Wurzelfunktion Einführung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 18. Mai 2012, 09:39 Uhr

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Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt eines Quadrats und seiner Seitenlänge.
Ein Quadrat mit Seitenlänge $a$ hat den Flächeninhalt $A = a^2$ .

Ist die Seitenlänge $a= 3 cm$ , dann ist also der Flächeninhalt $A= 9 cm^2$ .
Umgekehrt ist dann für ein Quadrat mit Flächeninhalt $A= 9 cm^2$ die zugehörige Seitenlänge $a= 3 cm$ .

Aufgabe 1

Im folgenden Applet wird der Seitenlänge $a$ eines Quadrats der Flächeninhalt $A$ zugeordnet.
Der Punkt P hat die Koordinaten ( $a| A$ ). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für $a$ einstellen.

a) Welcher Flächeninhalt $A$ ergibt sich für $a$ = 1; 1,5; 2 und 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!
b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge $a$ den Flächeninhalt $A$ eines Quadrats zuordnet!
c) Welchen Wert nimmt $A$ für $a$ = 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!
d) Stelle mit dem Schieberegler für den Flächeninhalt $A$ die Werte 1,44; 1,96; 2,25; und 7,29 ein. Lies die zugehörigen Seitenlängen $a$ im Applet ab und ergänze deine Tabelle!

Wie kannst du die Seitenlänge eines Quadrats bei gegebenem Flächeninhalt berechnen?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$a = sqrt A$

Aufgabe 2

a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für A ein und berechne a! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!

b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem ( $A$ entspricht der x-Achse, $a$ entspricht der y-Achse) dar!

In der vorherigen Aufgabe hast du einigen Flächeninhalten exemplarisch ihre Seitenlänge zugeordnet. Mit dem folgenden Applet kannst du diesen Zusammenhang verallgemeinern.

Aufgabe 3

a) Verändere mit dem Schieberegler den Wert von $A$ ! Wird jedem Wert $A$ ein Wert $a$ zugeordnet?
b) Welche Bedeutung haben die Koordinaten des Punktes P?
c) Was stellt die Spur des Punktes P dar?

Merke

Die Funktion $f$ , die jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel $sqrt x$ zuordnet heißt Quadratwurzelfunktion oder einfach nur Wurzelfunktion.

$f: x \rightarrow \ sqrt x$

Ihr Graph schaut so aus:

Aufgabe 4

Gib für die Quadratwurzelfunktion Definitions- und Wertemenge an.

Aufgabe 1 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) 1; 2,25; 4; 6,25; 9
b) A(a) = a²
c) 25; 100, 225

d) 1,2; 1,4; 1,5; 2,7

Aufgabe 2 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a)

b)

Aufgabe 3 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Ja! Jedem Wert $A$ wird genau ein Wert $a$ zugeordnet.
b) Die x-Koordinate des Punktes P ist die Größe A des Flächeninhalts, die y-Koordinate die Länge a der Seite des Quadrats.
c) Die Spur stellt den Graphen der Funktion a mit der Funktionsgleichung $a = sqrt A$ dar.

Aufgabe 4 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$D = R^+_0, W = R^+_0$

Die Wurzelfunktion hast du nun kennengelernt. Als nächstes kannst du zu Übungen oder Anwendungen oder Weitere Eigenschaften gehen.

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