Potenzfunktionen - 1. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 17. Januar 2011, 10:50 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - Test

Inhaltsverzeichnis

1 Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xⁿ, n ∈ IN
2 Die Graphen von f(x) = a xⁿ, mit a ∈ IR
- 2.1 Teste Dein Wissen

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xⁿ, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xⁿ, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

Aufgabe 1

Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
```
Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x² zu f(x) = x⁴, dann die beim Übergang von f(x) = x⁴ zu f(x) = x⁶ usw.!
Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xⁿ, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?

zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten $n \in \{0,2,4,6,...\}$ . Dann gilt:

Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.

zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.

Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n $=$ 0 gilt (-1)⁰ $=$ 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten $\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}$ sind Vielfache von 2, also von der Art $2 \cdot k$ für alle $k \in {\Bbb N}$ ; dann gilt: $(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1$ für alle $k \in {\Bbb N}.$
Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige $r \in {\Bbb R}$ ist 1^r $=$ r und damit insbesondere für $r \in {\Bbb N}$ .

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.

Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.

zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kⁿ-facht.

Symbolisch $f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)$ .

Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xⁿ, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Aufgabe 2

Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
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HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
```
Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x¹ zu f(x) = x³, dann die beim Übergang von f(x) = x³ zu f(x) = x⁵ usw.!

zu 1) Wir betrachten hier Exponenten $n\in\{1,3,5,7,...\}$ . Dann gilt:

Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; Beachte: für $n\in\{3,5,7,...\}$ haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
Der Wertebereich der Funktion ist ganz ${\Bbb R}$ , alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit surjektiv).

zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.

Begründung für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x $=$ -1 ist $f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.$ Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: $(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.$

Begründung für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0^r $=$ 0 und 1^r $=$ 1 für alle $r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}$ .

Teste dein Wissen

Aufgabe 3

Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = xⁿ, n eine natürliche Zahl

Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?

Der Punkt P(2;32) wird für n $=$ 5 durchlaufen: $f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32$ .

Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n $=$ 3 durchlaufen: $f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375$ .

Die Graphen von f(x) = a xⁿ, mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit $f(x) = a \cdot x^n$ , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

Aufgabe 4

Es sei zunächst n = 2, also $f(x) = a \cdot x^2$ . Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
Beschreibe die Veränderung der Graphen von $f(x) = a \cdot x^n$ bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

zu 1.)

Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
Für a $=$ 1 bleibt er unverändert
Für a $=$ 0 wird die Funktion zur Nullfunktion f(x) $=$ 0 für alle x.
Der Wert a $=$ -1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.

zu 2.)

Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.

Aufgabe 5

Wir betrachten wieder die Funktionen der Form $f(x) = a \cdot x^n$ , n eine natürliche Zahl

Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

zu 1.) Lösung: a $=$ -0,5 und n $=$ 3.

Begründung: An der Stelle x $=$ 1 ist $f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5$

und an der Stelle x $=$ -2 ist $f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4$

zu 2.) Es gibt keine Lösung!

Begründung:

Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^n$ mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt.
Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a $=$ 1 sein (vgl. Aufgabe 4).
Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss $f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3$ gelten.

Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die $(0,\!5)^n=3$ erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da $(0,\!5)^n \to 1$ für $n \to \infty.$

Teste Dein Wissen

Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!

Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.

Hier geht es weiter.

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-<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
+{{Potenzfunktionen}}
-'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div>
 == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
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 :* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
 :* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
-:* Für <math>n>1</math> sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.<br />
+:* Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.<br />
+:<br />
 :zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
-:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall <math>n=0</math> gilt <math>(-1)^0=1</math> nach Defition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>
+:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n<math>=</math>0 gilt (-1)<sup>0</sup> <math>=</math> 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>
-:* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist <math>1^r = r</math> und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>.
+:* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist 1<sup>r</sup><math>=</math>r und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>.
-:zu 3.) Was will man denn hier hören? XXX
+:<br />
+:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
+:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
+:<br />
 :zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
 : Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
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 === Ungerade Potenzen ===
-'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit <math>f(x) = x^n</math>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''
+'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''
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 # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
 # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.!
+:{{Lösung versteckt|
+: zu 1) Wir betrachten hier Exponenten <math>n\in\{1,3,5,7,...\}</math>. Dann gilt:
+::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
+::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
+::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv'').
+: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.<br />
+:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math>
+:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0<sup>r</sup><math>=</math>0 und 1<sup>r</sup><math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
+}}
 }}
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 === Teste dein Wissen ===
 {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
-Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
+Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
 # Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
 # Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
 :{{Lösung versteckt|
-:Der Punkt P(2;32) wird für <math>n=5</math> durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br>
+:Der Punkt P(2;32) wird für n<math>=</math>5 durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br>
-:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für <math>n=3</math> durchlaufen: <math>f \left( 1,5 \right ) = 2^3 = 3,375</math>.
+:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n<math>=</math>3 durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>.
 }}
 }}
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 | {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
 # Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
-# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
+# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
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+: zu 1.)
+:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
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+:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
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-Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
+Wir betrachten wieder die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
-# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
+# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-2;4)''' und '''B(1;-0,5)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
-# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
+# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(0,5;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
-:{{Lösung versteckt|
+<br />
-: 1. <math>a = -0.5, n = 3</math><br>
+{{ Lösung versteckt |
-: 2. Es gibt keine Lösung, denn ...}}
+:zu 1.) Lösung: a<math>=</math>-0,5 und n<math>=</math>3. <br />
-}}<br>
+: '''Begründung:''' An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5</math> <br />
+:: und an der Stelle x<math>=</math>-2 ist <math>f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4</math> <br />
+:zu 2.) Es gibt keine Lösung! <br />
+: '''Begründung:''' <br />
+::* Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion <math>f(x)=a\cdot x^n</math> mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. <br />
+::* Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a<math>=</math>1 sein (vgl. Aufgabe 4). <br />
+::* Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss <math>f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3</math> gelten. <br />
+:: Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die <math>(0,\!5)^n=3</math> erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da <math>(0,\!5)^n \to 1</math> für <math>n \to \infty.</math>
+}}
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 * [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
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