unternehmenssituation zu analysieren und das Unternehmen zu beraten.
Dazu sind zumindest folgende Größen in eurem Bericht anzuführen und zu analysieren:
* Gewinnfunktion
* bestmögliche Entsorgungsmenge (in Tonnen pro Tag)
* optimale Entsorgungssituation (d.h. was kann aus dem Betrieb heraus geholt werden) bezogen auf Gewinn bzw. Verlust
* Gewinnfunktion nach Investition in neue Technologien
* optimale Entsorgungsmenge nach Investition
* möglicher Gewinn nach Investition
* Abhängigkeit von Preisschwankungen

''Hinweis: Bei den Preisschwankungen ist auf jeden Fall von Interesse, wie weit der Preis pro Tonne
fallen dürfte, damit ohne Verlust gearbeitet werden kann (sofern das überhaupt möglich ist).''

Abschließend sollt ihr in einem Bericht eure Erkenntnisse zusammenfassen und eine Strategie für das Unternehmen festlegen.

''Solltet ihr mit einigen der oben genannten Begriffe nichts anfangen können, so schaut euch die
Fachbereichsarbeit einer Schülerin der HBLA Amstetten an: [http://home.schule.at/teaching/Mam/hw3/Wirtschaftsmathematik-Wenzl.pdf Fachbereichsarbeit Wirtschaftsmathematik]''

== Funktionstypen ==

[Aufgabe für 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

Eine klassische Aufgabe in der Schule ist in Österreich eine '''Kurvendiskussion'''. Dabei werden die Eigenschaften von Funktionen untersucht. Die zu untersuchenden Funktionen kommen aus den unterschiedlichen Bereichen der Wissenschaft, sehen verschieden aus und besitzen daher auch klassizifierbare Eigenschaften.

Eine Kurvendiskussion besteht aus Punkten, die oft unterschiedlich gruppiert werden, aber im Prinzip dasselbe darstellen. Eine Übersicht dieser Punkte inklusive einer Kurzanleitung findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/c/ce/Kurvendiskussion_menue_mv.pdf Übersicht der Aufgaben bei einer Kurvendiskussion] (pdf-File, 41kb).

Die Aufgaben einer '''Kurvendiskussion''' lauten:

# Definitionsmenge und Ableitungen
# Nullstellenberechnung
# Extremstellenberechnung
# Wendestellenberechnung inklusive Ermittelung der Wendetangenten
# Monotoniebetrachtungen
# Bestimmung des Krümmungsverhaltens
# Zeichnen des Graphens
# Bestimmung des asymptotischen Verhaltens
# Bestimmung der Symmetrie des Graphens
# Periodizitätsbetrachtungen

Funktionen werden in der Schule grob in sechs Klassen unterteilt:

* Polynomfunktionen, z.B. <math> f_{1}(x)=\frac{1}{50}\cdot(x^{4}-14x^{3}+45x^{2})</math>
* gebrochen rationale Funktionen, z.B. <math> f_{2}(x)=\frac{x^{2}-2x}{(x+1)^{2}}</math>
* Winkelfunktionen, z.B. <math> f_{3}(x)=\, (\sin x -\cos x)^{2}</math>
* Logarithmusfunktionen, z.B. <math> f_{4}(x)=x\cdot (\ln x -1)</math>
* Exponentialfunktionen, z.B. <math> f_{5}(x)=(x^{2}-1)\cdot e^{x}</math>
* Wurzelfunktionen, z.B. <math> f_{6}(x)=x \cdot \sqrt{x^{2}-4}</math>

Die Funktionsklassen besitzen spezielle Eigenschaften, die einer besonderen Untersuchung bedürfen. Die Eigenschaften bezieungsweise Tipps oder Vorsichtshinweise bei Kurvendiskussionen sind im pdf-File [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/a/a8/Kurvendiskussion_fkt_uebersicht_mv.pdf Übersicht über Funktioneneigenschaften] (22kb) zusammengefasst.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Verteilt obige sechs Funktionen auf die Mitgliede der Gruppe (zwei für jede/n). Verwendet obiges pdf-Files, um die Kurvendiskussion durchzuführen. Verwendet besonders Augenmerk auf jene Punkte, die die Besonderheiten der angegeben Funktionen behandeln! Als Hilfe gibt es die Graphen der Funktionen unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/6/67/Kurvendiskussion_graphen_mv.pdf Funktionsgraphen der Beispielfunktionen] (pdf-File, 103kb) als Download.
}}

{{Autoren|Franz Embacher, Peter Hofbauer, Matthias Kittel, Jochen Maierhofer, Walter Wegscheider}}

Sek2Uni/Pool 1

2009-04-11T18:40:26Z

Peter Hofbauer: /* Elastizität */

Lernpfad zur Schnittstelle Sekundarstufe 2 - Universität

Aufgabenpool 1

[[Sek2Uni|Startseite des Lernpfads]] | [[Sek2Uni/Pool_2|Aufgabenpool 2]] | [[Sek2Uni/Didaktischer_Kommentar|Didaktischer Kommentar]]

== Differentialgleichung versus Differenzengleichung ==

[Einzelaufgaben] ([[Benutzer:Walter Wegscheider|Walter Wegscheider]] und [[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

siehe Lernpfad [[Diskret_-_kontinuierlich#Von_der_diskreten_zur_kontinuierlichen_Ver.C3.A4nderung|Diskret - kontinuierlich]]

== Integrationsverfahren vergleichen ==

[Aufgabe für 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

Die Berechnung von Integralen ist eine oft notwendige Operation, die in vielen Bereichen des wissenschaftlichen Lebens Anwendung findet. Gar nicht so selten kommt es vor, dass ein Integral gar nicht analytisch lösbar ist. Das bedeutet, es gibt kein Verfahren wie die ''partielle Integration'', die ''Substitutionsmethode'' oder die ''Partialbruchzerlegung'' (diese Lösungswege lernst Du in der Schule, es gibt aber noch viel mehr), um das Integral lösen zu können. Aus diesem Grund ist es notwendig alternative Integrationsmethoden zu finden. Hier werden zwei Möglichkeiten vorgestellt:

* '''Die gegebene Funktion wird vereinfacht:''' Sie wird durch ein beliebig genaues Taylorpolynom angenähert. Bei diesem Verfahren sind nur Kenntnisse über das Ableiten notwendig. Jede Funktion ist ja bekanntlich differenzierbar, auch wenn es umständlich ist und lange dauert. Es wird die Formel

<math> \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} \cdot (x-x_{0})^k = P(x)=</math>
<math>\frac{f(x_{0})}{0!} \cdot (x-x_{0})^0+\frac{f'(x_{0})}{1!} \cdot (x-x_{0})^1+\frac{f''(x_{0})}{2!} \cdot (x-x_{0})^2+\frac{f'''(x_{0})}{3!} \cdot (x-x_{0})^3+\ldots </math>

verwendet. Danach wird dieses Polynom <math>\,P(x)</math> an Stelle der gegebenen Funktion <math>\,f(x)</math> integriert.

* '''Das Integral wird durch numerische Methoden angenähert:''' Man führt also keine analytische Integration durch, sondern nähert den Wert des Integrals durch Summen an. Hier gibt es einige Methoden, die je nach Aufwand zu genaueren oder weniger genaueren Ergebnissen führen. Die bekanntesten Verfahren sind:
''Rechtecksformel'': <math> \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \approx \sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i}) \cdot \Delta x </math> mit einer Schrittweite <math> \Delta x =\frac{b-a}{n} </math>, wobei <math>\, a</math> und <math>\, b</math> die untere und obere Grenze des Integrals darstellt. <math>\,n</math> gibt die Anzahl der Rechtecke an, in die die Fläche unterhalb der Funktion zerlegt wird. Möchte man das Intervall <math>\, [2;3]</math> in <math>\,4 </math> Rechtecke unterteilen, erhält man <math> \Delta x =\frac{3-2}{4}=\frac{1}{4}</math> und aus dem <math>\,x_{0}=2, x_{1}=\frac{5}{4}, x_{2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, x_{3}=\frac{7}{4}</math>.

''Trapezformel'': <math> \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{2n} \cdot (f(x_{0})+2 \cdot f(x_{1}) + 2 \cdot f(x_{2}) + \ldots + 2 \cdot f(x_{n-1})+f(x_{n})) </math> mit <math> \Delta x =\frac{b-a}{n} </math>, wobei <math>\,a</math> und <math>\,b</math> die untere und obere Grenze des Integrals darstellt. Je größer hier <math>\,n </math> ist, desto genauer wird das Ergebnis. Die einzelnen <math>\,x_{i} </math> werden wie oben berechnet. Das gewählte <math>\,n </math> wird dann einfach in die Formel eingesetzt.

''Simpson'sche Formel'': <math> \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{6n} \cdot (f(x_{0})+4 \cdot f(x_{1}) + 2 \cdot f(x_{2}) + 4 \cdot f(x_{3}) + 2 \cdot f(x_{4})\ldots + 4 \cdot f(x_{2n-1})+f(x_{2n})) </math> mit <math> \Delta x =\frac{b-a}{2n} </math>, wobei <math>\,a</math> und <math>\,b</math> die untere und obere Grenze des Integrals darstellt. Für <math>\,n </math> und die <math>\,x_{i} </math> gilt obiges.

----
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Gegeben ist die Funktion <math> f(x)=x \cdot \ln x </math>. Es gilt <math>\int_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0,636294261</math> FE.

Bearbeitet folgende Arbeitspunkte. Jeder Schüler sucht sich zwei Punkte aus:

* Überprüfe das Ergebnis obiger Integration durch analytisches Nachrechnen.
* Nähere das Integral mit der Rechtecksformel an (<math>\,n</math> = <math>\,3</math>, <math>\,4</math> und <math>\,5</math>)! Welche Auswirkung hat die Erhöhung der Rechteckanzahl auf die Genauigkeit des Ergebnisses?
* Nähere das Integral mit der Trapezformel an (<math>\,n = 3</math>)!
* Nähere das Integral mit der Simpson'schen Formel an (<math>\,n=3</math> ) an!
* Entwickle für die Funktion ein Taylorpolynom dritten Grades an der Stelle <math>\,x_{0}=1</math>!
* Zeichne das Taylorpolynom und die gegebene Funktion in ein Koordinatensystem ein. In welchem Intervall nähert das Polynom die Funktion genügend genau an? Was bedeutet genügend genau?
}}
=== '''Aufgaben im pdf-Format''' ===
----

Die Angaben zu den Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/7/7a/Integrationsmethoden_mv.pdf Integrationsmethoden_mv.pdf] (41 kb).

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=== '''Lösungen im pdf-Format''' ===
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Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/1/1f/Integrationsmethoden_loes_mv.pdf Lösungen zu Integrationsmethoden_mv.pdf] (117 kb).

== Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

Das Verhalten einer Population von Lebewesen lässt sich mit Hilfe der '''logistischen Gleichung''' leicht visualisieren. Diese Gleichung lässt sich etweder analytisch oder mittels Differenzengleichung lösen.
Die '''logistischen Gleichung''' beschreibt ein Wachstum mit einer Grenzpopulation, das bedeutet, dass sich die Population nicht auf alle Zeiten exponentiell vermehrt, sondern sich einer Maximalpopulation annähert. Neben der Geburtenrate <math>\,g</math> fließt die natürliche Sterberate <math>\,s</math> (Alter, Krankheit und Ähnliches) und die Sterberate auf Grund von Überbevülkerung <math>\,su</math> (fehlender Lebensraum, Nahrungsmittelknappheit, etc.) in die Gleichung mit ein.
Die Änderung der Populationszahl <math>\,N(t)</math> in der Zeit lässt sich nun wie folgt berechnen:

<math>\dot N(t) = \frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}=(1+g-s)\cdot N(t) - su \cdot N(t)^2 </math>

Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet:

<math> N(t)=\frac{K \cdot N_{0}}{N_{0}+K \cdot N_{0} \cdot e^{-v \cdot t}} </math>, wobei <math>\,N_{0}</math> die Anfangspopulation ist und <math> K = \frac{g-s}{su} </math> sowie <math> \,v = g-s </math> gilt.

Die entsprechende Differenzengleichung lautet

<math> N_{t+1}=(1+g-s) \cdot N_{t}-su \cdot N_{t}^2 </math>.

Die analytische Lösung, sowie die Lösung der Differenzengleichung sind in dem

[http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/c/cb/Ein_lebewesen_verhulst_analyt.xls Excel-Arbeitsblatt zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst] (1,4Mb) programmiert und graphisch dargestellt. Es lassen sich die Anzahl der Individuen, sowie die Parameter <math>\,g</math>, <math>\,s</math> und <math>\,su</math> eingeben. Die Differenzengleichung wird für die ersten <math>\, 10000</math> Schritte gelöst und gemeinsam mit der analytischen Lösung in einem Graphen für die ersten <math>\, 100</math> Schritte dargestellt. Des Weiteren wird noch der Grenzwert der Population und der '''Chaosparamter''' <math>\,c=1+g-s</math> berechnet. Es können mit diesem Excel-Arbeitsblatt auch eigene Graphen erstellt und selbstständig Rechnungen durchgeführt werden.

Die Differenzengleichung liefert je nach Wert dieses Chaosparameters von einander stark abweichende Lösungen.
Folgendes Verhalten der '''logistischen Gleichung''' kann in Abhängigkeit des Parameters <math>\,c</math> beobachtet werden:

* <math> 0<c\leq 1</math> - Die Population stirbt aus, die Anzahl der Individuen nimmt exponentiell ab.
* <math> 1<c\leq 2</math> - Die Population wächst bis sie die Grenzpopulation erreicht.
* <math> 2<c\leq 3</math> - Die Pupulation wächst und die Anzahl der Individuen '''schwingt''' um die Grenzpopulation und nähert sich dieser wie eine gedämpfte Schwingung. Je näher der Parameter bei dem Wert <math>\, 3</math>, desto länger dauert dieser Schwingvorgang.
* <math> 3<c\leq 4</math> - Die Population pendelt zwischen mehreren Werten (im Intervall <math>\, [3 ; 3,45]</math> zwischen zwei Werten bei <math>\, 3,45</math> zwischen vier Werten usw.) und erreicht ab ungefähr <math>\, 3,57</math> chaotisches Verhalten. Das heißt, dass die Anzahl der Individuen nicht mehr vorhergesagt werden kann bzw. kleine Änderungen in den Parametern zu großen Änderungen in den Ergebnissen führen.

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
Führt selbst eine Parameterstudie durch und überprüft oben angegeben Intervalle des Chaosparameters auf ihre Richtigkeit. Welche weiteren überraschenden Ergebnisse liefert die '''logistischen Gleichung'''? Experimentiert mit dem Excel-Arbeitsblatt. Verwende dazu die Angabe aus dem pdf-file [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/8/82/Parameterstudie_mv.pdf Arbeitsblatt Parameterstudie zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst] (40kb). Fertigt ein Protokoll an, in dem eure Experimente dokumentiert sind! Fertigt so viele Graphen wie möglich an!

Unter [http://www.neuroinformatik.ruhr-uni-bochum.de/VDM/exercises/Logist/tex-ss/Logist/node2.html Die logistische Differentialgleichung] findet man noch weitere Übungsaufgaben und einen Graphenplotter, der online Graphen für unterschiedliche Parameterwerte zeichnet.
}}

Link:
* [http://wwwu.uni-klu.ac.at/gossimit/pap/logwachs.pdf Günther Ossimitz, Zwei Zugänge zum logistischen Wachstum, Univ. Klagenfurt] - Betrachtungen und Herleitung der logistischen Differentialgleichung.

=== Räuber-Beute-Modell ===

{{Arbeiten|NUMMER=2|
ARBEIT=

Als Erweiterung dieses Beispieles kann das Räuber-Beute-Modell gesehen werden. Ein Modell, das die Abhängigkeit der Population eines Beutetieres (Hase) und eines Raubtieres (Fuchs) voneinander untersucht. Hier gelten die '''Lotka-Volterra-Regeln''':

# Die Anzahl der Individuen (Populationsgröße) von Räuber und Beute schwanken periodisch. Diese beiden periodischen Vorgänge sind phasenverschoben, wobei die Räuberpopulaion der Beutepopulation nachläuft.
# Obwohl die Räuber- und Beutepopulation schwanken, ist der Mittelwert der Individuenanzahlen konstant.
# Sollten die Populationen durch ein besonderes Ereignis (Umweltkatastrophe, Krankheit) dezimiert werden, erholt sich die Beutepopulation stets schneller als die Raubtierpopulation

Im [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/9/95/Raeuber_beute_mit_zeitschritt_und_stoerung.xls Excel-Arbeitsblatt zum Räuber-Beute-Modell] (3,6Mb) werden wiederum die Population berechnet und die Ergebnisse graphisch visualisiert. Auch hier können alle Parameter variiert werden, um obige Gesetze zu verifizieren. Alle Bedienungshinweise sind in der Datei angegeben.
}}

== Ein bisschen Relativitätstheorie ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Franz Embacher|Franz Embacher]])

Die Funktion
<center><math>v\mapsto\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math></center>
spielt in der Speziellen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Die Variable <math>\,v</math>
steht für die Geschwindigkeit, mit der sich ein Körper (relativ zu einem Bezugssystem) bewegt, die Konstante <math>\,c</math> bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit.
Bearbeitet zunächst ''getrennt'' folgende Fragestellungen:
*a.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten <math>\,v</math>, deren Betrag sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind (<math>\,|v|\ll c</math>)? Erstelle eine Näherungsformel <math>\gamma(v)\approx\dots</math> (Reihenentwicklung bis zur Ordnung <math>\,v^2</math>)! Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?
*b.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten <math>\,v</math>, die in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit liegen (<math>v\approx c</math>, wobei aber <math>\,v<c</math> sein soll)? Erstelle eine Näherungsformel <math>\gamma(v)\approx\dots</math>! Hier ein Tipp: <center><math>1-\frac{v^2}{c^2}=\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)\approx 2\left(1-\frac{v}{c}\right)</math>.</center>Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?

Setzt euch danach wieder ''zusammen'', diskutiert eure Ergebnisse und führt sie zusammen:
*Wie sieht der Graph der gesamten Funktion aus? (Welche Definitionsmenge wird man sinnvollerweise für sie wählen?)
*Wie passt dieser Graph mit den Graphen der (von euren getrennt erhaltenen) Näherungsfunktionen zusammen? Stellt alle drei Graphen in ''einem'' Diagramm dar! Verwendet als Tool einen Punktionsplotter oder ein Programm, das einen solchen enthält! Überlegt euch, wie ihr die Einheiten auf den Achsen wählt, damit das Diagramm möglichst aussagekräftig wird!
*Illustriert anhand einiger Werte von <math>\,v</math> (z.B. die Geschwindigkeit eines Fußgängers, eines Flugzeugs, 90% der Lichtgeschwindigkeit, 99% der Lichtgeschwindigkeit...) wie gut eure Näherungsformeln sind!

Wenn das alles geklärt ist, könnt ihr ein bisschen Relativitätstheorie betreiben:
*Die (relativistische) Gesamtenergie eines Körpers der Masse <math>\,m</math>, der sich mit der Geschwindigkeit <math>\,v</math> bewegt, ist durch <math>\,E(v)=m c^2 \gamma(v)</math> gegeben. Wie verhält sich <math>\,E</math> für kleine Geschwindigkeiten? Erinnert euch das Ergebnis an etwas, das ihr in eurem Physikunterricht gelernt habt? Wie verhält sich <math>\,E</math> für große Geschwindigkeiten? (Damit könnt ihr argumentieren, dass kein Körper auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann!)
*Zwillingsparadoxon: Alice und Bob sich gleich alt. Alice unternimmt eine Reise durchs All mit Geschwindigkeit <math>\,v</math>, während Bob auf der Erde zurückbleibt. Als Alice zurückkehrt, stellen die beiden fest, dass Alice jünger geblieben ist. Ist für Bob die Zeit <math>\,\Delta T_{\rm Bob}</math> vergangen und für Alice die Zeit <math>\,\Delta T_{\rm Alice}</math>, so ist sagt die Relativitätstheorie die Beziehung <center><math>\frac{\Delta T_{\rm Bob}}{\Delta T_{\rm Alice}}=\gamma(v)</math></center> zwischen den beiden Zeiten voraus. Wie sieht die Formel für diesen Zusammenhang aus, wenn Alice ''fast'' mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs war? Wie sieht sie aus, wenn sich Alice sich - vergleichsweise - nur recht langsam bewegt hat? Formuliert Fausregeln, wie die Größe des Effekts für kleine und für große <math>\,v</math> abgeschätzt werden kann!

== Epidemie ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]])

Jährlich wird Europa von Grippewellen überrollt, die trotz der Möglichkeit der Grippeimpfung immer wieder zahlreiche Todesfälle fordern.
In der nachfolgenden Abbildung seht ihr den Tagesreport der Grippefälle einer Kleinstadt. Waagrecht sind die Tage ab Ausbruch der Grippewelle aufgetragen, senkrecht die Anzahl der an der Grippe erkrankten Personen an diesem Tag:

[[Bild:Grippewelle.jpg]]

Setzt euch zusammen und überlegt vorerst ganz allgemein (d.h. ohne jetzt schon Berechnungen anzustellen), wie sich die folgenden Fragen mathematisch behandeln und beantworten lassen:

* Welche Funktionen könnten geeignet sein, um den Epidemieverlauf zu modellieren?
* Welche Aussagekraft hat die 1.Ableitung dieser Modellfunktion?
* Wie lässt sich das Integral dieser Funktion aus volkswirtschaftlicher Sicht interpretieren?
* Zu welchem Zeitpunkt verbreitete sich die Krankheit am stärksten?
* Wann begann die Anzahl der Neuinfektionen rückläufig zu werden?

Geht jetzt auseinander und versucht jeder alleine eine Modellfunktion zu finden und die oben gestellten Fragen mithilfe dieser Funktion zu beantworten. Die Daten müsst ihr aus der Grafik ablesen.

Vergleicht anschließend eure Ergebnisse. Wahrscheinlich werdet ihr nicht zu denselben Ergebnissen gekommen sein, dennoch solltet ihr zu ähnlichen Schlüssen kommen.

Diskutiert abschließend die Frage, welche Informationen notwendig wären um mithilfe des Integrals die Frage beantworten zu können, ob eine kostenlose Grippeimpfung volkswirtschaftlich sinnvoll wäre.

== Elastizität ==

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]])

Der '''Begriff der Elastizität''' ist in der Ökonomie von entscheidender Bedeutung.

Die Elastizität einer Funktion f(x) an der Stelle x0 ist definiert durch: <math>\varepsilon (x_0):=f'(x_0) \cdot \frac{x_0}{f(x_0)} </math>

Eine '''Motivation für diesen Begriff''' und einige Erklärungen dazu findest du unter anderem auf folgenden Seiten:

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Elastizit%C3%A4t_(Wirtschaft) Wikipedia] (betrachte dabei nur den Fall mit einer Variablen!)

* [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node103.html Foliensatz von Josef Leydold (Wirtschaftsuniversität Wien)] (kannst du das Beispiel am Ende der Seite nachvollziehen?)

* [http://www.financial-economics.vwl.uni-mainz.de/downloads/vergangene%20Semester/Einf_VWLVGR%20WiSe%200506/VWLVGR05065.pdf Powerpoint-Präsentation der Johannes Gutenberg-Universität Mainz]

* Eine ausgezeichnete Erklärung dafür, warum Cola an Flughäfen so teuer ist, liefert die [http://www.faz.net/s/RubB8DFB31915A443D98590B0D538FC0BEC/Doc~E05AF144BD89D49D6B1CFAF9FC198F369~ATpl~Ecommon~Scontent.html Frankfurter Allgemeine Zeitung ] mithilfe der Elastizität .

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
Macht euch zuerst anhand der oben angeführten Links alleine mit dem Begriff der Elastizität ein wenig vertraut und setzt euch anschließend zusammen und versucht folgende Fragen zu beantworten:

# Angenommen die Funktion n(p) beschreibt die Nachfrage nach einem Produkt beim Verkaufspreis p (dh. welche Menge des Produkts lässt sich beim Preis p absetzen). Was sagt dann die Elastizität (genauer: die Preiselastizität der Nachfrage) bei einem bestimmten Preis p0 aus?
# Worin besteht der Unterschied zwischen n'(p0) und <math>\varepsilon (p_0) </math>?
# Was ist generell der Unterschied zwischen der Ableitung einer Funktion und der Elastizität der Funktion?
# In einem Land wurde die Preiselastizität für Butter auf -1 geschätzt, während die Preiselastizität für Kartoffel auf -0,2 geschätzt wurde (s. Buch, Seite xxx). Was könnte der Grund dafür sein, dass die Nachfrage nach Kartoffel unelastischer ist als jene nach Butter?
# Ein Wirtschaftsmathematiker hat bei einer Diskussion folgende Behauptung aufgestellt: "Meine Preiselastizität der Nachfrage nach meiner bevorzugten Whiskymarke ist null!" Was wollte er damit eigentlich sagen?
# In welchem Zahlenbereich sollte sich die Preiselastizität der Nachfrage normalerweise bewegen? Könnt ihr Gründe nennen, warum die Preiselastizität in Einzelfällen auch Werte außerhalb dieses Bereichs annehmen kann?
# Die Nachfrage nach Netbooks einer bestimmten Marke beträgt n(p)=60000-80p. Bestimme die Preiselastizität der Nachfrage für die Preise von 1 Euro, 100 Euro, 350 Euro, 700 Euro und 750 Euro. Was bedeuten diese Ergebnisse?
# Bisher haben wir nur über die Preiselastizität der Nachfrage gesprochen. Was versteht man vermutlich unter der Preiselastizität des Angebots und der Einkommenselastizitä der Nachfrage?
}}

== Rekursionsverfahren ==

[Einzelaufgaben] ([[Benutzer:Walter Wegscheider|Walter Wegscheider]] und [[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

siehe Lernpfad [[Diskret_-_kontinuierlich#Rekursive_Beschreibung_von_Ver.C3.A4nderungen|Diskret - kontinuierlich]]

Sek2Uni/Pool 1

2009-04-11T18:39:07Z

Peter Hofbauer: /* Epidemie */

Lernpfad zur Schnittstelle Sekundarstufe 2 - Universität

Aufgabenpool 1

[[Sek2Uni|Startseite des Lernpfads]] | [[Sek2Uni/Pool_2|Aufgabenpool 2]] | [[Sek2Uni/Didaktischer_Kommentar|Didaktischer Kommentar]]

== Differentialgleichung versus Differenzengleichung ==

[Einzelaufgaben] ([[Benutzer:Walter Wegscheider|Walter Wegscheider]] und [[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

siehe Lernpfad [[Diskret_-_kontinuierlich#Von_der_diskreten_zur_kontinuierlichen_Ver.C3.A4nderung|Diskret - kontinuierlich]]

== Integrationsverfahren vergleichen ==

[Aufgabe für 3er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

Die Berechnung von Integralen ist eine oft notwendige Operation, die in vielen Bereichen des wissenschaftlichen Lebens Anwendung findet. Gar nicht so selten kommt es vor, dass ein Integral gar nicht analytisch lösbar ist. Das bedeutet, es gibt kein Verfahren wie die ''partielle Integration'', die ''Substitutionsmethode'' oder die ''Partialbruchzerlegung'' (diese Lösungswege lernst Du in der Schule, es gibt aber noch viel mehr), um das Integral lösen zu können. Aus diesem Grund ist es notwendig alternative Integrationsmethoden zu finden. Hier werden zwei Möglichkeiten vorgestellt:

* '''Die gegebene Funktion wird vereinfacht:''' Sie wird durch ein beliebig genaues Taylorpolynom angenähert. Bei diesem Verfahren sind nur Kenntnisse über das Ableiten notwendig. Jede Funktion ist ja bekanntlich differenzierbar, auch wenn es umständlich ist und lange dauert. Es wird die Formel

<math> \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} \cdot (x-x_{0})^k = P(x)=</math>
<math>\frac{f(x_{0})}{0!} \cdot (x-x_{0})^0+\frac{f'(x_{0})}{1!} \cdot (x-x_{0})^1+\frac{f''(x_{0})}{2!} \cdot (x-x_{0})^2+\frac{f'''(x_{0})}{3!} \cdot (x-x_{0})^3+\ldots </math>

verwendet. Danach wird dieses Polynom <math>\,P(x)</math> an Stelle der gegebenen Funktion <math>\,f(x)</math> integriert.

* '''Das Integral wird durch numerische Methoden angenähert:''' Man führt also keine analytische Integration durch, sondern nähert den Wert des Integrals durch Summen an. Hier gibt es einige Methoden, die je nach Aufwand zu genaueren oder weniger genaueren Ergebnissen führen. Die bekanntesten Verfahren sind:
''Rechtecksformel'': <math> \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \approx \sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i}) \cdot \Delta x </math> mit einer Schrittweite <math> \Delta x =\frac{b-a}{n} </math>, wobei <math>\, a</math> und <math>\, b</math> die untere und obere Grenze des Integrals darstellt. <math>\,n</math> gibt die Anzahl der Rechtecke an, in die die Fläche unterhalb der Funktion zerlegt wird. Möchte man das Intervall <math>\, [2;3]</math> in <math>\,4 </math> Rechtecke unterteilen, erhält man <math> \Delta x =\frac{3-2}{4}=\frac{1}{4}</math> und aus dem <math>\,x_{0}=2, x_{1}=\frac{5}{4}, x_{2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, x_{3}=\frac{7}{4}</math>.

''Trapezformel'': <math> \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{2n} \cdot (f(x_{0})+2 \cdot f(x_{1}) + 2 \cdot f(x_{2}) + \ldots + 2 \cdot f(x_{n-1})+f(x_{n})) </math> mit <math> \Delta x =\frac{b-a}{n} </math>, wobei <math>\,a</math> und <math>\,b</math> die untere und obere Grenze des Integrals darstellt. Je größer hier <math>\,n </math> ist, desto genauer wird das Ergebnis. Die einzelnen <math>\,x_{i} </math> werden wie oben berechnet. Das gewählte <math>\,n </math> wird dann einfach in die Formel eingesetzt.

''Simpson'sche Formel'': <math> \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{6n} \cdot (f(x_{0})+4 \cdot f(x_{1}) + 2 \cdot f(x_{2}) + 4 \cdot f(x_{3}) + 2 \cdot f(x_{4})\ldots + 4 \cdot f(x_{2n-1})+f(x_{2n})) </math> mit <math> \Delta x =\frac{b-a}{2n} </math>, wobei <math>\,a</math> und <math>\,b</math> die untere und obere Grenze des Integrals darstellt. Für <math>\,n </math> und die <math>\,x_{i} </math> gilt obiges.

----
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Gegeben ist die Funktion <math> f(x)=x \cdot \ln x </math>. Es gilt <math>\int_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0,636294261</math> FE.

Bearbeitet folgende Arbeitspunkte. Jeder Schüler sucht sich zwei Punkte aus:

* Überprüfe das Ergebnis obiger Integration durch analytisches Nachrechnen.
* Nähere das Integral mit der Rechtecksformel an (<math>\,n</math> = <math>\,3</math>, <math>\,4</math> und <math>\,5</math>)! Welche Auswirkung hat die Erhöhung der Rechteckanzahl auf die Genauigkeit des Ergebnisses?
* Nähere das Integral mit der Trapezformel an (<math>\,n = 3</math>)!
* Nähere das Integral mit der Simpson'schen Formel an (<math>\,n=3</math> ) an!
* Entwickle für die Funktion ein Taylorpolynom dritten Grades an der Stelle <math>\,x_{0}=1</math>!
* Zeichne das Taylorpolynom und die gegebene Funktion in ein Koordinatensystem ein. In welchem Intervall nähert das Polynom die Funktion genügend genau an? Was bedeutet genügend genau?
}}
=== '''Aufgaben im pdf-Format''' ===
----

Die Angaben zu den Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/7/7a/Integrationsmethoden_mv.pdf Integrationsmethoden_mv.pdf] (41 kb).

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=== '''Lösungen im pdf-Format''' ===
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Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/1/1f/Integrationsmethoden_loes_mv.pdf Lösungen zu Integrationsmethoden_mv.pdf] (117 kb).

== Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

Das Verhalten einer Population von Lebewesen lässt sich mit Hilfe der '''logistischen Gleichung''' leicht visualisieren. Diese Gleichung lässt sich etweder analytisch oder mittels Differenzengleichung lösen.
Die '''logistischen Gleichung''' beschreibt ein Wachstum mit einer Grenzpopulation, das bedeutet, dass sich die Population nicht auf alle Zeiten exponentiell vermehrt, sondern sich einer Maximalpopulation annähert. Neben der Geburtenrate <math>\,g</math> fließt die natürliche Sterberate <math>\,s</math> (Alter, Krankheit und Ähnliches) und die Sterberate auf Grund von Überbevülkerung <math>\,su</math> (fehlender Lebensraum, Nahrungsmittelknappheit, etc.) in die Gleichung mit ein.
Die Änderung der Populationszahl <math>\,N(t)</math> in der Zeit lässt sich nun wie folgt berechnen:

<math>\dot N(t) = \frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}=(1+g-s)\cdot N(t) - su \cdot N(t)^2 </math>

Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet:

<math> N(t)=\frac{K \cdot N_{0}}{N_{0}+K \cdot N_{0} \cdot e^{-v \cdot t}} </math>, wobei <math>\,N_{0}</math> die Anfangspopulation ist und <math> K = \frac{g-s}{su} </math> sowie <math> \,v = g-s </math> gilt.

Die entsprechende Differenzengleichung lautet

<math> N_{t+1}=(1+g-s) \cdot N_{t}-su \cdot N_{t}^2 </math>.

Die analytische Lösung, sowie die Lösung der Differenzengleichung sind in dem

[http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/c/cb/Ein_lebewesen_verhulst_analyt.xls Excel-Arbeitsblatt zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst] (1,4Mb) programmiert und graphisch dargestellt. Es lassen sich die Anzahl der Individuen, sowie die Parameter <math>\,g</math>, <math>\,s</math> und <math>\,su</math> eingeben. Die Differenzengleichung wird für die ersten <math>\, 10000</math> Schritte gelöst und gemeinsam mit der analytischen Lösung in einem Graphen für die ersten <math>\, 100</math> Schritte dargestellt. Des Weiteren wird noch der Grenzwert der Population und der '''Chaosparamter''' <math>\,c=1+g-s</math> berechnet. Es können mit diesem Excel-Arbeitsblatt auch eigene Graphen erstellt und selbstständig Rechnungen durchgeführt werden.

Die Differenzengleichung liefert je nach Wert dieses Chaosparameters von einander stark abweichende Lösungen.
Folgendes Verhalten der '''logistischen Gleichung''' kann in Abhängigkeit des Parameters <math>\,c</math> beobachtet werden:

* <math> 0<c\leq 1</math> - Die Population stirbt aus, die Anzahl der Individuen nimmt exponentiell ab.
* <math> 1<c\leq 2</math> - Die Population wächst bis sie die Grenzpopulation erreicht.
* <math> 2<c\leq 3</math> - Die Pupulation wächst und die Anzahl der Individuen '''schwingt''' um die Grenzpopulation und nähert sich dieser wie eine gedämpfte Schwingung. Je näher der Parameter bei dem Wert <math>\, 3</math>, desto länger dauert dieser Schwingvorgang.
* <math> 3<c\leq 4</math> - Die Population pendelt zwischen mehreren Werten (im Intervall <math>\, [3 ; 3,45]</math> zwischen zwei Werten bei <math>\, 3,45</math> zwischen vier Werten usw.) und erreicht ab ungefähr <math>\, 3,57</math> chaotisches Verhalten. Das heißt, dass die Anzahl der Individuen nicht mehr vorhergesagt werden kann bzw. kleine Änderungen in den Parametern zu großen Änderungen in den Ergebnissen führen.

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
Führt selbst eine Parameterstudie durch und überprüft oben angegeben Intervalle des Chaosparameters auf ihre Richtigkeit. Welche weiteren überraschenden Ergebnisse liefert die '''logistischen Gleichung'''? Experimentiert mit dem Excel-Arbeitsblatt. Verwende dazu die Angabe aus dem pdf-file [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/8/82/Parameterstudie_mv.pdf Arbeitsblatt Parameterstudie zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst] (40kb). Fertigt ein Protokoll an, in dem eure Experimente dokumentiert sind! Fertigt so viele Graphen wie möglich an!

Unter [http://www.neuroinformatik.ruhr-uni-bochum.de/VDM/exercises/Logist/tex-ss/Logist/node2.html Die logistische Differentialgleichung] findet man noch weitere Übungsaufgaben und einen Graphenplotter, der online Graphen für unterschiedliche Parameterwerte zeichnet.
}}

Link:
* [http://wwwu.uni-klu.ac.at/gossimit/pap/logwachs.pdf Günther Ossimitz, Zwei Zugänge zum logistischen Wachstum, Univ. Klagenfurt] - Betrachtungen und Herleitung der logistischen Differentialgleichung.

=== Räuber-Beute-Modell ===

{{Arbeiten|NUMMER=2|
ARBEIT=

Als Erweiterung dieses Beispieles kann das Räuber-Beute-Modell gesehen werden. Ein Modell, das die Abhängigkeit der Population eines Beutetieres (Hase) und eines Raubtieres (Fuchs) voneinander untersucht. Hier gelten die '''Lotka-Volterra-Regeln''':

# Die Anzahl der Individuen (Populationsgröße) von Räuber und Beute schwanken periodisch. Diese beiden periodischen Vorgänge sind phasenverschoben, wobei die Räuberpopulaion der Beutepopulation nachläuft.
# Obwohl die Räuber- und Beutepopulation schwanken, ist der Mittelwert der Individuenanzahlen konstant.
# Sollten die Populationen durch ein besonderes Ereignis (Umweltkatastrophe, Krankheit) dezimiert werden, erholt sich die Beutepopulation stets schneller als die Raubtierpopulation

Im [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/9/95/Raeuber_beute_mit_zeitschritt_und_stoerung.xls Excel-Arbeitsblatt zum Räuber-Beute-Modell] (3,6Mb) werden wiederum die Population berechnet und die Ergebnisse graphisch visualisiert. Auch hier können alle Parameter variiert werden, um obige Gesetze zu verifizieren. Alle Bedienungshinweise sind in der Datei angegeben.
}}

== Ein bisschen Relativitätstheorie ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Franz Embacher|Franz Embacher]])

Die Funktion
<center><math>v\mapsto\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math></center>
spielt in der Speziellen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Die Variable <math>\,v</math>
steht für die Geschwindigkeit, mit der sich ein Körper (relativ zu einem Bezugssystem) bewegt, die Konstante <math>\,c</math> bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit.
Bearbeitet zunächst ''getrennt'' folgende Fragestellungen:
*a.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten <math>\,v</math>, deren Betrag sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind (<math>\,|v|\ll c</math>)? Erstelle eine Näherungsformel <math>\gamma(v)\approx\dots</math> (Reihenentwicklung bis zur Ordnung <math>\,v^2</math>)! Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?
*b.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten <math>\,v</math>, die in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit liegen (<math>v\approx c</math>, wobei aber <math>\,v<c</math> sein soll)? Erstelle eine Näherungsformel <math>\gamma(v)\approx\dots</math>! Hier ein Tipp: <center><math>1-\frac{v^2}{c^2}=\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)\approx 2\left(1-\frac{v}{c}\right)</math>.</center>Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?

Setzt euch danach wieder ''zusammen'', diskutiert eure Ergebnisse und führt sie zusammen:
*Wie sieht der Graph der gesamten Funktion aus? (Welche Definitionsmenge wird man sinnvollerweise für sie wählen?)
*Wie passt dieser Graph mit den Graphen der (von euren getrennt erhaltenen) Näherungsfunktionen zusammen? Stellt alle drei Graphen in ''einem'' Diagramm dar! Verwendet als Tool einen Punktionsplotter oder ein Programm, das einen solchen enthält! Überlegt euch, wie ihr die Einheiten auf den Achsen wählt, damit das Diagramm möglichst aussagekräftig wird!
*Illustriert anhand einiger Werte von <math>\,v</math> (z.B. die Geschwindigkeit eines Fußgängers, eines Flugzeugs, 90% der Lichtgeschwindigkeit, 99% der Lichtgeschwindigkeit...) wie gut eure Näherungsformeln sind!

Wenn das alles geklärt ist, könnt ihr ein bisschen Relativitätstheorie betreiben:
*Die (relativistische) Gesamtenergie eines Körpers der Masse <math>\,m</math>, der sich mit der Geschwindigkeit <math>\,v</math> bewegt, ist durch <math>\,E(v)=m c^2 \gamma(v)</math> gegeben. Wie verhält sich <math>\,E</math> für kleine Geschwindigkeiten? Erinnert euch das Ergebnis an etwas, das ihr in eurem Physikunterricht gelernt habt? Wie verhält sich <math>\,E</math> für große Geschwindigkeiten? (Damit könnt ihr argumentieren, dass kein Körper auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann!)
*Zwillingsparadoxon: Alice und Bob sich gleich alt. Alice unternimmt eine Reise durchs All mit Geschwindigkeit <math>\,v</math>, während Bob auf der Erde zurückbleibt. Als Alice zurückkehrt, stellen die beiden fest, dass Alice jünger geblieben ist. Ist für Bob die Zeit <math>\,\Delta T_{\rm Bob}</math> vergangen und für Alice die Zeit <math>\,\Delta T_{\rm Alice}</math>, so ist sagt die Relativitätstheorie die Beziehung <center><math>\frac{\Delta T_{\rm Bob}}{\Delta T_{\rm Alice}}=\gamma(v)</math></center> zwischen den beiden Zeiten voraus. Wie sieht die Formel für diesen Zusammenhang aus, wenn Alice ''fast'' mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs war? Wie sieht sie aus, wenn sich Alice sich - vergleichsweise - nur recht langsam bewegt hat? Formuliert Fausregeln, wie die Größe des Effekts für kleine und für große <math>\,v</math> abgeschätzt werden kann!

== Epidemie ==

[Aufgabe für 2er-Gruppe] ([[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]])

Jährlich wird Europa von Grippewellen überrollt, die trotz der Möglichkeit der Grippeimpfung immer wieder zahlreiche Todesfälle fordern.
In der nachfolgenden Abbildung seht ihr den Tagesreport der Grippefälle einer Kleinstadt. Waagrecht sind die Tage ab Ausbruch der Grippewelle aufgetragen, senkrecht die Anzahl der an der Grippe erkrankten Personen an diesem Tag:

[[Bild:Grippewelle.jpg]]

Setzt euch zusammen und überlegt vorerst ganz allgemein (d.h. ohne jetzt schon Berechnungen anzustellen), wie sich die folgenden Fragen mathematisch behandeln und beantworten lassen:

* Welche Funktionen könnten geeignet sein, um den Epidemieverlauf zu modellieren?
* Welche Aussagekraft hat die 1.Ableitung dieser Modellfunktion?
* Wie lässt sich das Integral dieser Funktion aus volkswirtschaftlicher Sicht interpretieren?
* Zu welchem Zeitpunkt verbreitete sich die Krankheit am stärksten?
* Wann begann die Anzahl der Neuinfektionen rückläufig zu werden?

Geht jetzt auseinander und versucht jeder alleine eine Modellfunktion zu finden und die oben gestellten Fragen mithilfe dieser Funktion zu beantworten. Die Daten müsst ihr aus der Grafik ablesen.

Vergleicht anschließend eure Ergebnisse. Wahrscheinlich werdet ihr nicht zu denselben Ergebnissen gekommen sein, dennoch solltet ihr zu ähnlichen Schlüssen kommen.

Diskutiert abschließend die Frage, welche Informationen notwendig wären um mithilfe des Integrals die Frage beantworten zu können, ob eine kostenlose Grippeimpfung volkswirtschaftlich sinnvoll wäre.

== Elastizität ==

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] (Peter Hofbauer)

Der '''Begriff der Elastizität''' ist in der Ökonomie von entscheidender Bedeutung.

Die Elastizität einer Funktion f(x) an der Stelle x0 ist definiert durch: <math>\varepsilon (x_0):=f'(x_0) \cdot \frac{x_0}{f(x_0)} </math>

Eine '''Motivation für diesen Begriff''' und einige Erklärungen dazu findest du unter anderem auf folgenden Seiten:

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Elastizit%C3%A4t_(Wirtschaft) Wikipedia] (betrachte dabei nur den Fall mit einer Variablen!)

* [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node103.html Foliensatz von Josef Leydold (Wirtschaftsuniversität Wien)] (kannst du das Beispiel am Ende der Seite nachvollziehen?)

* [http://www.financial-economics.vwl.uni-mainz.de/downloads/vergangene%20Semester/Einf_VWLVGR%20WiSe%200506/VWLVGR05065.pdf Powerpoint-Präsentation der Johannes Gutenberg-Universität Mainz]

* Eine ausgezeichnete Erklärung dafür, warum Cola an Flughäfen so teuer ist, liefert die [http://www.faz.net/s/RubB8DFB31915A443D98590B0D538FC0BEC/Doc~E05AF144BD89D49D6B1CFAF9FC198F369~ATpl~Ecommon~Scontent.html Frankfurter Allgemeine Zeitung ] mithilfe der Elastizität .

{{Arbeiten|NUMMER=1|
ARBEIT=
Macht euch zuerst anhand der oben angeführten Links alleine mit dem Begriff der Elastizität ein wenig vertraut und setzt euch anschließend zusammen und versucht folgende Fragen zu beantworten:

# Angenommen die Funktion n(p) beschreibt die Nachfrage nach einem Produkt beim Verkaufspreis p (dh. welche Menge des Produkts lässt sich beim Preis p absetzen). Was sagt dann die Elastizität (genauer: die Preiselastizität der Nachfrage) bei einem bestimmten Preis p0 aus?
# Worin besteht der Unterschied zwischen n'(p0) und <math>\varepsilon (p_0) </math>?
# Was ist generell der Unterschied zwischen der Ableitung einer Funktion und der Elastizität der Funktion?
# In einem Land wurde die Preiselastizität für Butter auf -1 geschätzt, während die Preiselastizität für Kartoffel auf -0,2 geschätzt wurde (s. Buch, Seite xxx). Was könnte der Grund dafür sein, dass die Nachfrage nach Kartoffel unelastischer ist als jene nach Butter?
# Ein Wirtschaftsmathematiker hat bei einer Diskussion folgende Behauptung aufgestellt: "Meine Preiselastizität der Nachfrage nach meiner bevorzugten Whiskymarke ist null!" Was wollte er damit eigentlich sagen?
# In welchem Zahlenbereich sollte sich die Preiselastizität der Nachfrage normalerweise bewegen? Könnt ihr Gründe nennen, warum die Preiselastizität in Einzelfällen auch Werte außerhalb dieses Bereichs annehmen kann?
# Die Nachfrage nach Netbooks einer bestimmten Marke beträgt n(p)=60000-80p. Bestimme die Preiselastizität der Nachfrage für die Preise von 1 Euro, 100 Euro, 350 Euro, 700 Euro und 750 Euro. Was bedeuten diese Ergebnisse?
# Bisher haben wir nur über die Preiselastizität der Nachfrage gesprochen. Was versteht man vermutlich unter der Preiselastizität des Angebots und der Einkommenselastizitä der Nachfrage?
}}

== Rekursionsverfahren ==

[Einzelaufgaben] ([[Benutzer:Walter Wegscheider|Walter Wegscheider]] und [[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])

siehe Lernpfad [[Diskret_-_kontinuierlich#Rekursive_Beschreibung_von_Ver.C3.A4nderungen|Diskret - kontinuierlich]]

Sek2Uni

2009-04-11T18:35:55Z

Peter Hofbauer:

Lernpfad zur Schnittstelle Sekundarstufe 2 - Universität

[[Benutzer:Franz Embacher|Franz Embacher]], [[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]], [[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]], [[Benutzer: Jochen Maierhofer| Jochen Maierhofer]] und [[Benutzer:Walter Wegscheider|Walter Wegscheider]]

<blockquote>
*[[Sek2Uni/Pool_1|Aufgabenpool 1]] Aufgaben für kleine Gruppen mit Arbeitsteilung und anschließender Zusammenführung der Ergebnisse  
*[[Sek2Uni/Pool_2|Aufgabenpool 2]] Aufgaben für kleine Gruppen zur gemeinsamen Erstellung kurzer mathematischer Texte und Visualisierungen  
*[[Sek2Uni/Didaktischer_Kommentar|Didaktischer Kommentar]]
</blockquote>

Dieser Lernpfad wurde entwickelt im Rahmen des internationalen Medienvielfaltprojekts im November 2009.

Wie lange dauern Projekte? - Die Dreiecksverteilung

2009-04-11T18:34:24Z

Peter Hofbauer:

'''[[Benutzer:Peter Hofbauer|Peter Hofbauer]], Heidi Metzger-Schuhäker, Gabi Bleier'''

{{Kasten1000|

BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
INHALT1=
Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema ''kontinuierliche Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen''. Die Einführung soll in einem Beispiel erfolgen, bei dem versucht wird, die Dauer von Projekten vorherzusagen.|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
* Integrale als Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen verstehen
* mit diskreten Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen arbeiten
* Schieberegler zur Parametervariation verwenden
* Funktionseigenschaften grafisch interpretieren
* grafische Darstellungen durch Terme formulieren |
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
* Reale Problemstellungen mithilfe mathematischer Modelle beschreiben und diese exaktifizieren
* Skizzen und mathematische Vorgaben kombinieren und zu einem mathematischen Modell verbinden
* die Integralrechnung im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen
* Fragestellungen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeit mathematisch formulieren
* Möglichkeiten und Grenzen der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen erkennen|
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|DidaktischerKommentar.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

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= Projekte dauern ... wie lange???=

Projekte lassen sich zeitlich oft nicht genau planen: Neue Aufgaben benötigen zur Lösung Zeit - wie viel, das ist zu Projektbeginn oft unklar.
Im besten Fall ist die Aufgabenstellung bereits aus früheren Projekten bekannt und somit bereits gelöst.
Im schlechtesten Fall erweist sich die Aufgabe als so komplex, dass das Projekt irgendwann abgebrochen und die Suche nach einer Lösung der Aufgabe eingestellt wird.
Doch normalerweise lassen sich Projekte innerhalb einer angemessenen Zeit abschließen. Idealerweise hat man aus früheren Projekten schon Erfahrungswerte bezüglich der Projektdauer gesammelt und kann diese somit abschätzen.

== Die Ausgangssituation==
Ein Konzern stellt uns eine Aufgabe, die in einem Projektteam gelöst werden soll. Für die Lösung hat das Team maximal 14 Tage Zeit. Der Projektleiter war bereits früher mit ähnlichen Projekten betraut und schätzt die voraussichtliche Projektdauer auf 10 Tage.

== Die Frage==
Lässt sich mithilfe der bekannten Zeitangaben eine Methode entwicklen, die es uns ermöglicht, die tatsächliche Projektdauer vorherzusagen?
Oder mathematisch formuliert: Können wir die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Projekt eine bestimmte Zeit dauern wird?

== Das Modell==
Da der Projektleiter mit einer voraussichtlichen Projektdauer von 10 Tagen rechnet, soll die Wahrscheinlichkeit für die Dauer von 10 Tagen am größten sein. Über die Zeitspanne von 0 bis 10 Tagen bzw. von 10 bis 14 Tagen ist es am einfachsten, eine lineare Zu- bzw. Abnahme der Wahrscheinlichkeit zu modellieren.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Vergleiche das Modell mit den Modellen der diskreten Wahrscheinlichkeitsvereilungen! Welcher grundlegende Unterschied fällt dir auf?
}}

''' Lösung'''
{{versteckt|Im Gegensatz zu den diskreten Verteilungen, kann die Zufallsvariable (in unserem Beispiel die Projektdauer) - zumindest theoretisch - jeden beliebigen Wert annehmen. So kann das Projekt z. B nicht nur 8 oder 9 Tage dauern, sondern auch 8,3 Tage.}}

{{Merksatz|MERK= Eine Zufallsvariable, die (in einem Intervall) jeden beliebigen Wert annehmen kann, nennt man '''kontinuierliche Zufallsvariable'''.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT= Finde selbst Beispiele für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariable!
}}

'''weiter im Modell'''
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie sieht die grafische Umsetzung des Wahrscheinlichkeitsmodells aus? Skizziere den Verlauf der Wahrscheinlichkeitsfunktion!
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckSkizze.ggb" />
}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen nennt man '''Dichtefunktion'''.}}

Vielleicht sind beim Zeichnen der Skizze schon ein paar Fragen aufge-
taucht, die man noch genauer klären muss:
- Wie sieht die Wahrscheinlichkeit für eine Projektdauer vor
dem 0. Tag bzw. nach dem 14. Tag aus?
und
- Wie laesst sich diese interpretieren?

'''Antwort:'''
{{versteckt|Da das Projekt ja kaum beendet sein kann, bevor es begonnen hat, muss die Wahrscheinlichkeit für ein Projektende vor dem 0. Tag natürlich 0 sein.
Ähnliches gilt für ein Projektende nach dem 14. Tag. Da man weiss, dass das Team maximal 14 Tage Zeit hat, ist ein Ende des Projekts zu einem späteren Zeitpunkt ebenfalls unmöglich - daher ist auch hierfür die Wahrscheinlichkeit 0.}}

Die Dichtefunktion soll bei X=10 ihr Maximum haben.
Welchen Funktionswert nimmt sie an dieser Stelle an?
Ist er beliebig oder gibt es einen einzig möglichen Wert für die
konkrete Aufgabenstellung?

Dazu müssen wir uns erst einmal überlegen, wie man aus einer Dichtefunktion Wahrscheinlichkeiten ablesen kann. 
Im diskreten Fall war es einfach, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in einem bestimmten Intervall zu bestimmen: Addiert man die Einzelwahrscheinlichkeiten aller Ereignisse im gegebenen Intervall, so erhält man die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit. 
Aber wie geht man im kontinuierlichen Fall vor?
Im kontinuierlichen Fall gibt es in jedem Intervall unendlich viele Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann. Das Aufsummieren wie im diskreten Fall schlägt damit also fehl. Du hast allerdings die mathematische Idee des Übergangs von diskret zu kontinuierlich bereits kennen gelernt.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=In welchem Zusammenhang hast du schon einmal den Schritt von Summen im diskreten Fall zu "Summen" bei kontinuierlichen Prozessen durchgeführt?
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|Flächenberechnung bei (stetigen) Funktionen: Aus Summen von Rechtecksflächen wurde das Integral.}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem gegebenen Intervall läuft auf die Berechnung der Fläche der Dichtefunktion innerhalb dieses Intervalls hinaus.}}

Als Wiederholung zum Thema Integralrechnung siehe gegebenenfalls die Seiten von [http://mathe-online.at/ressourcen/?s=int mathe-online]

== Wir präzisieren die Fragestellung==
Um einmal eine konkrete Aufgabenstellung lösen zu können, stellen wir uns die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Projekt 7 bis 9 Tage dauert.

Um die Frage beantworten zu können, müssen wir - ausgehend von der zuvor bereits erstellten Skizze - die Dichtefunktion auch mathematisch beschreiben können.
Vieles wissen wir bereits über diese Funktion, ein Detail fehlt uns aber noch: der Funktionswert für den 10. Tag, an dem das Projekt mit größter Wahrscheinlichkeit beendet wird.
In diesem Zusammenhang solltest du folgende Frage beantworten:
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie groß muss die Gesamtfläche unterhalb der Dichtefunktion (d. h. in diesem Fall die Fläche des Dreiecks) sein?
}}
'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Fläche unterhalb der Dichtefunktion muss 1 sein (irgendein eines aller möglichen Ereignis muss ja eintreten!)
Das bedeutet nun, dass die Höhe des Dreiecks so gewählt werden müssen, dass die Dreiecksfläche genau den Wert 1 ergibt.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Mithilfe der Formel *Dreiecksfläche = halbe Seitenlänge mal zugehöriger Höhe* kannst du selbst das Ergebnis berechnen.
}}

Überprüfe dein Ergebnis anhand der folgenden Simulation! 

{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckHoehe.ggb" />
}}

== Geschafft ==
Somit haben wir UNSER Projekt bereits gelöst.
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Das Berechnen der Fläche unter der Dichtefunktion im Intervall [7;9] sollte dir keine Schwierigkeiten bereiten. 
''Wenn doch, dann überlege am besten zuerst, welche geometrische Form die gesuchte Fläche besitzt.''}}

[[Bild:Flaeche.jpg|thumb|center|250px|gesuchte Fläche]] 

'''Lösung:'''
{{versteckt|1=z. B. lässt sich mittels Strahlensatz die Länge der beiden parallelen Seiten a und c des Trapezes bestimmen: <math>{10 : h = 9 : a} \Rightarrow {a = 0,129} \mbox{ und } {10 : h = 7 : c} \Rightarrow c = 0,100 \mbox{ und somit } W(7 \le X \le 9)=0,229 = 22,9%</math>
oder mittels einer linearen Funktion für den Bereich von 0 bis 10: <math>f(x)=0,0143 \cdot x</math> (warum?) und jetzt mittels <math>\int\limits_{7}^{9} f(x)\, \mathrm{d}x = \left. {0,0143 \over 2} \cdot x^2 \right \vert ^9_7 = 0,229 = 22,9%</math>}}

=== Die Antwort ===
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Projekt nach 7 bis 9 Tagen beendet ist, liegt nach unserem Modell bei ca. 23%.

= Dreiecksverteilung=
Allgemein nennt man eine Verteilung, welche durch das von uns gewählte Modell entsteht, eine ''Dreiecksverteilung'' (warum wohl)?

Die Verallgemeinerung unseres Verteilungsmodells setzt den Startpunkt nicht an die Stelle 0, sondern ganz allgemein an eine Stelle a (= optimistischster Wert, minimaler Wert), den Endpunkt an die Stelle b (= pessimistischster Wert, maximaler Wert) und den Fußpunkt des Dreiecks an eine beliebige Stelle c im Intervall [a ; b] (= vermutlicher Wert, wahrscheinlichster Wert).
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Versuche selbst, die Dichtefunktion der Dreiecksverteilung zu definieren!

''Ein Tipp:'' Modelliere zuerst die Funktion im Bereich [a ; c] und dann im Bereich [c ; b] und fasse diese beiden Ergebnisse zu einer stückweise definierten Funktion zusammen! Die Lösung führt über die Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle c (= der Höhe des Dreiecks). Die nachfolgende Grafik soll dir bei deinen Überlegungen behilflich sein.
 
[[Bild:BildDreieck.png|thumb|center|250px|Dichtefunktion einer Dreiecksverteilung]]

}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|1= <math>A={{{(b-a)} \cdot h} \over 2} = 1 \Rightarrow h={2 \over {b-a}} \mbox{ und } {f(x)=\begin{cases} {h \over {c-a}} \cdot {(x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {h \over {c-b}} \cdot {(x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}}</math>
 bzw. wenn man das Ergebnis für h einsetzt: 
<math>f(x)=\begin{cases} {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}</math>}}
 

Um ganz exakt zu sein sollte man die Dichtefunktion auch noch für die Intervalle [-inf ; a] und [b ; inf] definieren. In diesen Bereichen ist die Funktion immer 0 und somit erhält man letztendlich für die Dreiecksverteilung die Dichtefunktion:
 

{{versteckt|<math>f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{ } \forall x \in (\infty,a] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \\ 0 & \mbox{ } \forall x \in [b,\infty) \end{cases}</math> }}
 

= Zum Schluss=

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Was lässt sich über die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert aussagen (bei der Dreiecksverteilung aber auch ganz allgemein bei kontinuierlichen Verteilungen)?
}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert (in unserem Beispiel für das Projektende zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt) führt auf die Berechnung des Integrals an einer einzigen Stelle. Da das Integral für einen bestimmten Wert aber immer gleich 0 ist, macht also die Frage nach ganz bestimmten Ausgängen bei kontinuierlichen Verteilungen keinen Sinn. Nur die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für bestimmte Intervalle der Zufallsvariablen lassen sich beantworten.}}
 

= Versuche es selbst=
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir bei der Bearbeitung des untenstehenden Arbeitsblattes helfen.
Versuche die Aufgaben selbstständig zu lösen und nimm das Applet als Unterstützung zuhilfe.

<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckVerteilung.ggb" />

 

{{pdf|Aufgaben_zur_Dreiecksverteilung.pdf|Anwendungsaufgaben}}
 

== im WWW==
INTERNETADRESSEN EINFÜGEN

Benutzer:Peter Hofbauer

2009-04-11T18:31:07Z

Peter Hofbauer: Die Seite wurde neu angelegt: ===Peter Hofbauer=== frame *Lehrer an der [http://www.hakhorn.ac.at Bundeshandelsakademie und Bundeshandelsschule Horn] für Mathematik, Physik, ...

===Peter Hofbauer===
[[Bild:Hofbauer.jpg|frame]]

*Lehrer an der [http://www.hakhorn.ac.at Bundeshandelsakademie und Bundeshandelsschule Horn] für Mathematik, Physik, Wirtschaftsinformatik, Netzwerktechnik und Telekommunikation; Netzwerkbetreuer
*Lektor für Wirtschaftsmathematik und Wirtschaftsstatistik an der [http://www.fh-vie.ac.at Fachhochschule des bfi Wien] (Studiengang Europäische Wirtschaft und Unternehmensführung)
*Mitarbeiter der Arbeitsgruppe [http://www.promath.tsn.at „ProMath“] des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Kultur
*Mitautor der Schulbuchreihe [http://www.verlaghpt.at/verlagsprogramm/schulbuecher/kaufmaennische-lehranstalten/mathematik/mathe-mit-gewinn/ „Mathe mit Gewinn“]
*diverse Vortragstätigkeiten in der Lehreraus- und -fortbildung sowie im Bereich der Erwachsenenbildung
 
Kontakt: [mailto:peter.hofbauer@schule.at peter.hofbauer@schule.at]

Datei:Hofbauer.jpg

2009-04-11T18:26:43Z

Peter Hofbauer: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Datei:DidaktischerKommentar.pdf

2009-03-28T21:14:57Z

Peter Hofbauer: hat eine neue Version von „Bild:DidaktischerKommentar.pdf“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Wie lange dauern Projekte? - Die Dreiecksverteilung

2009-03-28T21:05:13Z

Peter Hofbauer:

{{Kasten1000|

BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
INHALT1=
Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema ''kontinuierliche Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen''. Die Einführung soll in einem Beispiel erfolgen, bei dem versucht wird, die Dauer von Projekten vorherzusagen.|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
* Integrale als Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen verstehen
* mit diskreten Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen arbeiten
* Schieberegler zur Parametervariation verwenden
* Funktionseigenschaften grafisch interpretieren
* grafische Darstellungen durch Terme formulieren |
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
* Reale Problemstellungen mithilfe mathematischer Modelle beschreiben und diese exaktifizieren
* Skizzen und mathematische Vorgaben kombinieren und zu einem mathematischen Modell verbinden
* die Integralrechnung im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen
* Fragestellungen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeit mathematisch formulieren
* Möglichkeiten und Grenzen der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen erkennen|
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|DidaktischerKommentar.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

----
= Projekte dauern ... wie lange???=

Projekte lassen sich zeitlich oft nicht genau planen: Neue Aufgaben benötigen zur Lösung Zeit - wie viel, das ist zu Projektbeginn oft unklar.
Im besten Fall ist die Aufgabenstellung bereits aus früheren Projekten bekannt und somit bereits gelöst.
Im schlechtesten Fall erweist sich die Aufgabe als so komplex, dass das Projekt irgendwann abgebrochen und die Suche nach einer Lösung der Aufgabe eingestellt wird.
Doch normalerweise lassen sich Projekte innerhalb einer angemessenen Zeit abschließen. Idealerweise hat man aus früheren Projekten schon Erfahrungswerte bezüglich der Projektdauer gesammelt und kann diese somit abschätzen.

== Die Ausgangssituation==
Ein Konzern stellt uns eine Aufgabe, die in einem Projektteam gelöst werden soll. Für die Lösung hat das Team maximal 14 Tage Zeit. Der Projektleiter war bereits früher mit ähnlichen Projekten betraut und schätzt die voraussichtliche Projektdauer auf 10 Tage.

== Die Frage==
Lässt sich mithilfe der bekannten Zeitangaben eine Methode entwicklen, die es uns ermöglicht, die tatsächliche Projektdauer vorherzusagen?
Oder mathematisch formuliert: Können wir die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Projekt eine bestimmte Zeit dauern wird?

== Das Modell==
Da der Projektleiter mit einer voraussichtlichen Projektdauer von 10 Tagen rechnet, soll die Wahrscheinlichkeit für die Dauer von 10 Tagen am größten sein. Über die Zeitspanne von 0 bis 10 Tagen bzw. von 10 bis 14 Tagen ist es am einfachsten, eine lineare Zu- bzw. Abnahme der Wahrscheinlichkeit zu modellieren.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Vergleiche das Modell mit den Modellen der diskreten Wahrscheinlichkeitsvereilungen! Welcher grundlegende Unterschied fällt dir auf?
}}

''' Lösung'''
{{versteckt|Im Gegensatz zu den diskreten Verteilungen, kann die Zufallsvariable (in unserem Beispiel die Projektdauer) - zumindest theoretisch - jeden beliebigen Wert annehmen. So kann das Projekt z. B nicht nur 8 oder 9 Tage dauern, sondern auch 8,3 Tage.}}

{{Merksatz|MERK= Eine Zufallsvariable, die (in einem Intervall) jeden beliebigen Wert annehmen kann, nennt man '''kontinuierliche Zufallsvariable'''.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT= Finde selbst Beispiele für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariable!
}}

'''weiter im Modell'''
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie sieht die grafische Umsetzung des Wahrscheinlichkeitsmodells aus? Skizziere den Verlauf der Wahrscheinlichkeitsfunktion!
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckSkizze.ggb" />
}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen nennt man '''Dichtefunktion'''.}}

Vielleicht sind beim Zeichnen der Skizze schon ein paar Fragen aufge-
taucht, die man noch genauer klären muss:
- Wie sieht die Wahrscheinlichkeit für eine Projektdauer vor
dem 0. Tag bzw. nach dem 14. Tag aus?
und
- Wie laesst sich diese interpretieren?

'''Antwort:'''
{{versteckt|Da das Projekt ja kaum beendet sein kann, bevor es begonnen hat, muss die Wahrscheinlichkeit für ein Projektende vor dem 0. Tag natürlich 0 sein.
Ähnliches gilt für ein Projektende nach dem 14. Tag. Da man weiss, dass das Team maximal 14 Tage Zeit hat, ist ein Ende des Projekts zu einem späteren Zeitpunkt ebenfalls unmöglich - daher ist auch hierfür die Wahrscheinlichkeit 0.}}

Die Dichtefunktion soll bei X=10 ihr Maximum haben.
Welchen Funktionswert nimmt sie an dieser Stelle an?
Ist er beliebig oder gibt es einen einzig möglichen Wert für die
konkrete Aufgabenstellung?

Dazu müssen wir uns erst einmal überlegen, wie man aus einer Dichtefunktion Wahrscheinlichkeiten ablesen kann. 
Im diskreten Fall war es einfach, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in einem bestimmten Intervall zu bestimmen: Addiert man die Einzelwahrscheinlichkeiten aller Ereignisse im gegebenen Intervall, so erhält man die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit. 
Aber wie geht man im kontinuierlichen Fall vor?
Im kontinuierlichen Fall gibt es in jedem Intervall unendlich viele Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann. Das Aufsummieren wie im diskreten Fall schlägt damit also fehl. Du hast allerdings die mathematische Idee des Übergangs von diskret zu kontinuierlich bereits kennen gelernt.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=In welchem Zusammenhang hast du schon einmal den Schritt von Summen im diskreten Fall zu "Summen" bei kontinuierlichen Prozessen durchgeführt?
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|Flächenberechnung bei (stetigen) Funktionen: Aus Summen von Rechtecksflächen wurde das Integral.}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem gegebenen Intervall läuft auf die Berechnung der Fläche der Dichtefunktion innerhalb dieses Intervalls hinaus.}}

Als Wiederholung zum Thema Integralrechnung siehe gegebenenfalls die Seiten von [http://mathe-online.at/ressourcen/?s=int mathe-online]

== Wir präzisieren die Fragestellung==
Um einmal eine konkrete Aufgabenstellung lösen zu können, stellen wir uns die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Projekt 7 bis 9 Tage dauert.

Um die Frage beantworten zu können, müssen wir - ausgehend von der zuvor bereits erstellten Skizze - die Dichtefunktion auch mathematisch beschreiben können.
Vieles wissen wir bereits über diese Funktion, ein Detail fehlt uns aber noch: der Funktionswert für den 10. Tag, an dem das Projekt mit größter Wahrscheinlichkeit beendet wird.
In diesem Zusammenhang solltest du folgende Frage beantworten:
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie groß muss die Gesamtfläche unterhalb der Dichtefunktion (d. h. in diesem Fall die Fläche des Dreiecks) sein?
}}
'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Fläche unterhalb der Dichtefunktion muss 1 sein (irgendein eines aller möglichen Ereignis muss ja eintreten!)
Das bedeutet nun, dass die Höhe des Dreiecks so gewählt werden müssen, dass die Dreiecksfläche genau den Wert 1 ergibt.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Mithilfe der Formel *Dreiecksfläche = halbe Seitenlänge mal zugehöriger Höhe* kannst du selbst das Ergebnis berechnen.
}}

Überprüfe dein Ergebnis anhand der folgenden Simulation! 

{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckHoehe.ggb" />
}}

== Geschafft ==
Somit haben wir UNSER Projekt bereits gelöst.
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Das Berechnen der Fläche unter der Dichtefunktion im Intervall [7;9] sollte dir keine Schwierigkeiten bereiten. 
''Wenn doch, dann überlege am besten zuerst, welche geometrische Form die gesuchte Fläche besitzt.''}}

[[Bild:Flaeche.jpg|thumb|center|250px|gesuchte Fläche]] 

'''Lösung:'''
{{versteckt|1=z. B. lässt sich mittels Strahlensatz die Länge der beiden parallelen Seiten a und c des Trapezes bestimmen: <math>{10 : h = 9 : a} \Rightarrow {a = 0,129} \mbox{ und } {10 : h = 7 : c} \Rightarrow c = 0,100 \mbox{ und somit } W(7 \le X \le 9)=0,229 = 22,9%</math>
oder mittels einer linearen Funktion für den Bereich von 0 bis 10: <math>f(x)=0,0143 \cdot x</math> (warum?) und jetzt mittels <math>\int\limits_{7}^{9} f(x)\, \mathrm{d}x = \left. {0,0143 \over 2} \cdot x^2 \right \vert ^9_7 = 0,229 = 22,9%</math>}}

=== Die Antwort ===
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Projekt nach 7 bis 9 Tagen beendet ist, liegt nach unserem Modell bei ca. 23%.

= Dreiecksverteilung=
Allgemein nennt man eine Verteilung, welche durch das von uns gewählte Modell entsteht, eine ''Dreiecksverteilung'' (warum wohl)?

Die Verallgemeinerung unseres Verteilungsmodells setzt den Startpunkt nicht an die Stelle 0, sondern ganz allgemein an eine Stelle a (= optimistischster Wert, minimaler Wert), den Endpunkt an die Stelle b (= pessimistischster Wert, maximaler Wert) und den Fußpunkt des Dreiecks an eine beliebige Stelle c im Intervall [a ; b] (= vermutlicher Wert, wahrscheinlichster Wert).
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Versuche selbst, die Dichtefunktion der Dreiecksverteilung zu definieren!

''Ein Tipp:'' Modelliere zuerst die Funktion im Bereich [a ; c] und dann im Bereich [c ; b] und fasse diese beiden Ergebnisse zu einer stückweise definierten Funktion zusammen! Die Lösung führt über die Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle c (= der Höhe des Dreiecks). Die nachfolgende Grafik soll dir bei deinen Überlegungen behilflich sein.
 
[[Bild:BildDreieck.png|thumb|center|250px|Dichtefunktion einer Dreiecksverteilung]]

}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|1= <math>A={{{(b-a)} \cdot h} \over 2} = 1 \Rightarrow h={2 \over {b-a}} \mbox{ und } {f(x)=\begin{cases} {h \over {c-a}} \cdot {(x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {h \over {c-b}} \cdot {(x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}}</math>
 bzw. wenn man das Ergebnis für h einsetzt: 
<math>f(x)=\begin{cases} {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}</math>}}
 

Um ganz exakt zu sein sollte man die Dichtefunktion auch noch für die Intervalle [-inf ; a] und [b ; inf] definieren. In diesen Bereichen ist die Funktion immer 0 und somit erhält man letztendlich für die Dreiecksverteilung die Dichtefunktion:
 

{{versteckt|<math>f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{ } \forall x \in (\infty,a] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \\ 0 & \mbox{ } \forall x \in [b,\infty) \end{cases}</math> }}
 

= Zum Schluss=

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Was lässt sich über die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert aussagen (bei der Dreiecksverteilung aber auch ganz allgemein bei kontinuierlichen Verteilungen)?
}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert (in unserem Beispiel für das Projektende zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt) führt auf die Berechnung des Integrals an einer einzigen Stelle. Da das Integral für einen bestimmten Wert aber immer gleich 0 ist, macht also die Frage nach ganz bestimmten Ausgängen bei kontinuierlichen Verteilungen keinen Sinn. Nur die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für bestimmte Intervalle der Zufallsvariablen lassen sich beantworten.}}
 

= Versuche es selbst=
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir bei der Bearbeitung des untenstehenden Arbeitsblattes helfen.
Versuche die Aufgaben selbstständig zu lösen und nimm das Applet als Unterstützung zuhilfe.

<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckVerteilung.ggb" />

 

{{pdf|Aufgaben_zur_Dreiecksverteilung.pdf|Anwendungsaufgaben}}
 

== im WWW==
INTERNETADRESSEN EINFÜGEN

Wie lange dauern Projekte? - Die Dreiecksverteilung

2009-03-28T20:58:20Z

Peter Hofbauer: /* Das Modell */

{{Kasten1000|

BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
INHALT1=
Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema ''kontinuierliche Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen''. Die Einführung soll in einem Beispiel erfolgen, bei dem versucht wird, die Dauer von Projekten vorherzusagen.|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
* Integrale als Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen verstehen
* mit diskreten Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen arbeiten
* Schieberegler zur Parametervariation verwenden
* Funktionseigenschaften grafisch interpretieren
* grafische Darstellungen durch Terme formulieren |
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
* Reale Problemstellungen mithilfe mathematischer Modelle beschreiben und diese exaktifizieren
* Skizzen und mathematische Vorgaben kombinieren und zu einem mathematischen Modell verbinden
* die Integralrechnung im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen
* Fragestellungen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeit mathematisch formulieren
* Möglichkeiten und Grenzen der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen erkennen|
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|DidaktischerKommentar.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

----
= Projekte dauern ... wie lange???=

Projekte lassen sich zeitlich oft nicht genau planen: Neue Aufgaben benötigen zur Lösung Zeit - wie viel, das ist zu Projektbeginn oft unklar.
Im besten Fall ist die Aufgabenstellung bereits aus früheren Projekten bekannt und somit bereits gelöst.
Im schlechtesten Fall erweist sich die Aufgabe als so komplex, dass das Projekt irgendwann abgebrochen und die Suche nach einer Lösung der Aufgabe eingestellt wird.
Doch normalerweise lassen sich Projekte innerhalb einer angemessenen Zeit abschließen. Idealerweise hat man aus früheren Projekten schon Erfahrungswerte bezüglich der Projektdauer gesammelt und kann diese somit abschätzen.

== Die Ausgangssituation==
Ein Konzern stellt uns eine Aufgabe, die in einem Projektteam gelöst werden soll. Für die Lösung hat das Team maximal 14 Tage Zeit. Der Projektleiter war bereits früher mit ähnlichen Projekten betraut und schätzt die voraussichtliche Projektdauer auf 10 Tage.

== Die Frage==
Lässt sich mithilfe der bekannten Zeitangaben eine Methode entwicklen, die es uns ermöglicht, die tatsächliche Projektdauer vorherzusagen?
Oder mathematisch formuliert: Können wir die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Projekt eine bestimmte Zeit dauern wird?

== Das Modell==
Da der Projektleiter mit einer voraussichtlichen Projektdauer von 10 Tagen rechnet, soll die Wahrscheinlichkeit für die Dauer von 10 Tagen am größten sein. Über die Zeitspanne von 0 bis 10 Tagen bzw. von 10 bis 14 Tagen ist es am einfachsten, eine lineare Zu- bzw. Abnahme der Wahrscheinlichkeit zu modellieren.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Vergleiche das Modell mit den Modellen der diskreten Wahrscheinlichkeitsvereilungen! Welcher grundlegende Unterschied fällt dir auf?
}}

''' Lösung'''
{{versteckt|Im Gegensatz zu den diskreten Verteilungen, kann die Zufallsvariable (in unserem Beispiel die Projektdauer) - zumindest theoretisch - jeden beliebigen Wert annehmen. So kann das Projekt z. B nicht nur 8 oder 9 Tage dauern, sondern auch 8,3 Tage.}}

{{Merksatz|MERK= Eine Zufallsvariable, die (in einem Intervall) jeden beliebigen Wert annehmen kann, nennt man '''kontinuierliche Zufallsvariable'''.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT= Finde selbst Beispiele für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariable!
}}

'''weiter im Modell'''
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie sieht die grafische Umsetzung des Wahrscheinlichkeitsmodells aus? Skizziere den Verlauf der Wahrscheinlichkeitsfunktion!
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckSkizze.ggb" />
}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen nennt man '''Dichtefunktion'''.}}

Vielleicht sind beim Zeichnen der Skizze schon ein paar Fragen aufge-
taucht, die man noch genauer klären muss:
- Wie sieht die Wahrscheinlichkeit für eine Projektdauer vor
dem 0. Tag bzw. nach dem 14. Tag aus?
und
- Wie laesst sich diese interpretieren?

'''Antwort:'''
{{versteckt|Da das Projekt ja kaum beendet sein kann, bevor es begonnen hat, muss die Wahrscheinlichkeit für ein Projektende vor dem 0. Tag natürlich 0 sein.
Ähnliches gilt für ein Projektende nach dem 14. Tag. Da man weiss, dass das Team maximal 14 Tage Zeit hat, ist ein Ende des Projekts zu einem späteren Zeitpunkt ebenfalls unmöglich - daher ist auch hierfür die Wahrscheinlichkeit 0.}}

Die Dichtefunktion soll bei X=10 ihr Maximum haben.
Welchen Funktionswert nimmt sie an dieser Stelle an?
Ist er beliebig oder gibt es einen einzig möglichen Wert für die
konkrete Aufgabenstellung?

Dazu müssen wir uns erst einmal überlegen, wie man aus einer Dichtefunktion Wahrscheinlichkeiten ablesen kann. 
Im diskreten Fall war es einfach, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in einem bestimmten Intervall zu bestimmen: Addiert man die Einzelwahrscheinlichkeiten aller Ereignisse im gegebenen Intervall, so erhält man die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit. 
Aber wie geht man im kontinuierlichen Fall vor?
Im kontinuierlichen Fall gibt es in jedem Intervall unendlich viele Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann. Das Aufsummieren wie im diskreten Fall schlägt damit also fehl. Du hast allerdings die mathematische Idee des Übergangs von diskret zu kontinuierlich bereits kennen gelernt.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=In welchem Zusammenhang hast du schon einmal den Schritt von Summen im diskreten Fall zu "Summen" bei kontinuierlichen Prozessen durchgeführt?
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|Flächenberechnung bei (stetigen) Funktionen: Aus Summen von Rechtecksflächen wurde das Integral.}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem gegebenen Intervall läuft auf die Berechnung der Fläche der Dichtefunktion innerhalb dieses Intervalls hinaus.}}

Als Wiederholung zum Thema Integralrechnung siehe gegebenenfalls die Seiten von [http://mathe-online.at/ressourcen/?s=int mathe-online]

== Wir präzisieren die Fragestellung==
Um einmal eine konkrete Aufgabenstellung lösen zu können, stellen wir uns die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Projekt 7 bis 9 Tage dauert.

Um die Frage beantworten zu können, müssen wir - ausgehend von der zuvor bereits erstellten Skizze - die Dichtefunktion auch mathematisch beschreiben können.
Vieles wissen wir bereits über diese Funktion, ein Detail fehlt uns aber noch: der Funktionswert für den 10. Tag, an dem das Projekt mit größter Wahrscheinlichkeit beendet wird.
In diesem Zusammenhang solltest du folgende Frage beantworten:
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie groß muss die Gesamtfläche unterhalb der Dichtefunktion (d. h. in diesem Fall die Fläche des Dreiecks) sein?
}}
'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Fläche unterhalb der Dichtefunktion muss 1 sein (irgendein eines aller möglichen Ereignis muss ja eintreten!)
Das bedeutet nun, dass die Höhe des Dreiecks so gewählt werden müssen, dass die Dreiecksfläche genau den Wert 1 ergibt.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Mithilfe der Formel *Dreiecksfläche = halbe Seitenlänge mal zugehöriger Höhe* kannst du selbst das Ergebnis berechnen.
}}

Überprüfe dein Ergebnis anhand der folgenden Simulation! 

{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckHoehe.ggb" />
}}

== Geschafft ==
Somit haben wir UNSER Projekt bereits gelöst.
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Das Berechnen der Fläche unter der Dichtefunktion im Intervall [7;9] sollte für dich keine Schwierigkeiten bereiten. 
''Wenn doch, dann überlege am besten zuerst, welche geometrische Form die gesuchte Fläche besitzt.''}}

[[Bild:Flaeche.jpg|thumb|center|250px|gesuchte Fläche]] 

'''Lösung:'''
{{versteckt|1=z. B. lässt sich mittels Strahlensatz die Länge der beiden parallelen Seiten a und c des Trapezes bestimmen: <math>{10 : h = 9 : a} \Rightarrow {a = 0,129} \mbox{ und } {10 : h = 7 : c} \Rightarrow c = 0,100 \mbox{ und somit } W(7 \le X \le 9)=0,229 = 22,9%</math>
oder mittels einer linearen Funktion für den Bereich von 0 bis 10: <math>f(x)=0,0143 \cdot x</math> (warum?) und jetzt mittels <math>\int\limits_{7}^{9} f(x)\, \mathrm{d}x = \left. {0,0143 \over 2} \cdot x^2 \right \vert ^9_7 = 0,229 = 22,9%</math>}}

=== Die Antwort ===
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Projekt nach 7 bis 9 Tagen beendet ist, liegt nach unserem Modell bei ca. 23%.

= Dreiecksverteilung=
Allgemein nennt man eine Verteilung, welche durch das von uns gewählte Modell entsteht, eine ''Dreiecksverteilung'' (warum wohl)?

Die Verallgemeinerung unseres Verteilungsmodells setzt den Startpunkt nicht an die Stelle 0, sondern ganz allgemein an eine Stelle a (= optimistischster Wert, minimaler Wert), den Endpunkt an die Stelle b (= pessimistischster Wert, maximaler Wert) und den Fußpunkt des Dreiecks an eine beliebige Stelle c im Intervall [a ; b] (= vermutlicher Wert, wahrscheinlichster Wert).
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Versuche selbst, die Dichtefunktion der Dreiecksverteilung zu definieren.

''Ein Tipp:'' Modelliere zuerst die Funktion im Bereich [a ; c] und dann im Bereich [c ; b] und fasse diese beiden Ergebnisse zu einer stückweise definierten Funktion zusammen. Die Lösung führt über die Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle c (= der Höhe des Dreiecks). Die nachfolgende Grafik soll dir bei deinen Überlegungen behilflich sein.
 
[[Bild:BildDreieck.png|thumb|center|250px|Dichtefunktion einer Dreiecksverteilung]]

}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|1= <math>A={{{(b-a)} \cdot h} \over 2} = 1 \Rightarrow h={2 \over {b-a}} \mbox{ und } {f(x)=\begin{cases} {h \over {c-a}} \cdot {(x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {h \over {c-b}} \cdot {(x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}}</math>
 bzw. wenn man das Ergebnis für h einsetzt: 
<math>f(x)=\begin{cases} {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}</math>}}
 

Um ganz exakt zu sein sollte man die Dichtefunktion auch noch für die Intervalle [-inf ; a] und [b ; inf] definieren. In diesen Bereichen ist die Funktion immer 0 und somit erhält man letztendlich für die Dreiecksverteilung die Dichtefunktion:
 

{{versteckt|<math>f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{ } \forall x \in (\infty,a] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \\ 0 & \mbox{ } \forall x \in [b,\infty) \end{cases}</math> }}
 

= Zum Schluss=

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Was lässt sich über die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert aussagen (bei der Dreiecksverteilung aber auch ganz allgemein bei kontinuierlichen Verteilungen)?
}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert (in unserem Beispiel für das Projektende zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt) führt auf die Berechnung des Integrals an einer einzigen Stelle. Da das Integral für einen bestimmten Wert aber immer gleich 0 ist, macht also die Frage nach ganz bestimmten Ausgängen bei kontinuierlichen Verteilungen keinen Sinn. Nur die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für bestimmte Intervalle der Zufallsvariablen lassen sich beantworten.}}
 

= Versuche es selbst=
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir bei der Bearbeitung des untenstehenden Arbeitsblattes helfen.
Versuche die Aufgaben selbstständig zu lösen und nimm das Applet als Unterstützung zuhilfe.

<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckVerteilung.ggb" />

 

{{pdf|Aufgaben_zur_Dreiecksverteilung.pdf|Anwendungsaufgaben}}
 

== im WWW==
INTERNETADRESSEN EINFÜGEN

Wie lange dauern Projekte? - Die Dreiecksverteilung

2009-03-28T20:55:29Z

Peter Hofbauer: /* Das Modell */

{{Kasten1000|

BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
INHALT1=
Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema ''kontinuierliche Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen''. Die Einführung soll in einem Beispiel erfolgen, bei dem versucht wird, die Dauer von Projekten vorherzusagen.|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
* Integrale als Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen verstehen
* mit diskreten Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen arbeiten
* Schieberegler zur Parametervariation verwenden
* Funktionseigenschaften grafisch interpretieren
* grafische Darstellungen durch Terme formulieren |
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
* Reale Problemstellungen mithilfe mathematischer Modelle beschreiben und diese exaktifizieren
* Skizzen und mathematische Vorgaben kombinieren und zu einem mathematischen Modell verbinden
* die Integralrechnung im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen
* Fragestellungen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeit mathematisch formulieren
* Möglichkeiten und Grenzen der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen erkennen|
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|DidaktischerKommentar.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

----
= Projekte dauern ... wie lange???=

Projekte lassen sich zeitlich oft nicht genau planen: Neue Aufgaben benötigen zur Lösung Zeit - wie viel, das ist zu Projektbeginn oft unklar.
Im besten Fall ist die Aufgabenstellung bereits aus früheren Projekten bekannt und somit bereits gelöst.
Im schlechtesten Fall erweist sich die Aufgabe als so komplex, dass das Projekt irgendwann abgebrochen und die Suche nach einer Lösung der Aufgabe eingestellt wird.
Doch normalerweise lassen sich Projekte innerhalb einer angemessenen Zeit abschließen. Idealerweise hat man aus früheren Projekten schon Erfahrungswerte bezüglich der Projektdauer gesammelt und kann diese somit abschätzen.

== Die Ausgangssituation==
Ein Konzern stellt uns eine Aufgabe, die in einem Projektteam gelöst werden soll. Für die Lösung hat das Team maximal 14 Tage Zeit. Der Projektleiter war bereits früher mit ähnlichen Projekten betraut und schätzt die voraussichtliche Projektdauer auf 10 Tage.

== Die Frage==
Lässt sich mithilfe der bekannten Zeitangaben eine Methode entwicklen, die es uns ermöglicht, die tatsächliche Projektdauer vorherzusagen?
Oder mathematisch formuliert: Können wir die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Projekt eine bestimmte Zeit dauern wird?

== Das Modell==
Da der Projektleiter mit einer voraussichtlichen Projektdauer von 10 Tagen rechnet, soll die Wahrscheinlichkeit für die Dauer von 10 Tagen am größten sein. Über die Zeitspanne von 0 bis 10 Tagen bzw. von 10 bis 14 Tagen ist es am einfachsten, eine lineare Zu- bzw. Abnahme der Wahrscheinlichkeit zu modellieren.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Vergleiche das Modell mit den Modellen der diskreten Wahrscheinlichkeitsvereilungen! Welcher grundlegende Unterschied fällt dir auf?
}}

''' Lösung'''
{{versteckt|Im Gegensatz zu den diskreten Verteilungen, kann die Zufallsvariable (in unserem Beispiel die Projektdauer) - zumindest theoretisch - jeden beliebigen Wert annehmen. So kann das Projekt z. B nicht nur 8 oder 9 Tage dauern, sondern auch 8,3 Tage.}}

{{Merksatz|MERK= Eine Zufallsvariable, die (in einem Intervall) jeden beliebigen Wert annehmen kann, nennt man '''kontinuierliche Zufallsvariable'''.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT= Finde selbst Beispiele für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariable!
}}

'''weiter im Modell'''
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie sieht die grafische Umsetzung des Wahrscheinlichkeitsmodells aus? Skizziere den Verlauf der Wahrscheinlichkeitsfunktion!
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckSkizze.ggb" />
}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen nennt man '''Dichtefunktion'''.}}

Vielleicht sind beim Zeichnen der Skizze schon ein paar Fragen aufge-
taucht, die man noch genauer klären muss:
- Wie sieht die Wahrscheinlichkeit für eine Projektdauer vor
dem 0. Tag bzw. nach dem 14. Tag aus?
und
- Wie laesst sich diese interpretieren?

'''Antwort:'''
{{versteckt|Da das Projekt ja kaum beendet sein kann, bevor es begonnen hat, muss die Wahrscheinlichkeit für ein Projektende vor dem 0. Tag natürlich 0 sein.
Ähnliches gilt für ein Projektende nach dem 14. Tag. Da man weiss, dass das Team maximal 14 Tage Zeit hat, ist ein Ende des Projekts zu einem späteren Zeitpunkt ebenfalls unmöglich - daher ist auch hierfür die Wahrscheinlichkeit 0.}}

<pre>Die Dichtefunktion soll bei X=10 ihr Maximum haben.
Welchen Funktionswert nimmt sie an dieser Stelle an?
Ist er beliebig oder gibt es einen einzig möglichen Wert für die
konkrete Aufgabenstellung?</pre>

Dazu müssen wir uns erst einmal überlegen, wie man aus einer Dichtefunktion Wahrscheinlichkeiten ablesen kann. 
Im diskreten Fall war es einfach, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in einem bestimmten Intervall zu bestimmen: Addiert man die Einzelwahrscheinlichkeiten aller Ereignisse im gegebenen Intervall, so erhält man die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit. 
Aber wie geht man im kontinuierlichen Fall vor?
Im kontinuierlichen Fall gibt es in jedem Intervall unendlich viele Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann. Das Aufsummieren wie im diskreten Fall schlägt damit also fehl. Du hast allerdings die mathematische Idee des Übergangs von diskret zu kontinuierlich bereits kennen gelernt.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=In welchem Zusammenhang hast du schon einmal den Schritt von Summen im diskreten Fall zu "Summen" bei kontinuierlichen Prozessen durchgeführt?
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|Flächenberechnung bei (stetigen) Funktionen: Aus Summen von Rechtecksflächen wurde das Integral.}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem gegebenen Intervall läuft auf die Berechnung der Fläche der Dichtefunktion innerhalb dieses Intervalls hinaus.}}

Als Wiederholung zum Thema Integralrechnung siehe gegebenenfalls die Seiten von [http://mathe-online.at/ressourcen/?s=int mathe-online]

== Wir präzisieren die Fragestellung==
Um einmal eine konkrete Aufgabenstellung lösen zu können, stellen wir uns die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Projekt 7 bis 9 Tage dauert.

Um die Frage beantworten zu können, müssen wir - ausgehend von der zuvor bereits erstellten Skizze - die Dichtefunktion auch mathematisch beschreiben können.
Vieles wissen wir bereits über diese Funktion, ein Detail fehlt uns aber noch: der Funktionswert für den 10. Tag, an dem das Projekt mit größter Wahrscheinlichkeit beendet wird.
In diesem Zusammenhang solltest du folgende Frage beantworten:
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie groß muss die Gesamtfläche unterhalb der Dichtefunktion (d. h. in diesem Fall die Fläche des Dreiecks) sein?
}}
'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Fläche unterhalb der Dichtefunktion muss 1 sein (irgendein eines aller möglichen Ereignis muss ja eintreten!)
Das bedeutet nun, dass die Höhe des Dreiecks so gewählt werden müssen, dass die Dreiecksfläche genau den Wert 1 ergibt.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Mithilfe der Formel *Dreiecksfläche = halbe Seitenlänge mal zugehöriger Höhe* kannst du selbst das Ergebnis berechnen.
}}

Überprüfe dein Ergebnis anhand der folgenden Simulation! 

{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckHoehe.ggb" />
}}

== Geschafft ==
Somit haben wir UNSER Projekt bereits gelöst.
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Das Berechnen der Fläche unter der Dichtefunktion im Intervall [7;9] sollte für dich keine Schwierigkeiten bereiten. 
''Wenn doch, dann überlege am besten zuerst, welche geometrische Form die gesuchte Fläche besitzt.''}}

[[Bild:Flaeche.jpg|thumb|center|250px|gesuchte Fläche]] 

'''Lösung:'''
{{versteckt|1=z. B. lässt sich mittels Strahlensatz die Länge der beiden parallelen Seiten a und c des Trapezes bestimmen: <math>{10 : h = 9 : a} \Rightarrow {a = 0,129} \mbox{ und } {10 : h = 7 : c} \Rightarrow c = 0,100 \mbox{ und somit } W(7 \le X \le 9)=0,229 = 22,9%</math>
oder mittels einer linearen Funktion für den Bereich von 0 bis 10: <math>f(x)=0,0143 \cdot x</math> (warum?) und jetzt mittels <math>\int\limits_{7}^{9} f(x)\, \mathrm{d}x = \left. {0,0143 \over 2} \cdot x^2 \right \vert ^9_7 = 0,229 = 22,9%</math>}}

=== Die Antwort ===
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Projekt nach 7 bis 9 Tagen beendet ist, liegt nach unserem Modell bei ca. 23%.

= Dreiecksverteilung=
Allgemein nennt man eine Verteilung, welche durch das von uns gewählte Modell entsteht, eine ''Dreiecksverteilung'' (warum wohl)?

Die Verallgemeinerung unseres Verteilungsmodells setzt den Startpunkt nicht an die Stelle 0, sondern ganz allgemein an eine Stelle a (= optimistischster Wert, minimaler Wert), den Endpunkt an die Stelle b (= pessimistischster Wert, maximaler Wert) und den Fußpunkt des Dreiecks an eine beliebige Stelle c im Intervall [a ; b] (= vermutlicher Wert, wahrscheinlichster Wert).
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Versuche selbst, die Dichtefunktion der Dreiecksverteilung zu definieren.

''Ein Tipp:'' Modelliere zuerst die Funktion im Bereich [a ; c] und dann im Bereich [c ; b] und fasse diese beiden Ergebnisse zu einer stückweise definierten Funktion zusammen. Die Lösung führt über die Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle c (= der Höhe des Dreiecks). Die nachfolgende Grafik soll dir bei deinen Überlegungen behilflich sein.
 
[[Bild:BildDreieck.png|thumb|center|250px|Dichtefunktion einer Dreiecksverteilung]]

}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|1= <math>A={{{(b-a)} \cdot h} \over 2} = 1 \Rightarrow h={2 \over {b-a}} \mbox{ und } {f(x)=\begin{cases} {h \over {c-a}} \cdot {(x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {h \over {c-b}} \cdot {(x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}}</math>
 bzw. wenn man das Ergebnis für h einsetzt: 
<math>f(x)=\begin{cases} {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}</math>}}
 

Um ganz exakt zu sein sollte man die Dichtefunktion auch noch für die Intervalle [-inf ; a] und [b ; inf] definieren. In diesen Bereichen ist die Funktion immer 0 und somit erhält man letztendlich für die Dreiecksverteilung die Dichtefunktion:
 

{{versteckt|<math>f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{ } \forall x \in (\infty,a] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \\ 0 & \mbox{ } \forall x \in [b,\infty) \end{cases}</math> }}
 

= Zum Schluss=

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Was lässt sich über die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert aussagen (bei der Dreiecksverteilung aber auch ganz allgemein bei kontinuierlichen Verteilungen)?
}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert (in unserem Beispiel für das Projektende zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt) führt auf die Berechnung des Integrals an einer einzigen Stelle. Da das Integral für einen bestimmten Wert aber immer gleich 0 ist, macht also die Frage nach ganz bestimmten Ausgängen bei kontinuierlichen Verteilungen keinen Sinn. Nur die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für bestimmte Intervalle der Zufallsvariablen lassen sich beantworten.}}
 

= Versuche es selbst=
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir bei der Bearbeitung des untenstehenden Arbeitsblattes helfen.
Versuche die Aufgaben selbstständig zu lösen und nimm das Applet als Unterstützung zuhilfe.

<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckVerteilung.ggb" />

 

{{pdf|Aufgaben_zur_Dreiecksverteilung.pdf|Anwendungsaufgaben}}
 

== im WWW==
INTERNETADRESSEN EINFÜGEN

Wie lange dauern Projekte? - Die Dreiecksverteilung

2009-03-28T20:43:15Z

Peter Hofbauer: /* Das Modell */

{{Kasten1000|

BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
INHALT1=
Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema ''kontinuierliche Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen''. Die Einführung soll in einem Beispiel erfolgen, bei dem versucht wird, die Dauer von Projekten vorherzusagen.|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
* Integrale als Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen verstehen
* mit diskreten Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen arbeiten
* Schieberegler zur Parametervariation verwenden
* Funktionseigenschaften grafisch interpretieren
* grafische Darstellungen durch Terme formulieren |
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
* Reale Problemstellungen mithilfe mathematischer Modelle beschreiben und diese exaktifizieren
* Skizzen und mathematische Vorgaben kombinieren und zu einem mathematischen Modell verbinden
* die Integralrechnung im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen
* Fragestellungen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeit mathematisch formulieren
* Möglichkeiten und Grenzen der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen erkennen|
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|DidaktischerKommentar.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

----
= Projekte dauern ... wie lange???=

Projekte lassen sich zeitlich oft nicht genau planen: Neue Aufgaben benötigen zur Lösung Zeit - wie viel, das ist zu Projektbeginn oft unklar.
Im besten Fall ist die Aufgabenstellung bereits aus früheren Projekten bekannt und somit bereits gelöst.
Im schlechtesten Fall erweist sich die Aufgabe als so komplex, dass das Projekt irgendwann abgebrochen und die Suche nach einer Lösung der Aufgabe eingestellt wird.
Doch normalerweise lassen sich Projekte innerhalb einer angemessenen Zeit abschließen. Idealerweise hat man aus früheren Projekten schon Erfahrungswerte bezüglich der Projektdauer gesammelt und kann diese somit abschätzen.

== Die Ausgangssituation==
Ein Konzern stellt uns eine Aufgabe, die in einem Projektteam gelöst werden soll. Für die Lösung hat das Team maximal 14 Tage Zeit. Der Projektleiter war bereits früher mit ähnlichen Projekten betraut und schätzt die voraussichtliche Projektdauer auf 10 Tage.

== Die Frage==
Lässt sich mithilfe der bekannten Zeitangaben eine Methode entwicklen, die es uns ermöglicht, die tatsächliche Projektdauer vorherzusagen?
Oder mathematisch formuliert: Können wir die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Projekt eine bestimmte Zeit dauern wird?

== Das Modell==
Da der Projektleiter mit einer voraussichtlichen Projektdauer von 10 Tagen rechnet, soll die Wahrscheinlichkeit für die Dauer von 10 Tagen am größten sein. Über die Zeitspanne von 0 bis 10 Tagen bzw. von 10 bis 14 Tagen ist es am einfachsten, eine lineare Zu- bzw. Abnahme der Wahrscheinlichkeit zu modellieren.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Vergleiche das Modell mit den Modellen der diskreten Wahrscheinlichkeitsvereilungen. Welcher grundlegende Unterschied fällt dir auf?
}}

''' Lösung'''
{{versteckt|Im Gegensatz zu den diskreten Verteilungen, kann die Zufallsvariable (in unserem Beispiel die Projektdauer) - zumindest theoretisch - jeden beliebigen Wert annehmen. So kann das Projekt z. B nicht nur 8 oder 9 Tage dauern, sondern auch 8,3 Tage.}}

{{Merksatz|MERK= Eine Zufallsvariable, die (in einem Intervall) jeden beliebigen Wert annehmen kann, nennt man '''kontinuierliche Zufallsvariable'''.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT= Finde selbst Beispiele für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariable.
}}

'''weiter im Modell'''
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie sieht die grafische Umsetzung des Wahrscheinlichkeitsmodells aus? Skizziere den Verlauf der Wahrscheinlichkeitsfunktion.
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckSkizze.ggb" />
}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen nennt man '''Dichtefunktion'''.}}

Vielleicht sind beim Zeichnen der Skizze schon ein paar Fragen aufge-
taucht, die man noch genauer klären muss:
- Wie sieht die Wahrscheinlichkeit für eine Projektdauer vor
dem 0. Tag bzw. nach dem 14. Tag aus?
und
- Wie laesst sich diese interpretieren?

'''Antwort:'''
{{versteckt|Da das Projekt ja kaum beendet sein kann, bevor es begonnen hat, muss die Wahrscheinlichkeit für ein Projektende vor dem 0. Tag natürlich 0 sein.
Ähnliches gilt für ein Projektende nach dem 14. Tag. Da man weiss, dass das Team maximal 14 Tage Zeit hat, ist ein Ende des Projekts zu einem späteren Zeitpunkt ebenfalls unmöglich - daher ist auch hierfür die Wahrscheinlichkeit 0.}}

<pre>Die Dichtefunktion soll bei X=10 ihr Maximum haben.
Welchen Funktionswert nimmt sie an dieser Stelle an?
Ist er beliebig oder gibt es einen einzig möglichen Wert für die
konkrete Aufgabenstellung?</pre>

Dazu müssen wir uns erst einmal überlegen, wie man aus einer Dichtefunktion Wahrscheinlichkeiten ablesen kann. 
Im diskreten Fall war es einfach, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in einem bestimmten Intervall zu bestimmen: Addiert man die Einzelwahrscheinlichkeiten aller Ereignisse im gegebenen Intervall, so erhält man die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit. 
Aber wie geht man im kontinuierlichen Fall vor?
Im kontinuierlichen Fall gibt es in jedem Intervall unendlich viele Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann. Das Aufsummieren wie im diskreten Fall schlägt damit also fehl. Du hast allerdings die mathematische Idee des Übergangs von diskret zu kontinuierlich bereits kennen gelernt.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=In welchem Zusammenhang hast du schon einmal den Schritt von Summen im diskreten Fall zu "Summen" bei kontinuierlichen Prozessen durchgeführt?
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|Flächenberechnung bei (stetigen) Funktionen: Aus Summen von Rechtecksflächen wurde das Integral.}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem gegebenen Intervall läuft auf die Berechnung der Fläche der Dichtefunktion innerhalb dieses Intervalls hinaus.}}

Als Wiederholung zum Thema Integralrechnung siehe gegebenenfalls die Seiten von [http://mathe-online.at/ressourcen/?s=int mathe-online]

== Wir präzisieren die Fragestellung==
Um einmal eine konkrete Aufgabenstellung lösen zu können, stellen wir uns die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Projekt 7 bis 9 Tage dauert.

Um die Frage beantworten zu können, müssen wir - ausgehend von der zuvor bereits erstellten Skizze - die Dichtefunktion auch mathematisch beschreiben können.
Vieles wissen wir bereits über diese Funktion, ein Detail fehlt uns aber noch: der Funktionswert für den 10. Tag, an dem das Projekt mit größter Wahrscheinlichkeit beendet wird.
In diesem Zusammenhang solltest du folgende Frage beantworten:
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie groß muss die Gesamtfläche unterhalb der Dichtefunktion (d. h. in diesem Fall die Fläche des Dreiecks) sein?
}}
'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Fläche unterhalb der Dichtefunktion muss 1 sein (irgendein eines aller möglichen Ereignis muss ja eintreten!)
Das bedeutet nun, dass die Höhe des Dreiecks so gewählt werden müssen, dass die Dreiecksfläche genau den Wert 1 ergibt.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Mithilfe der Formel *Dreiecksfläche = halbe Seitenlänge mal zugehöriger Höhe* kannst du selbst das Ergebnis berechnen.
}}

Überprüfe dein Ergebnis anhand der folgenden Simulation! 

{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckHoehe.ggb" />
}}

== Geschafft ==
Somit haben wir UNSER Projekt bereits gelöst.
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Das Berechnen der Fläche unter der Dichtefunktion im Intervall [7;9] sollte für dich keine Schwierigkeiten bereiten. 
''Wenn doch, dann überlege am besten zuerst, welche geometrische Form die gesuchte Fläche besitzt.''}}

[[Bild:Flaeche.jpg|thumb|center|250px|gesuchte Fläche]] 

'''Lösung:'''
{{versteckt|1=z. B. lässt sich mittels Strahlensatz die Länge der beiden parallelen Seiten a und c des Trapezes bestimmen: <math>{10 : h = 9 : a} \Rightarrow {a = 0,129} \mbox{ und } {10 : h = 7 : c} \Rightarrow c = 0,100 \mbox{ und somit } W(7 \le X \le 9)=0,229 = 22,9%</math>
oder mittels einer linearen Funktion für den Bereich von 0 bis 10: <math>f(x)=0,0143 \cdot x</math> (warum?) und jetzt mittels <math>\int\limits_{7}^{9} f(x)\, \mathrm{d}x = \left. {0,0143 \over 2} \cdot x^2 \right \vert ^9_7 = 0,229 = 22,9%</math>}}

=== Die Antwort ===
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Projekt nach 7 bis 9 Tagen beendet ist, liegt nach unserem Modell bei ca. 23%.

= Dreiecksverteilung=
Allgemein nennt man eine Verteilung, welche durch das von uns gewählte Modell entsteht, eine ''Dreiecksverteilung'' (warum wohl)?

Die Verallgemeinerung unseres Verteilungsmodells setzt den Startpunkt nicht an die Stelle 0, sondern ganz allgemein an eine Stelle a (= optimistischster Wert, minimaler Wert), den Endpunkt an die Stelle b (= pessimistischster Wert, maximaler Wert) und den Fußpunkt des Dreiecks an eine beliebige Stelle c im Intervall [a ; b] (= vermutlicher Wert, wahrscheinlichster Wert).
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Versuche selbst, die Dichtefunktion der Dreiecksverteilung zu definieren.

''Ein Tipp:'' Modelliere zuerst die Funktion im Bereich [a ; c] und dann im Bereich [c ; b] und fasse diese beiden Ergebnisse zu einer stückweise definierten Funktion zusammen. Die Lösung führt über die Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle c (= der Höhe des Dreiecks). Die nachfolgende Grafik soll dir bei deinen Überlegungen behilflich sein.
 
[[Bild:BildDreieck.png|thumb|center|250px|Dichtefunktion einer Dreiecksverteilung]]

}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|1= <math>A={{{(b-a)} \cdot h} \over 2} = 1 \Rightarrow h={2 \over {b-a}} \mbox{ und } {f(x)=\begin{cases} {h \over {c-a}} \cdot {(x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {h \over {c-b}} \cdot {(x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}}</math>
 bzw. wenn man das Ergebnis für h einsetzt: 
<math>f(x)=\begin{cases} {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}</math>}}
 

Um ganz exakt zu sein sollte man die Dichtefunktion auch noch für die Intervalle [-inf ; a] und [b ; inf] definieren. In diesen Bereichen ist die Funktion immer 0 und somit erhält man letztendlich für die Dreiecksverteilung die Dichtefunktion:
 

{{versteckt|<math>f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{ } \forall x \in (\infty,a] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \\ 0 & \mbox{ } \forall x \in [b,\infty) \end{cases}</math> }}
 

= Zum Schluss=

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Was lässt sich über die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert aussagen (bei der Dreiecksverteilung aber auch ganz allgemein bei kontinuierlichen Verteilungen)?
}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert (in unserem Beispiel für das Projektende zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt) führt auf die Berechnung des Integrals an einer einzigen Stelle. Da das Integral für einen bestimmten Wert aber immer gleich 0 ist, macht also die Frage nach ganz bestimmten Ausgängen bei kontinuierlichen Verteilungen keinen Sinn. Nur die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für bestimmte Intervalle der Zufallsvariablen lassen sich beantworten.}}
 

= Versuche es selbst=
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir bei der Bearbeitung des untenstehenden Arbeitsblattes helfen.
Versuche die Aufgaben selbstständig zu lösen und nimm das Applet als Unterstützung zuhilfe.

<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckVerteilung.ggb" />

 

{{pdf|Aufgaben_zur_Dreiecksverteilung.pdf|Anwendungsaufgaben}}
 

== im WWW==
INTERNETADRESSEN EINFÜGEN

Wie lange dauern Projekte? - Die Dreiecksverteilung

2009-03-28T20:26:57Z

Peter Hofbauer: /* Versuche es selbst */

{{Kasten1000|

BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
INHALT1=
Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema ''kontinuierliche Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen''. Die Einführung soll in einem Beispiel erfolgen, bei dem versucht wird, die Dauer von Projekten vorherzusagen.|
INHALT2=Kompetenzen:|
INHALT2a=
'''Das kannst du schon:'''
* Integrale als Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen verstehen
* mit diskreten Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen arbeiten
* Schieberegler zur Parametervariation verwenden
* Funktionseigenschaften grafisch interpretieren
* grafische Darstellungen durch Terme formulieren |
INHALT2b=
'''Das kannst du lernen:'''
* Reale Problemstellungen mithilfe mathematischer Modelle beschreiben und diese exaktifizieren
* Skizzen und mathematische Vorgaben kombinieren und zu einem mathematischen Modell verbinden
* die Integralrechnung im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen
* Fragestellungen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeit mathematisch formulieren
* Möglichkeiten und Grenzen der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen erkennen|
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer: 
{{pdf|DidaktischerKommentar.pdf|Didaktischer Kommentar}}

}}

----
= Projekte dauern ... wie lange???=

Projekte lassen sich zeitlich oft nicht genau planen: Neue Aufgaben benötigen zur Lösung Zeit - wie viel, das ist zu Projektbeginn oft unklar.
Im besten Fall ist die Aufgabenstellung bereits aus früheren Projekten bekannt und somit bereits gelöst.
Im schlechtesten Fall erweist sich die Aufgabe als so komplex, dass das Projekt irgendwann abgebrochen und die Suche nach einer Lösung der Aufgabe eingestellt wird.
Doch normalerweise lassen sich Projekte innerhalb einer angemessenen Zeit abschließen. Idealerweise hat man aus früheren Projekten schon Erfahrungswerte bezüglich der Projektdauer gesammelt und kann diese somit abschätzen.

== Die Ausgangssituation==
Ein Konzern stellt uns eine Aufgabe, die in einem Projektteam gelöst werden soll. Für die Lösung hat das Team maximal 14 Tage Zeit. Der Projektleiter war bereits früher mit ähnlichen Projekten betraut und schätzt die voraussichtliche Projektdauer auf 10 Tage.

== Die Frage==
Lässt sich mithilfe der bekannten Zeitangaben eine Methode entwicklen, die es uns ermöglicht, die tatsächliche Projektdauer vorherzusagen?
Oder mathematisch formuliert: Können wir die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Projekt eine bestimmte Zeit dauern wird?

== Das Modell==
Da der Projektleiter mit einer voraussichtlichen Projektdauer von 10 Tagen rechnet, soll die Wahrscheinlichkeit für die Dauer von 10 Tagen am größten sein. Über die Zeitspanne von 0 bis 10 Tagen bzw. von 10 bis 14 Tagen ist es am einfachsten, eine lineare Zu- bzw. Abnahme der Wahrscheinlichkeit zu modellieren.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Vergleiche das Modell mit den Modellen der diskreten Wahrscheinlichkeitsvereilungen. Welcher grundlegende Unterschied fällt dir auf?
}}

''' Lösung'''
{{versteckt|Im Gegensatz zu den diskreten Verteilungen, kann die Zufallsvariable (in unserem Beispiel die Projektdauer) - zumindest theoretisch - jeden beliebigen Wert annehmen. So kann das Projekt z. B nicht nur 8 oder 9 Tage dauern, sondern auch 8,3 Tage.}}

{{Merksatz|MERK= Eine Zufallsvariable, die (in einem Intervall) jeden beliebigen Wert annehmen kann, nennt man '''kontinuierliche Zufallsvariable'''.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT= Finde selbst Beispiele für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariable.
}}

'''weiter im Modell'''
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie sieht die grafische Umsetzung des Wahrscheinlichkeitsmodells aus? Skizziere den Verlauf der Wahrscheinlichkeitsfunktion.
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckSkizze.ggb" />
}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen nennt man '''Dichtefunktion'''.}}

<pre>Vielleicht sind beim Zeichnen der Skizze schon ein paar Fragen aufgetaucht, die man noch genauer klären muss:

* Wie sieht die Wahrscheinlichkeit für eine Projektdauer vor dem 0. Tag bzw. nach dem 14. Tag aus?
und
* Wie laesst sich diese interpretieren?</pre>

'''Antwort:'''
{{versteckt|Da das Projekt ja kaum beendet sein kann, bevor es begonnen hat, muss die Wahrscheinlichkeit für ein Projektende vor dem 0. Tag natürlich 0 sein.
Ähnliches gilt für ein Projektende nach dem 14. Tag. Da man weiss, dass das Team maximal 14 Tage Zeit hat, ist ein Ende des Projekts zu einem späteren Zeitpunkt ebenfalls unmöglich - daher ist auch hierfür die Wahrscheinlichkeit 0.}}

<pre>Die Dichtefunktion soll bei X=10 ihr Maximum haben.
Welchen Funktionswert nimmt sie an dieser Stelle an?
Ist er beliebig oder gibt es einen einzig möglichen Wert für die konkrete Aufgabenstellung?</pre>

Dazu müssen wir uns erst einmal überlegen, wie man aus einer Dichtefunktion Wahrscheinlichkeiten ablesen kann. 
Im diskreten Fall war es einfach, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in einem bestimmten Intervall zu bestimmen: Addiert man die Einzelwahrscheinlichkeiten aller Ereignisse im gegebenen Intervall, so erhält man die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit. 
Aber wie geht man im kontinuierlichen Fall vor?
Im kontinuierlichen Fall gibt es in jedem Intervall unendlich viele Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann. Das Aufsummieren wie im diskreten Fall schlägt damit also fehl. Du hast allerdings die mathematische Idee des Übergangs von diskret zu kontinuierlich bereits kennen gelernt.

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=In welchem Zusammenhang hast du schon einmal den Schritt von Summen im diskreten Fall zu "Summen" bei kontinuierlichen Prozessen durchgeführt?
}}

'''Lösung'''
{{versteckt|Flächenberechnung bei (stetigen) Funktionen: Aus Summen von Rechtecksflächen wurde das Integral.}}

{{Merksatz|MERK= Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem gegebenen Intervall läuft auf die Berechnung der Fläche der Dichtefunktion innerhalb dieses Intervalls hinaus.}}

Als Wiederholung zum Thema Integralrechnung siehe gegebenenfalls die Seiten von [http://mathe-online.at/ressourcen/?s=int mathe-online]

== Wir präzisieren die Fragestellung==
Um einmal eine konkrete Aufgabenstellung lösen zu können, stellen wir uns die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Projekt 7 bis 9 Tage dauert.

Um die Frage beantworten zu können, müssen wir - ausgehend von der zuvor bereits erstellten Skizze - die Dichtefunktion auch mathematisch beschreiben können.
Vieles wissen wir bereits über diese Funktion, ein Detail fehlt uns aber noch: der Funktionswert für den 10. Tag, an dem das Projekt mit größter Wahrscheinlichkeit beendet wird.
In diesem Zusammenhang solltest du folgende Frage beantworten:
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Wie groß muss die Gesamtfläche unterhalb der Dichtefunktion (d. h. in diesem Fall die Fläche des Dreiecks) sein?
}}
'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Fläche unterhalb der Dichtefunktion muss 1 sein (irgendein eines aller möglichen Ereignis muss ja eintreten!)
Das bedeutet nun, dass die Höhe des Dreiecks so gewählt werden müssen, dass die Dreiecksfläche genau den Wert 1 ergibt.}}

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Mithilfe der Formel *Dreiecksfläche = halbe Seitenlänge mal zugehöriger Höhe* kannst du selbst das Ergebnis berechnen.
}}

Überprüfe dein Ergebnis anhand der folgenden Simulation! 

{{versteckt|
<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckHoehe.ggb" />
}}

== Geschafft ==
Somit haben wir UNSER Projekt bereits gelöst.
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Das Berechnen der Fläche unter der Dichtefunktion im Intervall [7;9] sollte für dich keine Schwierigkeiten bereiten. 
''Wenn doch, dann überlege am besten zuerst, welche geometrische Form die gesuchte Fläche besitzt.''}}

[[Bild:Flaeche.jpg|thumb|center|250px|gesuchte Fläche]] 

'''Lösung:'''
{{versteckt|1=z. B. lässt sich mittels Strahlensatz die Länge der beiden parallelen Seiten a und c des Trapezes bestimmen: <math>{10 : h = 9 : a} \Rightarrow {a = 0,129} \mbox{ und } {10 : h = 7 : c} \Rightarrow c = 0,100 \mbox{ und somit } W(7 \le X \le 9)=0,229 = 22,9%</math>
oder mittels einer linearen Funktion für den Bereich von 0 bis 10: <math>f(x)=0,0143 \cdot x</math> (warum?) und jetzt mittels <math>\int\limits_{7}^{9} f(x)\, \mathrm{d}x = \left. {0,0143 \over 2} \cdot x^2 \right \vert ^9_7 = 0,229 = 22,9%</math>}}

=== Die Antwort ===
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Projekt nach 7 bis 9 Tagen beendet ist, liegt nach unserem Modell bei ca. 23%.

= Dreiecksverteilung=
Allgemein nennt man eine Verteilung, welche durch das von uns gewählte Modell entsteht, eine ''Dreiecksverteilung'' (warum wohl)?

Die Verallgemeinerung unseres Verteilungsmodells setzt den Startpunkt nicht an die Stelle 0, sondern ganz allgemein an eine Stelle a (= optimistischster Wert, minimaler Wert), den Endpunkt an die Stelle b (= pessimistischster Wert, maximaler Wert) und den Fußpunkt des Dreiecks an eine beliebige Stelle c im Intervall [a ; b] (= vermutlicher Wert, wahrscheinlichster Wert).
 
{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=Versuche selbst, die Dichtefunktion der Dreiecksverteilung zu definieren.

''Ein Tipp:'' Modelliere zuerst die Funktion im Bereich [a ; c] und dann im Bereich [c ; b] und fasse diese beiden Ergebnisse zu einer stückweise definierten Funktion zusammen. Die Lösung führt über die Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle c (= der Höhe des Dreiecks). Die nachfolgende Grafik soll dir bei deinen Überlegungen behilflich sein.
 
[[Bild:BildDreieck.png|thumb|center|250px|Dichtefunktion einer Dreiecksverteilung]]

}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|1= <math>A={{{(b-a)} \cdot h} \over 2} = 1 \Rightarrow h={2 \over {b-a}} \mbox{ und } {f(x)=\begin{cases} {h \over {c-a}} \cdot {(x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {h \over {c-b}} \cdot {(x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}}</math>
 bzw. wenn man das Ergebnis für h einsetzt: 
<math>f(x)=\begin{cases} {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \end{cases}</math>}}
 

Um ganz exakt zu sein sollte man die Dichtefunktion auch noch für die Intervalle [-inf ; a] und [b ; inf] definieren. In diesen Bereichen ist die Funktion immer 0 und somit erhält man letztendlich für die Dreiecksverteilung die Dichtefunktion:
 

{{versteckt|<math>f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{ } \forall x \in (\infty,a] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-a)}} (x-a)} & \mbox{ } \forall x \in [a,c] \\ {{2 \over {(b-a) \cdot (c-b)}} (x-b)} & \mbox{ } \forall x \in [c,b] \\ 0 & \mbox{ } \forall x \in [b,\infty) \end{cases}</math> }}
 

= Zum Schluss=

{{Arbeiten|NUMMER=|
ARBEIT=
Was lässt sich über die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert aussagen (bei der Dreiecksverteilung aber auch ganz allgemein bei kontinuierlichen Verteilungen)?
}}

'''Lösung:'''
{{versteckt|Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Wert (in unserem Beispiel für das Projektende zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt) führt auf die Berechnung des Integrals an einer einzigen Stelle. Da das Integral für einen bestimmten Wert aber immer gleich 0 ist, macht also die Frage nach ganz bestimmten Ausgängen bei kontinuierlichen Verteilungen keinen Sinn. Nur die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für bestimmte Intervalle der Zufallsvariablen lassen sich beantworten.}}
 

= Versuche es selbst=
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir bei der Bearbeitung des untenstehenden Arbeitsblattes helfen.
Versuche die Aufgaben selbstständig zu lösen und nimm das Applet als Unterstützung zuhilfe.

<ggb_applet height="400" width="800" filename="DreieckVerteilung.ggb" />

 

{{pdf|Aufgaben_zur_Dreiecksverteilung.pdf|Anwendungsaufgaben}}
 

== im WWW==
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