Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Medienvielfalt-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Aufgabe 3 überarbeitet)
 
(50 dazwischenliegende Versionen von 7 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
−
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
+
{{Potenzfunktionen}}
−
[[Potenzfunktionen|Start]] -[[Potenzfunktionen_Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen_1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_5. Stufe|5. Stufe]]
+
−
</div>
+
  
−
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
+
 
 +
== Die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
 
=== Gerade Potenzen ===
 
=== Gerade Potenzen ===
  
−
'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
+
'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
  
 
{| cellspacing="10"
 
{| cellspacing="10"
Zeile 19: Zeile 18:
 
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
 
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
 
:{{Lösung versteckt|
 
:{{Lösung versteckt|
−
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\frac 1k</math>-facht. <br>
+
: zu 1.)
−
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac 1k \cdot f(x)</math>.
+
:* Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
 +
:* Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall <math>]-\infty;0[</math> streng monoton steigend und im Intervall <math>]0;\infty[</math> streng monoton fallend.
 +
:* Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind <math>]0; \infty[</math>. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.
 +
:<br />
 +
: zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
 +
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.</math> Da wir hier nur gerade Zahlen <math>n \in \{2,4,6,...\}</math> betrachten gilt weiter: <math>\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1</math> unabhängig von n.
 +
:: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
 +
:<br />
 +
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
 +
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
 +
:<br />
 +
: zu 4.)
 +
: Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\textstyle \frac{1}{k^n}</math>-facht. <br>
 +
:: Symbolisch: <math>f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x)</math>.
 
}}
 
}}
 
}}<br>
 
}}<br>
Zeile 26: Zeile 38:
 
filename="3_gerade_x_minus_n.ggb" />
 
filename="3_gerade_x_minus_n.ggb" />
 
|}
 
|}
 +
 +
=== Parabel und Hyperbel ===
 +
 +
Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=x<sup>n</sup> und f(x)=x<sup>-n</sup> kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
 +
{{ Merksatz | MERK =
 +
* Die Graphen von Funktionen f(x)=x<sup>n</sup> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. <BR>
 +
* Für f(x)=x<sup>2</sup> heißt der Graph '''Normalparabel'''; für f(x)=x<sup>3</sup> dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung''').
 +
* Die Graphen von Funktionen f(x)=x<sup>-n</sup> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
 +
}}
 +
<br />
  
 
=== Ungerade Potenzen ===
 
=== Ungerade Potenzen ===
  
−
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit <math>f(x) = x^{-n}</math>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''  
+
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''  
  
 
{| <!--class="prettytable sortable" -->
 
{| <!--class="prettytable sortable" -->
Zeile 43: Zeile 65:
 
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
 
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
 
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-1</sup> zu f(x) = x<sup>-3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-3</sup> zu f(x) = x<sup>-5</sup> usw.!
 
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-1</sup> zu f(x) = x<sup>-3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-3</sup> zu f(x) = x<sup>-5</sup> usw.!
 +
{{ Lösung versteckt |
 +
zu 1.)
 +
:* Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).
 +
::  Beachte: für n<math>=</math>1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y<math>=</math>x.
 +
:* Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}</math> streng monoton fallend.
 +
:* Als Funktionswerte werden alle Werte aus <math>\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}</math>. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.
 +
<br />
 +
zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).
 +
: '''Begründung''' für Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n</math>. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist <math>\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1</math> für alle betrachteten n.
 +
: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
 +
zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.
 +
: In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.
 +
: In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.
 +
}}
 
}}
 
}}
 
|}
 
|}
Zeile 48: Zeile 84:
 
=== Teste dein Wissen ===
 
=== Teste dein Wissen ===
 
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=  
 
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=  
−
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl
+
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl
−
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\frac{1}{16})</math>  
+
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>?
−
# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q \left( 0,5;8 \right)</math>?
+
# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>?
 
:{{Lösung versteckt|
 
:{{Lösung versteckt|
−
# Die Lösung ist <math>n=4</math>, dann gilt nämlich <math>f(2) = \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}</math>.
+
zu 1.) Die Lösung ist n<math>=</math>4.
−
# Die Lösung ist <math>n=3</math>, dann gilt nämlich <math>f(0,5) = \frac{1}{(0,5)^3} = 8</math>
+
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math>
 +
zu 2.) Die Lösung ist n<math>=</math>3.
 +
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math>
 
}}
 
}}
 
}}
 
}}
  
−
== Die Graphen von f(x) = a*x<sup>-n</sup>, mit a <small>&isin;</small> IR ==
+
== Die Graphen von f(x) = a x<sup>-n</sup> mit a <small>&isin;</small> IR ==
  
−
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
+
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
  
 
{| <!--class="prettytable sortable"-->  
 
{| <!--class="prettytable sortable"-->  
Zeile 65: Zeile 103:
 
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=  
 
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=  
 
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!  
 
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!  
−
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
+
# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
 +
{{ Lösung versteckt |
 +
: zu 1.)
 +
:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
 +
:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
 +
:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.
 +
:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
 +
: zu 2.)
 +
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
 +
}}
 
}}
 
}}
 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
 
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
Zeile 79: Zeile 126:
 
||  
 
||  
 
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=  
 
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=  
−
Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math>, n eine natürliche Zahl
+
Wir betrachten wieder die Funktionen <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math> für eine eine natürliche Zahl n.
−
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
+
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft.<br /> Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
−
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
+
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
 
:{{Lösung versteckt|
 
:{{Lösung versteckt|
−
# <math>a = 2, n = 1</math>.
+
: zu 1.) Die Lösung ist a<math>=</math>2, n<math>=</math>1.
−
# Hier gibt es wegen der Symmetrie des Graphen keine Lösungen.}}
+
:: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und  <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math>
−
}}<br>
+
: zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
−
 
+
: '''Begründung:'''
 +
:* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
 +
:* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a<math>=</math>1 sein.
 +
: Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x)<math>=</math> x<sup>-n</sup> mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>3 hat.
 +
}}
 +
}}
 
|}
 
|}
  
 
=== Teste Dein Wissen ===
 
=== Teste Dein Wissen ===
  
−
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
 
 
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]
 
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]
 +
* [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_II.html Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!]
 +
<br /><br />
 +
 +
----
 +
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
 +
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
 +
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.'''<br />
 +
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Potenzfunktionen_3._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''
 +
 +
|}

Aktuelle Version vom 17. Januar 2011, 11:09 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - Test


Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

  Aufgabe 1  Stift.gif
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
zu 1.)
  • Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall ]-\infty;0[ streng monoton steigend und im Intervall ]0;\infty[ streng monoton fallend.
  • Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind ]0; \infty[. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.

zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
Begründung für den Punkt (-1;1): An der Stelle x=-1 ist f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}. Da wir hier nur gerade Zahlen n \in \{2,4,6,...\} betrachten gilt weiter: \textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1 unabhängig von n.
Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x=1 ist f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1 für alle n \in {\Bbb N}.

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.

zu 4.)
Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-\textstyle \frac{1}{k^n}-facht.
Symbolisch: f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x).


Parabel und Hyperbel

Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xn und f(x)=x-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:

Maehnrot.jpg
Merke:
  • Die Graphen von Funktionen f(x)=xn und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung.
  • Für f(x)=x2 heißt der Graph Normalparabel; für f(x)=x3 dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung).
  • Die Graphen von Funktionen f(x)=x-n und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.


Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.!

zu 1.)

  • Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).
Beachte: für n=1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y=x.
  • Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich \scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\} streng monoton fallend.
  • Als Funktionswerte werden alle Werte aus \scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.


zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).

Begründung für Punkt (-1;-1): An der Stelle x=-1 ist f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist \textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1 für alle betrachteten n.
Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x=1 ist f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1 für alle n \in {\Bbb N}.

zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.

In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.
In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.

Teste dein Wissen

  Aufgabe 3  Stift.gif

Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;\textstyle \frac{1}{16})?
  2. Für welches n verläuft der Graph durch Q ( 0,\!5;8 )?

zu 1.) Die Lösung ist n=4.

Begründung: Es gilt f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.

zu 2.) Die Lösung ist n=3.

Begründung: Es gilt f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8


Die Graphen von f(x) = a x-n mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form f(x) = a \cdot x^{-n} , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

  Aufgabe 4  Stift.gif
  1. Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a \cdot x^{-2}. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen von f(x) = a \cdot x^{-n} bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

zu 1.)
  • Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
  • Für a=1 bleibt er unverändert
  • Für a=0 wird die Funktion zur Nullfunktion f(x)=0 für alle x.
  • Der Wert a=-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
zu 2.)
Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.


  Aufgabe 5  Stift.gif

Wir betrachten wieder die Funktionen f(x) = a \cdot x^{-n} für eine eine natürliche Zahl n.

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft.
    Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
zu 1.) Die Lösung ist a=2, n=1.
Begründung: f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2 und f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.
zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
Begründung:
  • Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
  • Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a=1 sein.
Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x)= x-n mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x=1 den Funktionswert f(x)=1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x=1 den Funktionswert f(x)=3 hat.

Teste Dein Wissen



Maehnrot.jpg Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.

Pfeil.gif   Hier geht es weiter.

Von „http://medienvielfalt.zum.de/index.php?title=Potenzfunktionen_-_2._Stufe&oldid=4807“