Einfluss von b: Unterschied zwischen den Versionen

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# Überlege dir, wie sich die Werte <math> \ b = 3  </math>  und <math> \ b = -1 </math> sowie <math> \ b = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.  <br>
 
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> \ b = 3  </math>  und <math> \ b = -1 </math> sowie <math> \ b = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.  <br>
 
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br>
 
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br>
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# Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
 
 
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||{{#ev:youtube|mSgduUqD_RE|150}}
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{{Arbeiten|NUMMER=B2|ARBEIT=
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Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
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Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
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:<math> x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) </math>.  
 
:<math> x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) </math>.  
  
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{{Arbeiten|NUMMER=B2|ARBEIT=
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<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="cos_b.ggb" /><br>  
 
<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="cos_b.ggb" /><br>  
  
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Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit obige Aufgaben eins bis vier nochmals.
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Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgaben B1/ 2-4 noch einmal.
 
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||{{#ev:youtube|mSgduUqD_RE|150}}
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{{Arbeiten|NUMMER=B3|ARBEIT=
 
  
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Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
 
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''Lösung zu Aufgabe B''1: {{versteckt|
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[[Einfluss_von_b/Lösung_zu_Aufgabe_B1|Lösung zu Aufgabe B1]]
  
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{{Merksatz|MERK=
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[[Einfluss_von_b/Lösung_zu_Aufgabe_B2|Lösung zu Aufgabe B2]]
−
Man erhält den Graph der Funktion
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−
:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>
+
−
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>\ x</math>-Achse. Genauer:
+
−
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>\ b</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestaucht.
+
−
* Ist der Betrag von <math>\ b</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestreckt.
+
−
* Falls <math> \ b </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>\ y</math>-Achse gespiegelt.
+
−
Die Periode der Funktion ist <math>\frac{2\pi}{|b|}</math>.</span>
+
  
−
D.h., wenn man z.B. <math>\ b </math> verdoppelt, so halbiert sich die Periode. }}
+
[[Einfluss_von_b/Lösung_zu_Aufgabe_B3|Lösung zu Aufgabe B3]]
  
−
<graphviz>
+
[[Einfluss_von_b/Lösung_zu_Aufgabe_B4|Lösung zu Aufgabe B4]]
−
digraph G {
+
−
rankdir=LR;
+
−
"Start"-> "|b| > 1";
+
−
"Start"-> "|b| < 1";
+
−
"|b| > 1"->"Stauchung in x-Richtung \n mit dem Faktor |1:b|";
+
−
"Stauchung in x-Richtung \n mit dem Faktor |1:b|" -> "b > 0";
+
−
"b > 0" -> "Ziel";
+
−
"Stauchung in x-Richtung \n mit dem Faktor |1:b|" -> "b < 0";
+
−
"b < 0" -> "Spiegelung an \n der y-Achse";
+
−
"Spiegelung an \n der y-Achse"-> "Ziel";
+
−
"|b| < 1"-> "Streckung in x-Richtung \n mit dem Faktor |1:b|";
+
−
"Streckung in x-Richtung \n mit dem Faktor |1:b|" -> "b > 0";
+
−
"Streckung in x-Richtung \n mit dem Faktor |1:b|" -> "b < 0";
+
−
}
+
−
</graphviz>
+
−
 
+
−
 
+
−
[[Bild:N_sin_b.jpg|center]]
+
−
 
+
−
}}
+
−
 
+
−
''Lösung zu Aufgabe B''2: {{versteckt|
+
−
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> \ b </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
+
−
    [[Bild:N_cos_b.jpg|center]]
+
−
}}
+
−
 
+
−
''Lösung zu Aufgabe B''3: {{versteckt|
+
−
Eine mögliche Begründung:
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−
 
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:Es gilt:
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−
 
+
−
::<math>\sin(x)=\sin\left(b\cdot\frac{x}{b}\right)</math>
+
−
 
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−
:Dies bedeutet, dass die Funktion <math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math> schon an der Stelle <math>\frac{x}{b}</math> den Funktionswert von <math> x \rightarrow \sin (x ) </math> annimmt.
+
−
 
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−
}}
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Aktuelle Version vom 12. Juli 2009, 15:35 Uhr

FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Einfluss von b

Wir betrachten nun den Einfluss von \ b in

x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) .


  Aufgabe B1  Stift.gif


  1. Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von \ b ändern.
  2. Stelle den Schieberegler auf \ b = 2 ein. Wie ändert sich der Graph?
  3. Überlege dir, wie sich die Werte \ b = 3 und \ b = -1 sowie \ b = 0,5 auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
  4. Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.


  Aufgabe B2  Stift.gif

Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!


  Aufgabe B3  Stift.gif

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

1.

\ b<-1; -1<\ b<0; 0<\ b<1; 1<\ b
Verschiebung nach oben
Verschiebung nach unten
Verschiebung nach rechts
Verschiebung nach links
Streckung in \ x - Richtung / Verkleinerung der Frequenz
Stauchung in \ x - Richtung / Vergrößerung der Frequenz
Streckung in \ y - Richtung / Vergrößerung der Amplitude
Stauchung in \ y - Richtung / Verkleinerung der Amplitude
Spiegelung an \ x - Achse
Spiegelung an \ y - Achse

Punkte: 0 / 0


Nun betrachten wir den Einfluss von \ b in

x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) .
  Aufgabe B4  Stift.gif


Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgaben B1/ 2-4 noch einmal.

Lösung zu Aufgabe B1

Lösung zu Aufgabe B2

Lösung zu Aufgabe B3

Lösung zu Aufgabe B4

Hefteintrag: Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe B1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!

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