Wurzelfunktion Übungen 2: Unterschied zwischen den Versionen

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Zeichne in ein Koordinatensystem die Graphen der Funktionen <math>f:x \rightarrow x^3</math> für <math> x\in R</math> und <math> g:x \rightarrow \sqrt[3]{x}\</math> für <math> x\in R</math>.
 
Zeichne in ein Koordinatensystem die Graphen der Funktionen <math>f:x \rightarrow x^3</math> für <math> x\in R</math> und <math> g:x \rightarrow \sqrt[3]{x}\</math> für <math> x\in R</math>.
  
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Bestimme die natürliche Zahl n, so dass der Graph der Funktion der Funktion <math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> durch den Punkt <br>
 
Bestimme die natürliche Zahl n, so dass der Graph der Funktion der Funktion <math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> durch den Punkt <br>
 
a) P(225;5)<br>
 
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b) Q(243;3)<br>
 
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c) R(0,5;0,125) geht.
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c) R(0,5;0,125) geht und gib die zugehörige Funktionsgleichung an.  
  
 
Bearbeite von diesem [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/wurzelfunktionsgraphen/index.html Arbeitsblatt] die ersten 3 Aufgaben.
 
Bearbeite von diesem [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/wurzelfunktionsgraphen/index.html Arbeitsblatt] die ersten 3 Aufgaben.
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a) n = 4<br>
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a) n = 4 und <math>f(x) = x^4</math><br>
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Medizinstudenten lernen in der Anfangsvorlesung, dass das Flüssigkeitsvolumen V, das bei konstantem Druck pro Zeiteinheit durch eine Röhre mit Radius r fließt proportional zur 4. Potenz des Radius ist. ([http://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_von_Hagen-Poiseuille Gesetz von Hagen-Poiseuille]). Für die Medizinstudenten sind die Röhren Adern im menschlichen Körper und die Flüssigkeit ist Blut.
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1. Stelle diesen Sachverhalt als Formel dar.
  
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Meist tritt als Funktionsterm nicht nur eine Wurzel auf. Oft treten auch Terme von der Art <math> ax + b </math> unter der Wurzel auf. Dies soll nun näher untersucht werden. 
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2. Löse diese Gleichung nach r auf.
  
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3. Wie ändert sich das Blutvolumen durch eine Ader, wenn sich der Gefäßradius um <br>
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a) 10%, 50%, 100% vergrößert? (Mehrdurchblutung bei Gefäßerweiterung)<br>
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Du betrachstest die Funktion <math>f: x \rightarrow \sqrt[3]{ax + b}\ </math>. Im folgenden Applet kannst du mit den Schiebereglern die Werte für <math>a</math> und <math>b</math> verändern. Anfangs ist <math>a = 1</math> und <math>b = 0</math>. Es ist der Graph der 3-ten Wurzelfunktion dargestellt.
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b) 10%, 50%, 100% verringert? (Minderdurchblutung durch Gefäßverengung)
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:1. Was passiert, wenn du den Wert von <math>b</math> änderst? Unterscheide <math> b > 0 </math> und <math> b < 0</math>.
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:2. Stelle wieder <math> b = 0</math> ein. Variiere nun <math>a</math>. Was stellst du fest?
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<center><ggb_applet width="792" height="407"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /></center><br>
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4. Um wieviel darf der Radius zunehmen, damit <br>
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a) 10%<br>  
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b) 50% mehr Blut durch die Ader fließt?
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5. Um wieviel darf der Radius abnehmen, damit noch <br>
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a) 90%<br>
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b) 50% Blut durch die Ader fließt?
  
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:3. Variiere nun a und b gleichzeitig und beachte was passiert.
 
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:4. Wo ist die Nullstelle der Funktion <math>f: x \rightarrow \sqrt[3]{ax + b} </math>?
 
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:5. Gib die Definitionsmenge der Funktion <math>f: x \rightarrow \sqrt[3]{ax + b} </math> an.
 
 
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{{Lösung versteckt|
 
{{Lösung versteckt|
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1. Für <math> b > 0 </math> wird der Graph der Wurzelfunktion nach links verschoben. Die Nullstelle tritt bei <math> x = -b</math> auf. Für <math> b < 0</math> wird der Graph der Wurzelfunktion nach rechts verschoben. Die Nullstelle tritt bei <math> x = -b</math> auf.
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1. <math>V = r^4 c</math> wobei <math>c</math> eine Konstante ist.<br>
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2. <math> r = \sqrt[4]{\frac{V}{c}}\</math><br>
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3. a) Vermehrung um 46%; 506%, 1600% <br>
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b) Verminderung um 35%, 93,75%, 100%<br>
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4. a) 2,4%<br>
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b) 11%<br>
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5. a) 2,6%<br>
 +
b) 16%
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2. Für <math> 0 < a < 1</math> wird der Graph der Wurzelfunktion in y-Richtung gestaucht. Für <math> a > 1</math> wird der Graph in y-Richtung gestreckt. Ist <math> a < 0</math> so wird der Graph mit <math>|a|</math> an der y-Achse gespiegelt.  
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{{Arbeiten|NUMMER=21| ARBEIT=
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{{#ev:youtube |HEPkQuUwhnA|350|right}}
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Die zwei österreichischen Physiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Josef_Stefan Josef Stefan] und [http://de.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann Ludwig Boltzmann] fanden das nach ihnen benannte [http://de.wikipedia.org/wiki/Stefan-Boltzmann-Gesetz Strahlungsgesetz]. Es besagt, dass die Strahlungsleistung P einer Lichtquelle proportional zur 4. Potenz der Temperatur T dieser Lichtquelle (T gemessen in der absoluten Kelvin-Temperatur) ist.
  
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4. <math>x = -\frac{b}{a}</math>
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Es ist <center> <math>P = \sigma A T^4</math></center><br>
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hierbei ist <math>\sigma</math> die Stefan-Boltzmann-Konstante <math>\sigma = 5,67*10^{-8} \frac{W}{m^2K^4}</math> und A die Oberfläche der Lichtquelle.
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a) Löse die Gleichung nach T auf.<br>
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b) Die Strahlungsleistung der Sonne beträgt <math>P = 3,84*10^{26}W</math>. Wie groß ist die Oberflächentemperatur in K (und in °C) auf der Sonne? <br>
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Man weiß, <br>
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die Sonne ist eine Kugel und die Kugeloberfläche ist <math> A = 4 R_S^2\pi</math> und
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der Sonnenradius <math>R_S</math> ist circa das 109-fache des Erdradius (6370km).
  
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5. Es ist <math>D = R </math>.
 
 
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NUMMER=4| ARBEIT=
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a) <math> T = \sqrt[4]{\frac{P}{A\sigma}}</math><br>
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Bearbeite von diesem [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/wurzelfunktionsgraphen/index.html Arbeitsblatt] die ersten 3 Aufgaben.
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b) <math>5782 K</math> bzw. <math>5509^oC</math><br>
 
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Version vom 28. April 2012, 15:28 Uhr

Startseite --- Die Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen --- Die allgemeine Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen --- Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

Bei den Übungen zur Wurzelfunktion lernst du weitere sich aus ihr ergebene Funktionen kennen.

  Aufgabe 18  Stift.gif

Zeichne in ein Koordinatensystem die Graphen der Funktionen f:x \rightarrow x^3 für x\in R und Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): g:x \rightarrow \sqrt[3]{x}\ 

für  x\in R.

Was stellst du fest?


Wf3-kf.jpg

Die Graphen von f und g sind achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten.


  Aufgabe 19  Stift.gif

Bestimme die natürliche Zahl n, so dass der Graph der Funktion der Funktion f: x \rightarrow \sqrt[n]{x} durch den Punkt
a) P(225;5)
b) Q(243;3)
c) R(0,5;0,125) geht und gib die zugehörige Funktionsgleichung an.

Bearbeite von diesem Arbeitsblatt die ersten 3 Aufgaben.


a) n = 4 und f(x) = x^4
b) n = 5 und f(x) = x^5

c) n = 3 und f(x) = x^3
  Aufgabe 20  Stift.gif

Medizinstudenten lernen in der Anfangsvorlesung, dass das Flüssigkeitsvolumen V, das bei konstantem Druck pro Zeiteinheit durch eine Röhre mit Radius r fließt proportional zur 4. Potenz des Radius ist. (Gesetz von Hagen-Poiseuille). Für die Medizinstudenten sind die Röhren Adern im menschlichen Körper und die Flüssigkeit ist Blut.

1. Stelle diesen Sachverhalt als Formel dar.

2. Löse diese Gleichung nach r auf.

3. Wie ändert sich das Blutvolumen durch eine Ader, wenn sich der Gefäßradius um
a) 10%, 50%, 100% vergrößert? (Mehrdurchblutung bei Gefäßerweiterung)
b) 10%, 50%, 100% verringert? (Minderdurchblutung durch Gefäßverengung)

4. Um wieviel darf der Radius zunehmen, damit
a) 10%
b) 50% mehr Blut durch die Ader fließt?

5. Um wieviel darf der Radius abnehmen, damit noch
a) 90%
b) 50% Blut durch die Ader fließt?


1. V = r^4 c wobei c eine Konstante ist.
2. Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): r = \sqrt[4]{\frac{V}{c}}\
3. a) Vermehrung um 46%; 506%, 1600%
b) Verminderung um 35%, 93,75%, 100%
4. a) 2,4%
b) 11%
5. a) 2,6%
b) 16%

  Aufgabe 21  Stift.gif

Die zwei österreichischen Physiker Josef Stefan und Ludwig Boltzmann fanden das nach ihnen benannte Strahlungsgesetz. Es besagt, dass die Strahlungsleistung P einer Lichtquelle proportional zur 4. Potenz der Temperatur T dieser Lichtquelle (T gemessen in der absoluten Kelvin-Temperatur) ist.

Es ist
P = \sigma A T^4

hierbei ist \sigma die Stefan-Boltzmann-Konstante \sigma = 5,67*10^{-8} \frac{W}{m^2K^4} und A die Oberfläche der Lichtquelle.

a) Löse die Gleichung nach T auf.
b) Die Strahlungsleistung der Sonne beträgt P = 3,84*10^{26}W. Wie groß ist die Oberflächentemperatur in K (und in °C) auf der Sonne?
Man weiß,
die Sonne ist eine Kugel und die Kugeloberfläche ist A = 4 R_S^2\pi und der Sonnenradius R_S ist circa das 109-fache des Erdradius (6370km).


a) T = \sqrt[4]{\frac{P}{A\sigma}}

b) 5782 K bzw. 5509^oC


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