Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Potenzfunktionen}}
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'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[5. Stufe|5. Stufe]]'''</div>
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==2. Stufe==
 
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<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
 
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== Die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
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=== Gerade Potenzen ===
  
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'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
  
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|- style="vertical-align:top;"
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| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
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# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
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#* Symmetrie
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#* Monotonie
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#* größte und kleinste Funktionswerte
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# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-4</sup> zu f(x) = x<sup>-6</sup> usw.!
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# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
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:{{Lösung versteckt|
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: zu 1.)
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:* Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
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:* Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall <math>]-\infty;0[</math> streng monoton steigend und im Intervall <math>]0;\infty[</math> streng monoton fallend.
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:* Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind <math>]0; \infty[</math>. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.
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:<br />
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: zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
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:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.</math> Da wir hier nur gerade Zahlen <math>n \in \{2,4,6,...\}</math> betrachten gilt weiter: <math>\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1</math> unabhängig von n.
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:: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
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:<br />
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:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
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:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
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: zu 4.)
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: Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\textstyle \frac{1}{k^n}</math>-facht. <br>
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:: Symbolisch: <math>f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x)</math>.
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=== Parabel und Hyperbel ===
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Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=x<sup>n</sup> und f(x)=x<sup>-n</sup> kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
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{{ Merksatz | MERK =
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* Die Graphen von Funktionen f(x)=x<sup>n</sup> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. <BR>
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* Für f(x)=x<sup>2</sup> heißt der Graph '''Normalparabel'''; für f(x)=x<sup>3</sup> dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung''').
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* Die Graphen von Funktionen f(x)=x<sup>-n</sup> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
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=== Ungerade Potenzen ===
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'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''
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{| <!--class="prettytable sortable" -->
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| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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filename="3_ungerade_x_minus_n.ggb" />
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{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
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# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
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#* Symmetrie
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#* Monotonie
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#* größte und kleinste Funktionswerte
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# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-1</sup> zu f(x) = x<sup>-3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-3</sup> zu f(x) = x<sup>-5</sup> usw.!
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{{ Lösung versteckt |
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zu 1.)
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:* Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).
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::  Beachte: für n<math>=</math>1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y<math>=</math>x.
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:* Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}</math> streng monoton fallend.
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:* Als Funktionswerte werden alle Werte aus <math>\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}</math>. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.
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<br />
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zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).
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: '''Begründung''' für Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n</math>. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist <math>\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1</math> für alle betrachteten n.
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: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
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zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.
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: In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.
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: In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.
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=== Teste dein Wissen ===
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{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
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Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl
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# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>?
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# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>?
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:{{Lösung versteckt|
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zu 1.) Die Lösung ist n<math>=</math>4.
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: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math>
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zu 2.) Die Lösung ist n<math>=</math>3.
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: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math>
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== Die Graphen von f(x) = a x<sup>-n</sup> mit a <small>&isin;</small> IR ==
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'''Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
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{| <!--class="prettytable sortable"-->
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|-  style="vertical-align:top;"
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| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
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# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
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{{ Lösung versteckt |
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: zu 1.)
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:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
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:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
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:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.
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:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
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: zu 2.)
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:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
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|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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filename="4_ax_minus_n.ggb" />
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{| <!--class="prettytable sortable"-->
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|-  style="vertical-align:top;"
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| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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filename="4_ax_minus_n_test.ggb" />
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{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
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Wir betrachten wieder die Funktionen <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math> für eine eine natürliche Zahl n.
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# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft.<br /> Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
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# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
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:{{Lösung versteckt|
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: zu 1.) Die Lösung ist a<math>=</math>2, n<math>=</math>1.
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:: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und  <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math>
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: zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
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: '''Begründung:'''
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:* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
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:* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a<math>=</math>1 sein.
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: Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x)<math>=</math> x<sup>-n</sup> mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>3 hat.
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=== Teste Dein Wissen ===
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* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]
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* [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_II.html Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!]
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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
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|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
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|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.'''<br />
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[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Potenzfunktionen_3._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''
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Aktuelle Version vom 17. Januar 2011, 11:09 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - Test


Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

  Aufgabe 1  Stift.gif
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
zu 1.)
  • Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall ]-\infty;0[ streng monoton steigend und im Intervall ]0;\infty[ streng monoton fallend.
  • Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind ]0; \infty[. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.

zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
Begründung für den Punkt (-1;1): An der Stelle x=-1 ist f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}. Da wir hier nur gerade Zahlen n \in \{2,4,6,...\} betrachten gilt weiter: \textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1 unabhängig von n.
Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x=1 ist f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1 für alle n \in {\Bbb N}.

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.

zu 4.)
Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-\textstyle \frac{1}{k^n}-facht.
Symbolisch: f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x).


Parabel und Hyperbel

Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xn und f(x)=x-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:

Maehnrot.jpg
Merke:
  • Die Graphen von Funktionen f(x)=xn und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung.
  • Für f(x)=x2 heißt der Graph Normalparabel; für f(x)=x3 dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung).
  • Die Graphen von Funktionen f(x)=x-n und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.


Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.!

zu 1.)

  • Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).
Beachte: für n=1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y=x.
  • Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich \scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\} streng monoton fallend.
  • Als Funktionswerte werden alle Werte aus \scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.


zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).

Begründung für Punkt (-1;-1): An der Stelle x=-1 ist f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist \textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1 für alle betrachteten n.
Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x=1 ist f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1 für alle n \in {\Bbb N}.

zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.

In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.
In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.

Teste dein Wissen

  Aufgabe 3  Stift.gif

Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;\textstyle \frac{1}{16})?
  2. Für welches n verläuft der Graph durch Q ( 0,\!5;8 )?

zu 1.) Die Lösung ist n=4.

Begründung: Es gilt f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.

zu 2.) Die Lösung ist n=3.

Begründung: Es gilt f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8


Die Graphen von f(x) = a x-n mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form f(x) = a \cdot x^{-n} , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

  Aufgabe 4  Stift.gif
  1. Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a \cdot x^{-2}. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen von f(x) = a \cdot x^{-n} bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

zu 1.)
  • Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
  • Für a=1 bleibt er unverändert
  • Für a=0 wird die Funktion zur Nullfunktion f(x)=0 für alle x.
  • Der Wert a=-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
zu 2.)
Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.


  Aufgabe 5  Stift.gif

Wir betrachten wieder die Funktionen f(x) = a \cdot x^{-n} für eine eine natürliche Zahl n.

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft.
    Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
zu 1.) Die Lösung ist a=2, n=1.
Begründung: f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2 und f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.
zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
Begründung:
  • Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
  • Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a=1 sein.
Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x)= x-n mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x=1 den Funktionswert f(x)=1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x=1 den Funktionswert f(x)=3 hat.

Teste Dein Wissen



Maehnrot.jpg Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.

Pfeil.gif   Hier geht es weiter.

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