Potenzfunktionen - 1. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, | + | == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>∈</small> IN == |
− | + | === Gerade Potenzen === | |
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− | + | '''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...''' | |
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− | {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | + | |- style="vertical-align:top;" |
− | # Beschreibe | + | | {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= |
− | * Symmetrie | + | # Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf |
− | * Monotonie | + | #* Symmetrie |
− | * größte und kleinste Funktionswerte | + | #* Monotonie |
− | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. | + | #* größte und kleinste Funktionswerte |
− | # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die | + | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> |
− | # Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup> | + | # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.! |
+ | # Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? | ||
+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | :zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten <math>n \in \{0,2,4,6,...\}</math>. Dann gilt: | ||
+ | :* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte. | ||
+ | :* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse. | ||
+ | :* Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.<br /> | ||
+ | :<br /> | ||
+ | :zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam. | ||
+ | :* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n<math>=</math>0 gilt (-1)<sup>0</sup> <math>=</math> 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math> | ||
+ | :* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist 1<sup>r</sup><math>=</math>r und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>. | ||
+ | :<br /> | ||
+ | :zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert. | ||
+ | :: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer. | ||
+ | :<br /> | ||
+ | :zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br> | ||
+ | : Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>. | ||
}} | }} | ||
− | <br> | + | }}<br> |
+ | || <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | ||
+ | filename="3_gerade_xn.ggb" /> | ||
+ | |} | ||
− | == Ungerade Potenzen == | + | === Ungerade Potenzen === |
− | Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, .. | + | '''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..''' |
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− | {{Arbeiten|NUMMER= | + | {| <!--class="prettytable sortable" --> |
− | # Beschreibe wieder die Graphen Achte dabei auf | + | |- style="vertical-align:top;" |
− | * Symmetrie | + | | <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" |
− | * Monotonie | + | filename="3_ungerade_xn.ggb" /> |
− | * größte und kleinste Funktionswerte | + | || |
− | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! | + | {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= |
− | # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die | + | # Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf |
+ | #* Symmetrie | ||
+ | #* Monotonie | ||
+ | #* größte und kleinste Funktionswerte | ||
+ | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre> | ||
+ | # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.! | ||
+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | : zu 1) Wir betrachten hier Exponenten <math>n\in\{1,3,5,7,...\}</math>. Dann gilt: | ||
+ | ::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0) | ||
+ | ::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend. | ||
+ | ::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv''). | ||
+ | : zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.<br /> | ||
+ | :: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math> | ||
+ | :: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0<sup>r</sup><math>=</math>0 und 1<sup>r</sup><math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>. | ||
}} | }} | ||
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+ | |} | ||
− | + | === Teste dein Wissen === | |
− | + | {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | |
− | + | Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl | |
− | {{Arbeiten|NUMMER= | + | |
− | Wir betrachten die Funktionen | + | |
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)? | # Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)? | ||
− | # Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)? | + | # Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)? |
+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | :Der Punkt P(2;32) wird für n<math>=</math>5 durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br> | ||
+ | :Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n<math>=</math>3 durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>. | ||
+ | }} | ||
}} | }} | ||
− | < | + | == Die Graphen von f(x) = a x<sup>n</sup>, mit a <small>∈</small> IR == |
− | + | '''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>∈</small> IN, a <small>∈</small> IR .''' | |
− | + | {| <!--class="prettytable sortable"--> | |
− | < | + | |- style="vertical-align:top;" |
− | + | | {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT= | |
− | <ggb_applet height=" | + | # Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! |
+ | # Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten. | ||
+ | {{ Lösung versteckt | | ||
+ | : zu 1.) | ||
+ | :* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht. | ||
+ | :* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert | ||
+ | :* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x. | ||
+ | :* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus. | ||
+ | : zu 2.) | ||
+ | :: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten. | ||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
+ | || <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | ||
filename="4_axn.ggb" /> | filename="4_axn.ggb" /> | ||
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− | < | + | {| <!--class="prettytable sortable"--> |
− | + | |- style="vertical-align:top;" | |
− | + | | <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |
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− | <ggb_applet height=" | + | |
filename="4_axn_test.ggb" /> | filename="4_axn_test.ggb" /> | ||
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+ | {{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT= | ||
+ | Wir betrachten wieder die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl | ||
+ | # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-2;4)''' und '''B(1;-0,5)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben. | ||
+ | # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(0,5;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. | ||
+ | <br /> | ||
+ | {{ Lösung versteckt | | ||
+ | :zu 1.) Lösung: a<math>=</math>-0,5 und n<math>=</math>3. <br /> | ||
+ | : '''Begründung:''' An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5</math> <br /> | ||
+ | :: und an der Stelle x<math>=</math>-2 ist <math>f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4</math> <br /> | ||
+ | :zu 2.) Es gibt keine Lösung! <br /> | ||
+ | : '''Begründung:''' <br /> | ||
+ | ::* Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion <math>f(x)=a\cdot x^n</math> mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. <br /> | ||
+ | ::* Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a<math>=</math>1 sein (vgl. Aufgabe 4). <br /> | ||
+ | ::* Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss <math>f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3</math> gelten. <br /> | ||
+ | :: Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die <math>(0,\!5)^n=3</math> erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da <math>(0,\!5)^n \to 1</math> für <math>n \to \infty.</math> | ||
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+ | === Teste Dein Wissen === | ||
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+ | * [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!] | ||
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+ | |align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]] | ||
+ | |align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.'''<br /> | ||
+ | [[Bild:Pfeil.gif]] [[Potenzfunktionen_2._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.''' | ||
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Aktuelle Version vom 17. Januar 2011, 10:50 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
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Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
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Teste dein Wissen
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = xn, n eine natürliche Zahl
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Die Graphen von f(x) = a xn, mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen mit , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
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Teste Dein Wissen
Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten. |