Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Trigonometrische Funktionen}}
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[[Trigonometrische_Funktionen|Einführung]] - [[Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter|Station 1: Einfluss der Parameter]] - [[Trigonometrische Funktionen/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr]] - [[Trigonometrische Funktionen/Anwendungen in der Physik|Station 3: Anwendungen in der Physik]] - [[Trigonometrische Funktionen/Zusatzaufgaben|Station 4: Zusatzaufgaben]]
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===FAQ===  
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[[Trigonometrische_Funktionen/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]
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===Informationen aus dem Graphen===
 
===Informationen aus dem Graphen===
  
 
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Auf diesem Bild ist ein Graph einer allgemeinen Sinusfunktion (blau) zu sehen. Von diesem sollen nun einige Eigenschaften bestimmt werden. Als Hilfe wurde zusätzlich die Sinuskurve eingezeichnet. <br>
 
Auf diesem Bild ist ein Graph einer allgemeinen Sinusfunktion (blau) zu sehen. Von diesem sollen nun einige Eigenschaften bestimmt werden. Als Hilfe wurde zusätzlich die Sinuskurve eingezeichnet. <br>
 
# Gib die Amplitude des Graphen an!
 
# Gib die Amplitude des Graphen an!
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# Gib die Wertemenge an.
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# Gib die Wertemenge an!
 
# Bestimme die Periode!
 
# Bestimme die Periode!
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# Gib die Nullstellen der Funktion an.<br>
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# An welchen Stellen sind die Funktionswerte am kleinsten und wo sind sie am größten? <br>
 
# An welchen Stellen sind die Funktionswerte am kleinsten und wo sind sie am größten? <br>
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# Nenne jeweils einen Bereich in dem der Graph streng monoton fallend bzw. steigend ist?
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# Nenne jeweils einen Bereich in dem der Graph streng monoton fallend bzw. steigend ist!
 
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===Bestimmung einer Funktionsgleichung aus dem Graphen===
 
===Bestimmung einer Funktionsgleichung aus dem Graphen===
  
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Beachte, zu einem Graphen kann es mehrere zugehörige Funktionsgleichungen geben. D.h. die Antwort auf die Frage nach einer Funktionsgleichung zu einem gegebenen Graphen muss nicht immer eindeutig sein.
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Beachte, zu einem Graphen kann es mehrere zugehörige Funktionsgleichungen geben! D.h., die Antwort auf die Frage nach einer Funktionsgleichung zu einem gegebenen Graphen muss nicht immer eindeutig sein.
  
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Um zu sehen wie man aus dem Graphen einer Funktion eine zugehörige Funktionsgleichung bestimmen kann, klicke [[Trigonometrische_Funktionen/Bestimmung_der_Funktionsgleichung|hier]].}}
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Um zu sehen wie man aus dem Graphen einer Funktion eine zugehörige Funktionsgleichung bestimmen kann, klicke in die leeren Kontrollkästchen.  
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Bestimme zu folgenden Graphen je einen zugehörigen Funktionsterm der Form <math> x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d </math>.
 
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Bestimme zu folgenden Graphen je eine zugehörige Funktionsgleichung der Form <math> x\rightarrow a\cdot\sin(b\cdot x+c)+d </math>.
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'''Jetzt noch was zum Knobeln!!!'''  
 
'''Jetzt noch was zum Knobeln!!!'''  
  
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# In diesem [http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/applet_b_grapherk3.html Applet] kannst zu zeigen, ob du zu gegeben Graphen den zugehörigen Term findest.  
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# Gib einen Funktionsterm zu dem Graphen an, den man erhält falls die Sinuskurve um zwei nach links und um 3 nach oben verschoben wird! Wie lautet die Gleichung, falls zusätzlich die Periode halbiert werden soll?}}
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{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
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# In diesem <!-- [http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/applet_b_grapherk3.html Applet]--> [http://www.mathe-online.at/galerie/fun2/fun2.html#grapherk3 Applet] (Bitte klicke dann auf '''Graphen erkennen 3'''!) <!-- und in diesem [[Trigonometrische_Funktionen/Bestimmung_der_Funktionsgleichung_aus_dem_Graphen/Applet|Applet]] -->kannst zu zeigen, ob du zu den gegebenen Graphen den zugehörigen Term findest.  
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# Gib einen Funktionsterm zu dem Graphen an, den man erhält, falls die Sinuskurve um zwei nach links und um 3 nach oben verschoben wird! Wie lautet die Gleichung, falls zusätzlich die Periode halbiert werden soll?}}
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''Lösung zu Aufgabe ''1: {{versteckt|1=
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'''Anwendungsbeispiel - Erdbeben'''
  
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Amplitude: <math>\ a=3</math>
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Die Abbildung zeigt dir, wie man die Bewegung eines schwingenden Objekts mit Hilfe eines Streifen Papier, der an ihm mit konstanter Geschwindigkeit vorbei gezogen wird, "festhalten kann".
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Auf diese Weise kann die Auslenkung als Funktion der Zeit aufgezeichnet werden. Nach diesem Prinzip können beispielsweise die Schwingungen, die ein Erdbeben auslöst, protokolliert werden.
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Die folgende Abbildung zeigt ein solches "Protokoll".
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* Wie viele Einzelschwingungen führt das Objekt pro Sekunde aus? [[Trigonometrische_Funktionen/Anwendungen_in_der_Physik/Tipp|Tipp!]]
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* Stelle die Funktionsgleichung der Schwingung auf!
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:[[bild:Abb2.gif|left|400px]]
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Wertemenge: <math> W = [-3;\ 3] </math>
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Periode: <math>\ \pi</math>
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Super! Nun hast du es geschafft und das Ende der zweiten Station erreicht.
  
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Nullstellen: <math>x_N = \frac{1}{3}\pi+k\cdot \frac{\pi}{2} </math> mit <math>\ k \in \Z</math> oder <math>x_N \in \{ ...; -\frac{1}{6}\pi;\ \frac{1}{3}\pi;\ \frac{5}{6}\pi;\ \frac{4}{3}\pi;\ \frac{11}{6}\pi;\ ...\}</math>
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<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!
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Tiefpunkte: <math>x_T = \frac{7}{12}\pi + k \cdot \pi</math> mit <math>\ k \in \Z</math> oder <math>x_T \in \{ ...; -\frac{5}{12}\pi;\ \frac{7}{12}\pi;\ \frac{19}{12}\pi;\ ...\}</math>
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Hochpunkte: <math>x_H = \frac{1}{12}\pi + k \cdot \pi</math> mit <math>\ k \in \Z</math> oder <math>x_T \in \{ ...; \frac{1}{12}\pi;\ \frac{13}{12}\pi;\ \frac{25}{12}\pi;\ ...\} </math>
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streng monoton fallend: <math>...;\ [\frac{1}{12}\pi;\ \frac{7}{12}\pi];\ [\frac{13}{12}\pi;\ \frac{19}{12}\pi];\ ...</math>
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streng monoton steigend: <math>...;\ [-\frac{5}{12}\pi;\ \frac{1}{12}\pi];\ [\frac{7}{12}\pi;\ \frac{13}{12}\pi];\ [\frac{19}{12}\pi;\ \frac{25}{12}\pi];\ ...</math>  
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Falls du noch etwas üben möchtest, so löse die Zusatzaufgabe!
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In dem unteren Bild sind die Sinuskurve (rot) und ein Graph einer allgemeinen Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.<br>
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# Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?<br>
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# Stelle in der Zeichnung fest, an welchen Stellen der schwarze Graph Nullstellen besitzt und notiere sie!<br>
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# Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte bzw. Tiefpunkte?<br>
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# Wo ist er streng monoton fallend bzw. steigend?
 
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||{{#ev:youtube|uNRxqbtKXOU|150}}
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<!-- [[bild:sin(2x-2).jpg|center]] -->
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:[[bild:sin(2x-2).jpg]]
  
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''Lösung zu Aufgabe ''3:
 
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[[Trigonometrische Funktionen/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen/Aufgabe3|Hier]] kannst Du überprüfen, ob deine Ergebnisse stimmen. Stelle dazu die Schieberegler entsprechend ein.
 
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''Lösung zu Aufgabe ''4: {{versteckt|
 
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2. Aufgabe: <math> x\rightarrow \sin(x+2)+3 </math> und <math> x\rightarrow \sin(2\cdot x+2)+3 </math> }}
 
 
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Super! Nun hast du es geschafft und das Ende des Lernpfades erreicht.
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[[Trigonometrische_Funktionen/Bestimmung_der_Funktionsgleichung_aus_dem_Graphen/Lösung_zu_Aufgabe_1|Lösung zu Aufgabe 1]]
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<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lese dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alle gelb hinterlegten Texte übernommen hast.
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Nun hast du es wirklich geschafft. Du kannst stolz sein - gut gemacht! Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!
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===Experimentier-Ecke===
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[[Trigonometrische Funktionen/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen/Aufgabe3|Lösung zu Aufgabe 2]]
  
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{{Arbeit|ARBEIT=
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[[Trigonometrische_Funktionen/Bestimmung_der_Funktionsgleichung_aus_dem_Graphen/Lösung_zu_Aufgabe_3|Lösung zu Aufgabe 3]]
  
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Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.
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[[Trigonometrische_Funktionen/Bestimmung_der_Funktionsgleichung_aus_dem_Graphen/Lösung_zu_Aufgabe_4|Lösung zu Aufgabe 4]]
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[[Trigonometrische_Funktionen/Bestimmung_der_Funktionsgleichung_aus_dem_Graphen/Lösung_zu_Aufgabe_5|Lösung zu Aufgabe 5]]
  
 
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Aktuelle Version vom 3. Juli 2016, 11:04 Uhr

Einführung - Einfluss der Parameter - Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr - Anwendungen in der Physik

FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Hefteintrag: Formuliere eine Überschrift und mache dir Notizen zu den Aufgaben!

Informationen aus dem Graphen

InfoausdemGraphen 3.png

  Aufgabe 1  Stift.gif

Auf diesem Bild ist ein Graph einer allgemeinen Sinusfunktion (blau) zu sehen. Von diesem sollen nun einige Eigenschaften bestimmt werden. Als Hilfe wurde zusätzlich die Sinuskurve eingezeichnet.

  1. Gib die Amplitude des Graphen an!
  2. Gib die Wertemenge an!
  3. Bestimme die Periode!
  4. Gib die Nullstellen der Funktion an!
  5. An welchen Stellen sind die Funktionswerte am kleinsten und wo sind sie am größten?
  6. Nenne jeweils einen Bereich in dem der Graph streng monoton fallend bzw. steigend ist!

Bestimmung einer Funktionsgleichung aus dem Graphen

Maehnrot.jpg
Merke:

Beachte, zu einem Graphen kann es mehrere zugehörige Funktionsgleichungen geben! D.h., die Antwort auf die Frage nach einer Funktionsgleichung zu einem gegebenen Graphen muss nicht immer eindeutig sein.

Um zu sehen wie man aus dem Graphen einer Funktion eine zugehörige Funktionsgleichung bestimmen kann, klicke hier.


  Aufgabe 2  Stift.gif

Bestimme zu folgenden Graphen je einen zugehörigen Funktionsterm der Form x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d .

Kontrolle 5.jpg


Jetzt noch was zum Knobeln!!!

  Aufgabe 3  Stift.gif
  1. In diesem Applet (Bitte klicke dann auf Graphen erkennen 3!) kannst zu zeigen, ob du zu den gegebenen Graphen den zugehörigen Term findest.
  2. Gib einen Funktionsterm zu dem Graphen an, den man erhält, falls die Sinuskurve um zwei nach links und um 3 nach oben verschoben wird! Wie lautet die Gleichung, falls zusätzlich die Periode halbiert werden soll?

Anwendungsbeispiel - Erdbeben

Abb1.gif
  Aufgabe 4  Stift.gif

Die Abbildung zeigt dir, wie man die Bewegung eines schwingenden Objekts mit Hilfe eines Streifen Papier, der an ihm mit konstanter Geschwindigkeit vorbei gezogen wird, "festhalten kann". Auf diese Weise kann die Auslenkung als Funktion der Zeit aufgezeichnet werden. Nach diesem Prinzip können beispielsweise die Schwingungen, die ein Erdbeben auslöst, protokolliert werden. Die folgende Abbildung zeigt ein solches "Protokoll".

  • Wie viele Einzelschwingungen führt das Objekt pro Sekunde aus? Tipp!
  • Stelle die Funktionsgleichung der Schwingung auf!
Abb2.gif

Super! Nun hast du es geschafft und das Ende der zweiten Station erreicht.

Hefteintrag: Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!

Falls du noch etwas üben möchtest, so löse die Zusatzaufgabe!

  Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe  Stift.gif

In dem unteren Bild sind die Sinuskurve (rot) und ein Graph einer allgemeinen Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.

  1. Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?
  2. Stelle in der Zeichnung fest, an welchen Stellen der schwarze Graph Nullstellen besitzt und notiere sie!
  3. Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte bzw. Tiefpunkte?
  4. Wo ist er streng monoton fallend bzw. steigend?
Sin(2x-2).jpg

Lösung zu Aufgabe 1

Lösung zu Aufgabe 2

Lösung zu Aufgabe 3

Lösung zu Aufgabe 4

Lösung zu Aufgabe 5

Weiter geht es mit

Anwendungen in der Physik

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