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| − | {{Kasten1000| BREITE =100%|
| + | <center><big><big><big><big>Willkommen zum Lernpfad</big> |
| − | ÜBERSCHRIFT =Über diesen Lernpfad| INHALT1=Schüler/innen sollen sich mit der Beschreibung von dynamischen Vorgängen beschäftigen und den Unterschied zwischen diskreten Vorgängen (Beschreibung über Differenzengleichungen) und kontinuierlichen Vorgängen (Beschreibung über Differentialgleichungen) kennen lernen.|
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| − | INHALT2=Kompetenzen| INHALT2a='''Das kannst du schon'''
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| − | *Darstellungsformen von Funktionen
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| − | *Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.)| INHALT2b='''Das kannst du lernen'''
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| − | *Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen
| + | [[Bild:Logistisches_wachstum.png|150px]] [[Bild:Bsp rad zerfall.png |150px]] [[Bild:Wert quadratwurzel.png |150px]] |
| − | *Wie beschreibt man kontinuierliche dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differentialgleichungen - Visualisierung und Lösungsansätze mit Hilfe verschiedener Technologieunterstützungen an verschiedenen Beispielen| INHALT3=[[Diskret - kontinuierlich/Didaktischer Kommentar|Didaktischer Kommentar]]}}
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| − | == Rekursive Beschreibung von Veränderungen ==
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| − | === Numerische Näherung - Heronverfahren ===
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| − | === Radioaktiver Zerfall ===
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| − | === Räuber-Beute-Modell ===
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| − | Zum Thema Räuber-Beute-Modell geht es [[Sek2Uni/Pool_1#R.C3.A4uber-Beute-Modell|hier]].
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| − | == Differenzengleichung ==
| + | <big>Diskret - kontinuierlich</big></big></big> |
| − | === Begriffsbildung ===
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| − | Eine Differenzengleichung ist eine Möglichkeit, dynamische Systeme abzubilden. Dabei wird eine Folge von diskreten (einzeln betrachtbaren, "abzählbaren") Ereignissen rekursiv definiert. Jedes Folgenglied ist daher eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder.
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| − | Form: <math>\,x_{n} = f(x_{n-1},x_{n-2},...,x_{1},x_{0})</math><br />
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| − | für natürliche Zahlen n.
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| − | Die Veränderung wird durch den '''Differenzenquotienten''' angegeben:
| + | erstellt von |
| − | <math>\frac{\Delta y}{\Delta n}</math><br />
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| − | mit <math>\,n \in N</math>
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| − | Dabei entspricht:<br />
| + | [[Benutzer:Kittel Matthias|<b>Matthias Kittel</b>]] und [[Benutzer:Walter Wegscheider|<b>Walter Wegscheider</b>]] |
| − | <math>\Delta y_{n} \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}</math> und damit beispielsweise <math>\Delta y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}=y_{n}+5</math>
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| − | Links:
| + | im Rahmen eines internationalen Projektes von<br> |
| − | * [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node187.html http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node187.html], Josef Leydold, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung, 1997
| + | [http://www.medienvielfalt.org Medienvielfalt im Mathematikunterricht]<br> |
| | + | (Stand August 2011)</big> |
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| − | === Marktgleichgewicht - Cobweb-DIagramm ===
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| − | Cobweb / Spinnwebdiagramme stellen eine gute Möglichkeit dar, Rekursionen darzustellen.
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| − | Links:
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| − | * Spinnwebdiagramme - Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung mit GeoGebra: [http://www.geogebra.org/de/wiki/index.php/Lineare_Differenzengleichung_1._Ordnung http://www.geogebra.org/de/wiki/index.php/Lineare_Differenzengleichung_1._Ordnung]
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| − | == Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung ==
| + | </center> |
| − | === Exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle ===
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| − | In Österreich ist es üblich, dass Lebensmittel verarbeitende und verkaufende Betriebe der Lebensmittelkontrolle obliegen (sie [http://www.bmgfj.gv.at/cms/site/thema.html?channel=CH0834 Bundesministerium für Gesundeheit]. Lebensmittel dürfen nämlich einen bestimmten Grenzwert an Bakterien nicht überschreiten, wenn sie verkauft werden sollen. Lebensmittelkontrollore überwachen die korrekt Verwahrung der Speisen und Getränke.
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| − | Egal um welche Art von Keimen es sich handelt, die Vermehrungsrate ist gigantisch. Aus diesem Grund verwendet man häufig eine Exponenzialfunktion, um das Wachstum zu beschreiben. Mit Hilfe des Zusammenhangs <math>N(t)=a\cdot e^{b\cdot t}</math> lässt sich diese Wachstum beschreiben.
| + | Du erwirbst / stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen {{versteckt| |
| | + | '''Das kennst Du schon''' |
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| − | Diese Problem lässt sich mittel Differenzengleichung <math>N_{t+1}=N_{t}\cdot e^{b}</math> modellieren. Dies ist in der Tabellekalkulationsmappe [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/e/e5/Lebensmittel.xls Lebensmittel.xls] realisiert.
| + | *Darstellungsformen von Funktionen |
| | + | *Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.) |
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| − | Es lassen sich die Anfangsanzahl der Keime sowie die Vermehrungskonstante variieren. Die Ergebnisse sing graphisch und in einer Tabelle dargestellt.
| + | '''Das lernst Du''' |
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| − | {{Merksatz|MERK= '''Antibakterienvermehrungstheorem''':
| + | *Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen |
| − | Um Keime nicht zum Leben zu erwecken, ist das gute Lebensmittel im Kühlschrank zu verstecken.
| + | *Wie beschreibt man kontinuierliche dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differentialgleichungen - Visualisierung und Lösungsansätze mit Hilfe verschiedener Technologieunterstützungen an verschiedenen Beispiele |
| − | }}
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| − | === Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung ===
| + | '''Du stärkst diese Kompetenzen''': |
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| − | Die Gleichung <math>N(t)=N_{0} \cdot e^{-\lambda \cdot x}</math> ist eine der bekanntesten der Mathematik und wird in der zehnten Schulstufe eingeführt. In der zwölften ist es nun mit Hilfe der Integralrechung möglich, ausgehen vom Ansatz <math>N(t)'=-N(t) \cdot \lambda</math> obige Relationen per Differentiagleichung analytisch herzuleiten.
| + | * Darstellen, Modellieren (Heronverfahren, Radioaktiver Zerfall, Räuber-Beute-Modell, Rekursionsmodelle und Differenzengleichungen Differentialgleichung) |
| − | Unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/6/68/Rad_zerfall_analytisch.pdf Rad_zerfall_analytisch.pdf] ist diese Schritt für Schritt nachvollziehbar. Zuerst wird der allgemeine Fall besprochen und sich dann auf die Anwendung beim radioaktiven Zerfall bezogen.
| + | * Rechnen, Operieren (Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung sowie weiterführende Aufgaben, Herleitung der logistischen Gleichung, Lösen von Differentialgleichungen) |
| | + | * Interpretieren (exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle, exponentielle Abnahme - radioaktiver Zerfall) |
| | + | * Argumentieren, Begründen (Unterschied zwischen Differenzen- und Differentialgleichung)n |
| | + | * Problemlösen (Erkennen der Einsatzgebiete von Differenzen- und Differentialgleichung) |
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| − | Zusätzlich sind drei Standardaufgaben angegeben, um die Verwendung der Gleichung zu wiederholen.
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| − | === Beispiele zum radioaktiven Zerfall ===
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| − | {{Merksatz|MERK= '''Halbwertszeit''':
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| − | Der Zeitraum, in dem eine (meist exponentiell) abfallende Größe auf die Hälfte ihres Anfangswertes abgesunken ist. Die physikalische Halbwertszeit ist die für jedes Isotop eines radioaktiven Elementes charakteristische Zeitdauer, in der von einer ursprünglichen vorhandenen Anzahl radioaktiver Kerne bzw. instabilen Elementarteilchen die Hälfte zerfallen ist (entnommen aus Brockhaus in 5 Bänden, zweiter Band).
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| | }} | | }} |
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| − | {{Arbeiten|NUMMER=1|
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| − | ARBEIT=
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| − | Jod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Berechne den Parameter λ (Basiszeiteinheit 1 Tag und 1 Jahr) in der Zerfallsgleichung auf 6 gültige Nachkommastellen!
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| − | }}
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| − | {{Arbeiten|NUMMER=2|
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| − | ARBEIT=
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| − | Von Kobalt-60 ist nach 3,88 Jahren 40% des Ausgangsmaterials zerfallen. Wie groß ist die Halbwertszeit dieses Isotops?
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| − | }}
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| − | {{Arbeiten|NUMMER=3|
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| − | ARBEIT=
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| − | Von 24000 Cäsium-137-Kernen sind nach einer bestimmten Zeit <math>\,t</math> 21771 Kerne zerfallen. Die Halbwertszeit des Isotops beträgt 2,1 Jahre. Berechne <math>\,t</math>!
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| − | }}
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| − | '''Aufgaben im pdf-Format'''
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| − | Die Angaben zu den Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/4/4c/Bsp_rad_zerfall.pdf Bsp_rad_zerfall.pdf] (43 kb).
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| − | '''Lösungen im pdf-Format'''
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| − | Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/5/5f/Bsp_rad_zerfall_loes.pdf Lösungen zu Bsp_rad_zerfall.pdf] (59 kb).
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| − | === Abbau von Giftstoffen ===
| + | Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht: {{pdf|Didaktischer_kommentar_diskret_kontinuierlich.pdf|Didaktischer Kommentar}} |
| − | === Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum ===
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| − | === Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst ===
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| − | Erläuterungen, Informationen und Aufgaben zum Ein-Lebewesen-Modell findet man [[Sek2Uni/Pool_1#Logistische_Abbildung.2FGleichung_-_Ein-Lebewesen-Modell_nach_Verhulst|hier]].
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| − | === Weitere Beispiele ===
| + | Der Lernpfad besteht aus vier Kapiteln, die Du in beliebiger Reihenfolge bearbeiten kannst. |
| − | * [http://www.lehrer-online.de/fallschirmsprung.php?show_complete_article=1&sid=42192409855723623321494729472670 Bernd Huhn, Sonja Woltzen, Lehrer-Online, Fall mit Reibung - Ein Sprung aus 40.000m Höhe, 2005]
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| − | * [http://www.acdca.ac.at/material/kl8/ffall.htm Josef Lechner, Freier Fall mit Luftwiderstand, ACDCA 1998]
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| − | == Differentialgleichungen ==
| + | <center>[[Bild:Logos_1.jpg]]</center> |
| − | === Begriffsbildung ===
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| − | Als (gewöhnliche) Differenzialgleichung (DGLG) wird eine Gleichung bezeichnet, die neben einer Unbekannten <math>\,x</math> auch deren Ableitung(en) <math>\,x'</math> (<math>\,x''</math>, ...) enthält. Gelöst wird eine DGLG mittels Integralrechnung.
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| − | Die Lösung einer DGLG ist nicht wie bei einer herkömmlichen Gleichung eine Zahl, sondern eine Funktion, genauer eine Funktionenschar, die aus unendlich vielen Funktionen besteht. Da beim unbestimmten Integrieren immer eine Integrationskonstante auftritt, muss eine Zusatzinformation (Anfangsbedingung) gegeben sein, um die Konstante zu bestimmen.
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| − | Erst durch die Anfangsbedingung, die einem Punkt auf dem Graphen der Lösungsfunktion entspricht, kann die Lösungsfunktion exakt bestimmt werden. Die Lösung ist nun eine spezielle Funktion!
| + | == [[Rekursive Beschreibung von Veränderungen]] == |
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| − | DGLG können in allen Bereichen des Lebens angetroffen werden, besonders in den Naturwissenschaften oder der Wirtschaft und dem Sport. In allen Zusammenhängen, bei denenen es um <b>Veränderungen</b> geht, kommen DGLG zur Anwendung.
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| − | Eine Übersicht über die Klassifikation von DGLG findet man unter [http://www.math.tu-berlin.de/geometrie/Lehre/SS05/GDglmA/skriptKlassif.pdf http://www.math.tu-berlin.de/geometrie/Lehre/SS05/GDglmA/skriptKlassif.pdf]
| + | == [[Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung]] == |
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| − | Links:
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| − | * [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node175.html http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node175.html], Josef Leydold, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung, 1997
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| − | === Lösung einfacher Differentialgleichungen === | + | == [[Differentialgleichungen]] == |
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| − | == Ausblick ==
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| − | === Visualisierung über Richtungsfelder ===
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| − | === Näherungsverfahren ===
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| − | Bisher wurde die Lösung der betrachteten Differentialgleichungen über '''Integration''' vorgestellt. Man versucht dabei, eine mathematisch '''exakte''' (und bis auf die Integrationskonstante eindeutige) '''Lösung''' formal zu bestimmen. Die gefundene Lösungsfunktion liefert eine vollständige Beschreibung des betrachteten Problems über den gesamten definierten Verlauf. In den meisten Fällen sind diese gefundenen Lösungsfunktionen auch stetig und bieten daher eine kontinuierliche Problemlösung.<br />
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| − | Es gibt aber viele Integrale und damit Differentialgleichungen, die man nur äußerst '''mühselig''' oder in vielen Fällen '''überhaupt nicht''' exakt lösen kann!<br />
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| − | Man geht daher oft den - nebenbei auch bei der Automatisation der Lösungsalgorithmen mit dem Computer meist schnelleren - Weg, die Probleme '''näherungsweise''' zu lösen. Man setzt also auf Näherungsverfahren, die das vorliegende Problem für eine diskrete (endliche) Zahl von Punkten möglichst genau lösen. Man ersetzt also die vollständige Integration einer Funktion durch die näherungsweise Berechnung (des bestimmten Integrals) in einem bestimmten Bereich, für den man sich interessiert. Für diese Näherung / Diskretisierung gibt es verschiedene, unterschiedlich genaue - unterschiedlich komplexe Verfahren.
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| − | Grundsatz:
| + | == [[Ausblick]] == |
| − | Der '''Differentialquotient''' wird näherungsweise durch den dazugehörigen '''Differentenquotienten''' beschrieben.
| + | |
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| − | <math>\frac {dy(x)}{dx}</math> beschrieben durch
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| − | <math>\frac {\Delta y}{\Delta x}
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| − | =
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| − | \frac {y(x_{n+1})-y(x_{n})}{x_{n+1}-x_{n}}</math>
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| − | Die bekanntesten Näherungsverfahren
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| − | * Euler-Cauchy-Verfahren
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| − | * Runge-Kutta-Verfahren
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| − | Eine Beschreibung der Verfahren finden Sie bei [http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Populat_Modelle/RungeKutta.html Ulrich Streit, Skript zur Übung "Werkzeuge zur numerischen Modellierung", 1999]
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| − | Links:<br />
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| − | * [http://www.acdca.ac.at/material/kl8/numerik.htm Josef Lechner, Von Euler-Cauchy zu Runge-Kutta, ACDCA 1998]
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| − | * [http://education.ti.com/sites/DEUTSCHLAND/downloads/pdf/TI_Nachrichten_2_04.pdf Urs Oswald, H.R. Schneebeli, Kugelstoßen mit Luftwiderstand, TI-Nachrichten 2/04]
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| − | * [http://www.kohorst-lemgo.de/modell/modlist.htm H. Kohorst, Ph. Portscheller, P. Goldkuhle, Modellbildung und Simulation - NRW-Bildungsserver learn:line]
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| | © 2009, Projekt "Medienvielfalt im Mathematikunterricht" | | © 2009, Projekt "Medienvielfalt im Mathematikunterricht" |
Didaktischer Kommentar
