Sek2Uni/Pool 1 - Versionsgeschichte

Kittel Matthias: /* Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst */

2011-01-22T11:47:44Z

‎Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst

Kittel Matthias: /* Integrationsverfahren vergleichen */

2011-01-22T11:43:05Z

‎Integrationsverfahren vergleichen

Kittel Matthias: /* Epidemie */

2010-09-16T13:03:17Z

‎Epidemie

Kittel Matthias: /* Ein bisschen Relativitätstheorie */

2010-09-16T13:02:09Z

‎Ein bisschen Relativitätstheorie

Kittel Matthias: /* Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst */

2010-09-16T12:59:50Z

‎Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst

Kittel Matthias: /* Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst */

2010-09-16T12:56:28Z

‎Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst

Kittel Matthias: /* Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst */

2010-09-16T12:55:47Z

‎Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst

Kittel Matthias: /* Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst */

2010-09-16T12:55:36Z

‎Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst

Kittel Matthias: /* Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst */

2010-09-16T12:55:05Z

‎Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst

Kittel Matthias: /* Integrationsverfahren vergleichen */

2010-09-16T12:54:24Z

‎Integrationsverfahren vergleichen

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	Die analytische Lösung, sowie die Lösung der Differenzengleichung sind in dem		Die analytische Lösung, sowie die Lösung der Differenzengleichung sind in dem
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	[http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/c/cb/Ein_lebewesen_verhulst_analyt.xls Excel-Arbeitsblatt zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst] (1,4Mb) programmiert und graphisch dargestellt. Es lassen sich die Anzahl der Individuen, sowie die Parameter <math>\,g</math>, <math>\,s</math> und <math>\,su</math> eingeben. Die Differenzengleichung wird für die ersten <math>\, 10000</math> Schritte gelöst und gemeinsam mit der analytischen Lösung in einem Graphen für die ersten <math>\, 100</math> Schritte dargestellt. Des Weiteren wird noch der Grenzwert der Population und der '''Chaosparamter''' <math>\,c=1+g-s</math> berechnet. Es können mit diesem Excel-Arbeitsblatt auch eigene Graphen erstellt und selbstständig Rechnungen durchgeführt werden.		[http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/c/cb/Ein_lebewesen_verhulst_analyt.xls Excel-Arbeitsblatt zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst] (1,4Mb) programmiert und graphisch dargestellt. Es lassen sich die Anzahl der Individuen, sowie die Parameter <math>\,g</math>, <math>\,s</math> und <math>\,su</math> eingeben. Die Differenzengleichung wird für die ersten <math>\, 10000</math> Schritte gelöst und gemeinsam mit der analytischen Lösung in einem Graphen für die ersten <math>\, 100</math> Schritte dargestellt. Des Weiteren wird noch der Grenzwert der Population und der '''Chaosparamter''' <math>\,c=1+g-s</math> berechnet. Es können mit diesem Excel-Arbeitsblatt auch eigene Graphen erstellt und selbstständig Rechnungen durchgeführt werden.

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 <font color="#004400">[Aufgabe für 3er-Gruppe]</font> ([[Benutzer:Kittel Matthias|Matthias Kittel]])
-Die Berechnung von Integralen ist eine oft notwendige Operation, die in vielen Bereichen des wissenschaftlichen Lebens Anwendung findet. Gar nicht so selten kommt es vor, dass ein Integral gar nicht analytisch lösbar ist. Das bedeutet, es gibt kein Verfahren wie die ''partielle Integration'', die ''Substitutionsmethode'' oder die ''Partialbruchzerlegung'' (diese Lösungswege lernst Du in der Schule, es gibt aber noch viel mehr), um das Integral lösen zu können. Aus diesem Grund ist es notwendig alternative Integrationsmethoden zu finden. Hier werden zwei Möglichkeiten vorgestellt:
+Die Berechnung von Integralen ist eine oft notwendige Operation, die in vielen Bereichen des (natur)wissenschaftlichen Lebens Anwendung findet. Gar nicht so selten kommt es vor, dass ein Integral gar nicht analytisch lösbar ist. Das bedeutet, es gibt kein Verfahren wie die ''partielle Integration'', die ''Substitutionsmethode'' oder die ''Partialbruchzerlegung'' (diese Lösungswege lernst Du in der Schule, es gibt aber noch viel mehr), um das Integral lösen zu können. Aus diesem Grund ist es notwendig alternative Integrationsmethoden zu finden. Hier werden zwei Möglichkeiten vorgestellt:
 * '''Die gegebene Funktion wird vereinfacht:''' Sie wird durch ein beliebig genaues Taylorpolynom angenähert. Bei diesem Verfahren sind nur Kenntnisse über das Ableiten notwendig. Jede (<i>normale</i>) Funktion ist ja bekanntlich differenzierbar, auch wenn es umständlich ist und lange dauert. Es wird die Formel

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 * Welche Funktionen könnten geeignet sein, um den Epidemieverlauf zu modellieren?
-* Welche Aussagekraft hat die 1.Ableitung dieser Modellfunktion?
+* Welche Aussagekraft hat die 1. Ableitung dieser Modellfunktion?
 * Wie lässt sich das Integral dieser Funktion aus volkswirtschaftlicher Sicht interpretieren?
 * Zu welchem Zeitpunkt verbreitete sich die Krankheit am stärksten?

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 Setzt euch danach wieder <font color="#990000">''zusammen''</font>, diskutiert eure Ergebnisse und führt sie zusammen:
 *Wie sieht der Graph der gesamten Funktion aus? (Welche Definitionsmenge wird man sinnvollerweise für sie wählen?)
-*Wie passt dieser Graph mit den Graphen der (von euren getrennt erhaltenen) Näherungsfunktionen zusammen? Stellt alle drei Graphen in ''einem'' Diagramm dar! Verwendet als Tool einen Punktionsplotter oder ein Programm, das einen solchen enthält! Überlegt euch, wie ihr die Einheiten auf den Achsen wählt, damit das Diagramm möglichst aussagekräftig wird!
+*Wie passt dieser Graph mit den Graphen der (von euren getrennt erhaltenen) Näherungsfunktionen zusammen? Stellt alle drei Graphen in ''einem'' Diagramm dar! Verwendet als Tool einen Funktionsplotter oder ein Programm, das einen solchen enthält! Überlegt euch, wie ihr die Einheiten auf den Achsen wählt, damit das Diagramm möglichst aussagekräftig wird!
 *Illustriert anhand einiger Werte von <math>\,v</math> (z.B. die Geschwindigkeit eines Fußgängers, eines Flugzeugs, 90% der Lichtgeschwindigkeit, 99% der Lichtgeschwindigkeit...) wie gut eure Näherungsformeln sind!

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 {{Arbeiten|NUMMER=1|
 ARBEIT=
-Führt selbst eine Parameterstudie durch und überprüft oben angegeben Intervalle des Chaosparameters auf ihre Richtigkeit. Welche weiteren überraschenden Ergebnisse liefert die '''logistischen Gleichung'''? Experimentiert mit dem Excel-Arbeitsblatt. Verwende dazu die Angabe aus dem pdf-file [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/8/82/Parameterstudie_mv.pdf Arbeitsblatt Parameterstudie zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst] (40kb). Fertigt ein Protokoll an, in dem eure Experimente dokumentiert sind! Fertigt so viele Graphen wie möglich an!
+Führt selbst eine Parameterstudie durch und überprüft oben angegebene Intervalle des Chaosparameters auf ihre Richtigkeit. Welche weiteren überraschenden Ergebnisse liefert die '''logistischen Gleichung'''? Experimentiert mit dem Excel-Arbeitsblatt. Verwende dazu die Angabe aus dem pdf-file [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/8/82/Parameterstudie_mv.pdf Arbeitsblatt Parameterstudie zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst] (40kb). Fertigt ein Protokoll an, in dem eure Experimente dokumentiert sind! Fertigt so viele Graphen wie möglich an!
 Unter [http://www.neuroinformatik.ruhr-uni-bochum.de/VDM/exercises/Logist/tex-ss/Logist/node2.html Die logistische Differentialgleichung] findet man noch weitere Übungsaufgaben und einen Graphenplotter, der online Graphen für unterschiedliche Parameterwerte zeichnet.

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 <math> N(t)=\frac{K \cdot N_{0}}{N_{0}+K \cdot N_{0} \cdot e^{-v \cdot t}} </math>, wobei <math>\,N_{0}</math> die Anfangspopulation ist und <math> K = \frac{g-s}{su} </math> sowie <math> \,v = g-s </math> gilt.
-Die entsprechende Differenzengleichung lautet
+Die entsprechende Differenzengleichung lautet:
 <math> N_{t+1}=(1+g-s) \cdot N_{t}-su \cdot N_{t}^2 </math>.

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 Das Verhalten einer Population von Lebewesen lässt sich mit Hilfe der '''logistischen Gleichung''' leicht visualisieren. Diese Gleichung lässt sich etweder analytisch oder mittels Differenzengleichung lösen.
 Die '''logistischen Gleichung''' beschreibt ein Wachstum mit einer Grenzpopulation, das bedeutet, dass sich die Population nicht auf alle Zeiten exponentiell vermehrt, sondern sich einer Maximalpopulation annähert. Neben der Geburtenrate <math>\,g</math> fließt die natürliche Sterberate <math>\,s</math> (Alter, Krankheit und Ähnliches) und die Sterberate auf Grund von Überbevölkerung <math>\,su</math> (fehlender Lebensraum, Nahrungsmittelknappheit, etc.) in die Gleichung mit ein.
-Die Änderung der Populationszahl <math>\, \dot N(t)</math> in der Zeit lässt sich nun wie folgt berechnen:
+Die Änderung der Populationszahl <math>\, \dot N(t)</math> mit der Zeit lässt sich nun wie folgt berechnen:
 <math>\dot N(t) = \frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}=(1+g-s)\cdot N(t) - su \cdot N(t)^2 </math>

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 Das Verhalten einer Population von Lebewesen lässt sich mit Hilfe der '''logistischen Gleichung''' leicht visualisieren. Diese Gleichung lässt sich etweder analytisch oder mittels Differenzengleichung lösen.
-Die '''logistischen Gleichung''' beschreibt ein Wachstum mit einer Grenzpopulation, das bedeutet, dass sich die Population nicht auf alle Zeiten exponentiell vermehrt, sondern sich einer Maximalpopulation annähert. Neben der Geburtenrate <math>\,g</math> fließt die natürliche Sterberate <math>\,s</math> (Alter, Krankheit und Ähnliches) und die Sterberate auf Grund von Überbevülkerung <math>\,su</math> (fehlender Lebensraum, Nahrungsmittelknappheit, etc.) in die Gleichung mit ein.
+Die '''logistischen Gleichung''' beschreibt ein Wachstum mit einer Grenzpopulation, das bedeutet, dass sich die Population nicht auf alle Zeiten exponentiell vermehrt, sondern sich einer Maximalpopulation annähert. Neben der Geburtenrate <math>\,g</math> fließt die natürliche Sterberate <math>\,s</math> (Alter, Krankheit und Ähnliches) und die Sterberate auf Grund von Überbevölkerung <math>\,su</math> (fehlender Lebensraum, Nahrungsmittelknappheit, etc.) in die Gleichung mit ein.
 Die Änderung der Populationszahl <math>\,N(t)</math> in der Zeit lässt sich nun wie folgt berechnen:

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 <math> \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} \cdot (x-x_{0})^k = P(x)=</math>
-<math>\frac{f(x_{0})}{0!} \cdot (x-x_{0})^0+\frac{f'(x_{0})}{1!} \cdot (x-x_{0})^1+\frac{f''(x_{0})}{2!} \cdot (x-x_{0})^2+\frac{f'''(x_{0})}{3!} \cdot (x-x_{0})^3+\ldots +\frac{f^{n}(x_{0})}{n!} \cdot (x-x_{0})^n</math>
+<math>\frac{f(x_{0})}{0!} \cdot (x-x_{0})^0+\frac{f'(x_{0})}{1!} \cdot (x-x_{0})^1+\frac{f''(x_{0})}{2!} \cdot (x-x_{0})^2+\frac{f'''(x_{0})}{3!} \cdot (x-x_{0})^3+\ldots +\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!} \cdot (x-x_{0})^n</math>
 verwendet. Danach wird dieses Polynom <math>\,P(x)</math> an Stelle der gegebenen Funktion <math>\,f(x)</math> integriert.