Potenzfunktionen - 1. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n Element der natürlichen Zahlen)
 
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{{Potenzfunktionen}}
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[[Potenzfunktionen|Start]] -[[Potenzfunktionen_Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen_1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_5. Stufe|5. Stufe]]
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n Element der natürlichen Zahlen ==
 
  
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Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, als n = 2, 4, 6, ..
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
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=== Gerade Potenzen ===
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<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
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filename="3_gerade_xn.ggb" />
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{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
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# Beschreibe die Graphen! Achte dabei auf
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| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
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* Symmetrie
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# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
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* Monotonie
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#* Symmetrie
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* größte und kleinste Funktionswerte
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#* Monotonie
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# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.  
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#* größte und kleinste Funktionswerte
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die vom Übergang von n = 4 zu n = 6 usw.!
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# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
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# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>2</sup>, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? LÖSUNG!
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.!
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# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
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:{{Lösung versteckt|
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:zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten <math>n \in \{0,2,4,6,...\}</math>. Dann gilt:
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:* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
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:* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
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:* Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.<br />
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:<br />
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:zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
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:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n<math>=</math>0 gilt (-1)<sup>0</sup> <math>=</math> 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>
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:* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist 1<sup>r</sup><math>=</math>r und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>.
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:<br />
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:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
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:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
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:zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
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: Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
 
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|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
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=== Ungerade Potenzen ===
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<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
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'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''
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# Beschreibe wieder die Graphen Achte dabei auf
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* Symmetrie
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{| <!--class="prettytable sortable" -->
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* Monotonie
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* größte und kleinste Funktionswerte
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| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
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filename="3_ungerade_xn.ggb" />
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die vom Übergang von n = 3 zu n = 5 usw.!
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{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=  
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# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
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#* Symmetrie
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#* Monotonie
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#* größte und kleinste Funktionswerte
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# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.!
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:{{Lösung versteckt|
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: zu 1) Wir betrachten hier Exponenten <math>n\in\{1,3,5,7,...\}</math>. Dann gilt:
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::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
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::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
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::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv'').
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: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.<br />
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:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math>
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:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0<sup>r</sup><math>=</math>0 und 1<sup>r</sup><math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
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== TESTE dein Wissen ==
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=== Teste dein Wissen ===
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{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=  
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{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
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Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
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Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
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# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?  
 
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?  
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# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?  
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# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
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:{{Lösung versteckt|
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:Der Punkt P(2;32) wird für n<math>=</math>5 durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br>
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:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n<math>=</math>3 durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>.
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== Die Graphen von f(x) = a x<sup>n</sup>, mit a <small>&isin;</small> IR ==
  
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== Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl ==
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'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
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<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
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{| <!--class="prettytable sortable"-->
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|-  style="vertical-align:top;"
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| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
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# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
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{{ Lösung versteckt |
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: zu 1.)
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:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
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:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
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:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.
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:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
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: zu 2.)
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:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
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|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
 
filename="4_axn.ggb" />
 
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{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
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# Wir betrachten die Graphen zu f(x) = a*x<sup>2</sup>, also n = 2. Beschreibe die Veränderung des Graphen bei der Veränderung des Parameters a!
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a*x<sup>n</sup> bei der Veränderung des Parameter a ! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
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== TESTE dein Wissen ==
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{| <!--class="prettytable sortable"-->  
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{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
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Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
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| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
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# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(??;??) und B(??;??) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
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# Bestimme a und n so, ....
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<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
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filename="4_axn_test.ggb" />
 
filename="4_axn_test.ggb" />
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{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
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Wir betrachten wieder die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
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# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-2;4)''' und '''B(1;-0,5)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
 +
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(0,5;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
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{{ Lösung versteckt |
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:zu 1.) Lösung: a<math>=</math>-0,5 und n<math>=</math>3. <br />
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: '''Begründung:''' An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5</math> <br />
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:: und an der Stelle x<math>=</math>-2 ist <math>f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4</math> <br />
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:zu 2.) Es gibt keine Lösung! <br />
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: '''Begründung:''' <br />
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::* Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion <math>f(x)=a\cdot x^n</math> mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. <br />
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::* Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a<math>=</math>1 sein (vgl. Aufgabe 4). <br />
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::* Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss <math>f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3</math> gelten. <br />
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:: Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die <math>(0,\!5)^n=3</math> erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da <math>(0,\!5)^n \to 1</math> für <math>n \to \infty.</math>
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=== Teste Dein Wissen ===
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* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
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|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
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|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.'''<br />
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[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Potenzfunktionen_2._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''
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Aktuelle Version vom 17. Januar 2011, 10:50 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - Test


Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

  Aufgabe 1  Stift.gif
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x2 zu f(x) = x4, dann die beim Übergang von f(x) = x4 zu f(x) = x6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xn, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten n \in \{0,2,4,6,...\}. Dann gilt:
  • Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
  • Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.

zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
  • Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n=0 gilt (-1)0 = 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten \textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\} sind Vielfache von 2, also von der Art 2 \cdot k für alle k \in {\Bbb N}; dann gilt: (-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1 für alle k \in {\Bbb N}.
  • Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige r \in {\Bbb R} ist 1r=r und damit insbesondere für r \in {\Bbb N}.

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.

zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kn-facht.
Symbolisch f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x).


Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x1 zu f(x) = x3, dann die beim Übergang von f(x) = x3 zu f(x) = x5 usw.!
zu 1) Wir betrachten hier Exponenten n\in\{1,3,5,7,...\}. Dann gilt:
  • Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
  • Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; Beachte: für n\in\{3,5,7,...\} haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
  • Der Wertebereich der Funktion ist ganz {\Bbb R}, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit surjektiv).
zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.
Begründung für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x=-1 ist f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}. Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: (-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.
Begründung für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0r=0 und 1r=1 für alle r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}.

Teste dein Wissen

  Aufgabe 3  Stift.gif

Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = xn, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
  2. Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
Der Punkt P(2;32) wird für n=5 durchlaufen: f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32.
Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n=3 durchlaufen: f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375.


Die Graphen von f(x) = a xn, mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a \cdot x^n, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

  Aufgabe 4  Stift.gif
  1. Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a \cdot x^2. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen von f(x) = a \cdot x^n bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

zu 1.)
  • Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
  • Für a=1 bleibt er unverändert
  • Für a=0 wird die Funktion zur Nullfunktion f(x)=0 für alle x.
  • Der Wert a=-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
zu 2.)
Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.


  Aufgabe 5  Stift.gif

Wir betrachten wieder die Funktionen der Form f(x) = a \cdot x^n, n eine natürliche Zahl

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.


zu 1.) Lösung: a=-0,5 und n=3.
Begründung: An der Stelle x=1 ist f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5
und an der Stelle x=-2 ist f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4
zu 2.) Es gibt keine Lösung!
Begründung:
  • Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion f(x)=a\cdot x^n mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt.
  • Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a=1 sein (vgl. Aufgabe 4).
  • Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3 gelten.
Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die (0,\!5)^n=3 erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da (0,\!5)^n \to 1 für n \to \infty.

Teste Dein Wissen


Maehnrot.jpg Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.

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