Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 17. Januar 2011, 20:38 Uhr

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Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form $\textstyle \frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}^*$ als Exponenten haben.

Inhaltsverzeichnis

1 Die Graphen der Funktionen f(x) = x^1/n, n ∈ IN^*
- 1.1 Funktionsgraph kennenlernen
- 1.2 Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2
2 Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln
- 2.1 Beispiel: Quadratwurzeln
- 2.2 Beispiel: Kubikwurzel
3 Einfluss von Parametern
4 *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen
- 4.1 Einschränkung auf IR⁺₀

Die Graphen der Funktionen f(x) = x^1/n, n ∈ IN^*

Funktionsgraph kennenlernen

Aufgabe 1

Rechts siehst Du den Graphen der Funktion $f(x)=x^{\frac 1 n}$ für $n \in \{2,3,4,5,6\}$ .

Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
- Definitionsbereich
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
```

zu 1) Der Definitionsbereich ist IR⁺₀. Der kleinste Funktionswert y $=$ 0 wird für x $=$ 0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.

zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. Begründung: Es gilt 0^r $=$ 0 und 1^r $=$ 1 für alle $r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}$ .

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

Aufgabe 2

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Definitionsbereich
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
```

zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert y $=$ 0 wird für x $=$ 0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.

zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets 1^r $=$ 1 für alle $r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit $f(x)=x^{\frac 1 n}$ , $n \in \mathbb{N}^*.$

Merke:

Wegen $x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}$ nennt man diese Funktionen auch Wurzelfunktionen. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR⁺₀. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit $f(x)=x^{\frac 1 n}$ die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x) $=$ xⁿ und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur Umkehrfunktion siehe nächstes Kapitel).

Im Falle n $=$ 2 nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}$

Im Falle n $=$ 3 nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: $x^{\frac{1}{3}}$ bzw. $\sqrt[3]{x}$ .

Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:

Beispiel: Quadratwurzeln

Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonalen B in einem Quadrat der Seitenlänge a $=$ 1 über den Satz des Pythagoras $\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)$ zu:

$a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow$ $\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.$

Die Lösung $\textstyle d=-\sqrt{2}$ ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.

Auch die Länge der Raumdiagonale C im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: $B^2 + \!\,a^2 = C^2$ ) zu:

$\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow$ $\quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.$

Die Lösung ist also $\textstyle C = \sqrt{3}$ angeben.

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen V eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge s $=$ 5 ergibt sich über:

$V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.$

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V $=$ 27 durch ziehen der 3.-Wurzel:

$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.$

Einfluss von Parametern

Aufgabe 3

In obenstehendem Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern.

Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?

zu 1.) Der Parameter a bewirkt für a>1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für 0<a<1 eine Stauchung in y-Richtung; für a $=$ 0 erhält man eine konstante Funktion mit f(x) $=$ c. Wird a negativ, so wird f zu einer monoton fallenden Funktion.
zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert y der Wert c addiert wird.

*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)

Einschränkung auf IR⁺₀

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: $\sqrt[3]{-8}= -2,$

Wegen

(-2)³ $=$ -8

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

$-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.$

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei $f(x)=x^{\frac 1 n}$ für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:

$f(x) = \sqrt[n]{x}$ mit $n \in \mathbb{N}$ und $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$

Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.

Hier geht es weiter.

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-==3. Stufe==
+{{Potenzfunktionen}}
-<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
-filename="7_x1n.ggb" />
-<br><br>
+'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^*</math> als Exponenten haben.'''
-<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
+== Die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN<sup>*</sup> ==
-filename="8_ax1nc.ggb" />
+=== Funktionsgraph kennenlernen ===
+{| cellspacing="10"
+|- style="vertical-align:top;"
+| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
+Rechts siehst Du den Graphen der Funktion <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5,6\}</math>.<br />
+# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
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+#* größte und kleinste Funktionswerte
+# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
+:{{Lösung versteckt|
+: zu 1) Der Definitionsbereich ist IR<sup>+</sup><sub>0</sub>. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.
+: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. '''Begründung:''' Es gilt 0<sup>r</sup> <math>=</math>0 und 1<sup>r</sup> <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
+}}
+}}<br>
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+=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===
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+Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
+# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
+#* Definitionsbereich
+#* Symmetrie
+#* Monotonie
+#* größte und kleinste Funktionswerte
+# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
+:{{Lösung versteckt|
+: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.
+: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets 1<sup>r</sup> <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
+}}
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+filename="Woerler_001.ggb" />
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+<!--
+neue Datei {{ggb|Woerler_001.ggb|datei}}-->
+== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==
+Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}^*.</math>
+{{Merksatz|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist  (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR<sup>+</sup><sub>0</sub>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)<math>=</math> x<sup>n</sup> und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen | nächstes Kapitel]]).
+Im Falle n<math>=</math>2 nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
+:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>
+Im Falle n<math>=</math>3 nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.
+}}
+Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:
+=== Beispiel: Quadratwurzeln ===
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+|
+|- valign="top"
+|
+Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonalen B in einem Quadrat''' der Seitenlänge a<math>=</math>1 über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:
+:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
+Die Lösung <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
+! width="300" | [[Bild:diagonale.png|right|165px]]
+|- valign="top"
+| Auch die Länge der '''Raumdiagonale C im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = C^2</math>) zu:
+:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
+Die Lösung ist also <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle C = \sqrt{3}</math></font> angeben.
+| [[Bild:diagonale3.png|right|170px]]
+|}
+=== Beispiel: Kubikwurzel ===
+Das Volumen V eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge s<math>=</math>5 ergibt sich über:<br />
+:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>
+Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V<math>=</math>27 durch ziehen der 3.-Wurzel:
+:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>
+== Einfluss von Parametern ==
+<ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
+filename="8_ax1nc_w.ggb" />
+{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
+In obenstehendem Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern.<br />
+# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
+# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
+:{{Lösung versteckt|
+: zu 1.) Der Parameter a bewirkt für a>1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für 0<a<1 eine Stauchung in y-Richtung; für a<math>=</math>0 erhält man eine konstante Funktion mit f(x)<math>=</math>c. Wird a negativ, so wird f zu einer monoton fallenden Funktion.<br />zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert y der Wert c addiert wird.
+}}<br>
+}}
+<!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}-->
+== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
+<small>(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)</small>
+==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub> ====
+Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math>
+Wegen
+:(-2)<sup>3</sup> <math>=</math>-8
+erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:
+:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>
+Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:
+:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math>  mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>
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+{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
+|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
+|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.'''<br />
+[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Potenzfunktionen_4._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''
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Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

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Beispiel: Quadratwurzeln

Beispiel: Kubikwurzel

Einfluss von Parametern

*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

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