Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Potenzfunktionen}}
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'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - 3. Stufe - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 5. Stufe|5. Stufe]]'''</div>
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Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.<br />
 
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'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\textstyle \frac{1}{n}\leq 1</math>.
 
  
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
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'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^*</math> als Exponenten haben.'''
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== Die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN<sup>*</sup> ==
  
 
=== Funktionsgraph kennenlernen ===
 
=== Funktionsgraph kennenlernen ===
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| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
 
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Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{1,2,3,4,5\}</math>.<br />
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Rechts siehst Du den Graphen der Funktion <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5,6\}</math>.<br />
 
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
 
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
 
#* Definitionsbereich
 
#* Definitionsbereich
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#* größte und kleinste Funktionswerte
 
#* größte und kleinste Funktionswerte
 
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
 
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
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:{{Lösung versteckt|
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: zu 1) Der Definitionsbereich ist IR<sup>+</sup><sub>0</sub>. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.
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: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. '''Begründung:''' Es gilt 0<sup>r</sup> <math>=</math>0 und 1<sup>r</sup> <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
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Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.  
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Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.  
 
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
 
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
 
#* Definitionsbereich
 
#* Definitionsbereich
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# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
 
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
 
:{{Lösung versteckt|
 
:{{Lösung versteckt|
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: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen.
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: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.
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: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen, als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
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: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets 1<sup>r</sup> <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
 
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== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==
 
== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==
  
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Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math>
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Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}^*.</math>
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{{Merksatz|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR<sup>+</sup><sub>0</sub>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)<math>=</math> x<sup>n</sup> und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen | nächstes Kapitel]]).
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Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - nicht negativ (Nähere Erläuterungen hierzu: siehe unten) , also ID = IR<sup>+</sup><sub>0</sub>
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Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
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Im Falle n<math>=</math>2 nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
 
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>
 
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>
  
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Im Falle n<math>=</math>3 nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.
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Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.
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Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:
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=== Beispiel: Quadratwurzeln ===
 
=== Beispiel: Quadratwurzeln ===
  
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Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der '''Diagonale in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2</math>) zu:
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:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
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Die Lösung ist <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
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Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonalen B in einem Quadrat''' der Seitenlänge a<math>=</math>1 über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:
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:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
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Die Lösung <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
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Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>D</math> im Einheitswürfel ('''das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>d^2 + s^2 = D^2</math>) zu:
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:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
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Die Lösung ist also <math>\textstyle D = \sqrt{3}</math> angeben.
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| Auch die Länge der '''Raumdiagonale C im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = C^2</math>) zu:
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:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
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Die Lösung ist also <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle C = \sqrt{3}</math></font> angeben.
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=== Beispiel: Kubikwurzel ===
 
=== Beispiel: Kubikwurzel ===
  
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Das Volumen <math>V</math> eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge <math>s=5</math> ergibt sich über:<br />
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Das Volumen V eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge s<math>=</math>5 ergibt sich über:<br />
 
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>
 
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>
  
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Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel:
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Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V<math>=</math>27 durch ziehen der 3.-Wurzel:
 
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>
 
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>
  
 
== Einfluss von Parametern ==
 
== Einfluss von Parametern ==
  
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In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br />
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In obenstehendem Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern.<br />
 
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
 
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
 
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
 
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
 
:{{Lösung versteckt|
 
:{{Lösung versteckt|
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: Der Parameter <math>a</math> bewirkt für <math>a>1</math> eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für <math>0<a<1</math> eine Stauchung in y-Richtung; für <math>a=0</math> erhält man eine konstante Funktion mit <math>f(x)=c</math>. Wird <math>a</math> negativ, so wird <math>f</math> zu einer monoton fallenden Funktion.<br />Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert <math>y</math> der Wert <math>c</math> addiert wird.
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: zu 1.) Der Parameter a bewirkt für a>1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für 0<a<1 eine Stauchung in y-Richtung; für a<math>=</math>0 erhält man eine konstante Funktion mit f(x)<math>=</math>c. Wird a negativ, so wird f zu einer monoton fallenden Funktion.<br />zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert y der Wert c addiert wird.
 
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== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
 
== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
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<small>(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)</small>
 
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub> ====
 
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub> ====
  
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Wegen  
 
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:<math>(-2)^3 = -8</math>  
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erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:  
 
erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:  
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Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reelle Zahlen ein, also:
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Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:
 
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math>  mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>
 
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math>  mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>
  
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==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====
 
  
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Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass
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:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>.  
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Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.
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|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
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|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.'''<br />  
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[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Potenzfunktionen_4._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''
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Aktuelle Version vom 17. Januar 2011, 20:38 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - Test


Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form \textstyle \frac{1}{n} mit n \in \mathbb{N}^* als Exponenten haben.

Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen f(x) = x1/n, n ∈ IN*

Funktionsgraph kennenlernen

  Aufgabe 1  Stift.gif

Rechts siehst Du den Graphen der Funktion f(x)=x^{\frac 1 n} für n \in \{2,3,4,5,6\}.

  1. Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
zu 1) Der Definitionsbereich ist IR+0. Der kleinste Funktionswert y=0 wird für x=0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.
zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. Begründung: Es gilt 0r =0 und 1r =1 für alle r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}.


Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

  Aufgabe 2  Stift.gif

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

  1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert y=0 wird für x=0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.
zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets 1r =1 für alle r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}.


Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit f(x)=x^{\frac 1 n} , n \in \mathbb{N}^*.

Maehnrot.jpg
Merke:

Wegen x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x} nennt man diese Funktionen auch Wurzelfunktionen. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR+0. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit f(x)=x^{\frac 1 n} die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)= xn und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur Umkehrfunktion siehe nächstes Kapitel).

Im Falle n=2 nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:

x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}

Im Falle n=3 nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: x^{\frac{1}{3}} bzw. \sqrt[3]{x}.

Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:


Beispiel: Quadratwurzeln

Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonalen B in einem Quadrat der Seitenlänge a=1 über den Satz des Pythagoras \left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right) zu:

a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow \quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.

Die Lösung \textstyle d=-\sqrt{2} ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.

Diagonale.png
Auch die Länge der Raumdiagonale C im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: B^2 + \!\,a^2 = C^2) zu:
\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.

Die Lösung ist also \textstyle C = \sqrt{3} angeben.

Diagonale3.png

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen V eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge s=5 ergibt sich über:

V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V=27 durch ziehen der 3.-Wurzel:

\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.

Einfluss von Parametern

  Aufgabe 3  Stift.gif

In obenstehendem Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern.

  1. Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
  2. Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
zu 1.) Der Parameter a bewirkt für a>1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für 0<a<1 eine Stauchung in y-Richtung; für a=0 erhält man eine konstante Funktion mit f(x)=c. Wird a negativ, so wird f zu einer monoton fallenden Funktion.
zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert y der Wert c addiert wird.


*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)

Einschränkung auf IR+0

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: \sqrt[3]{-8}= -2,

Wegen

(-2)3 =-8

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei f(x)=x^{\frac 1 n} für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:

f(x) = \sqrt[n]{x} mit n \in \mathbb{N} und \mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0


Maehnrot.jpg Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.

Pfeil.gif   Hier geht es weiter.

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