Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Potenzfunktionen}} | {{Potenzfunktionen}} | ||
− | == Die Graphen der Funktionen | + | |
+ | == Die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ||
=== Gerade Potenzen === | === Gerade Potenzen === | ||
− | '''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen | + | '''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...''' |
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:<br /> | :<br /> | ||
: zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1). | : zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1). | ||
− | :: '''Begründung''' für den Punkt (-1;1): An der Stelle <math> | + | :: '''Begründung''' für den Punkt (-1;1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.</math> Da wir hier nur gerade Zahlen <math>n \in \{2,4,6,...\}</math> betrachten gilt weiter: <math>\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1</math> unabhängig von n. |
− | :: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle <math> | + | :: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math> |
:<br /> | :<br /> | ||
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert. | :zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert. | ||
− | :: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für | + | :: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer. |
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: zu 4.) | : zu 4.) | ||
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=== Parabel und Hyperbel === | === Parabel und Hyperbel === | ||
− | Du hast nun Potenzfunktionen | + | Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=x<sup>n</sup> und f(x)=x<sup>-n</sup> kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen: |
{{ Merksatz | MERK = | {{ Merksatz | MERK = | ||
− | * Die Graphen von Funktionen | + | * Die Graphen von Funktionen f(x)=x<sup>n</sup> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. <BR> |
− | * Für | + | * Für f(x)=x<sup>2</sup> heißt der Graph '''Normalparabel'''; für f(x)=x<sup>3</sup> dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung'''). |
− | * Die Graphen von Funktionen | + | * Die Graphen von Funktionen f(x)=x<sup>-n</sup> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten. |
}} | }} | ||
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=== Ungerade Potenzen === | === Ungerade Potenzen === | ||
− | '''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen | + | '''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..''' |
{| <!--class="prettytable sortable" --> | {| <!--class="prettytable sortable" --> | ||
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zu 1.) | zu 1.) | ||
:* Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0). | :* Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0). | ||
− | :: Beachte: für <math> | + | :: Beachte: für n<math>=</math>1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y<math>=</math>x. |
:* Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}</math> streng monoton fallend. | :* Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}</math> streng monoton fallend. | ||
:* Als Funktionswerte werden alle Werte aus <math>\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}</math>. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich. | :* Als Funktionswerte werden alle Werte aus <math>\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}</math>. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich. | ||
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zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1). | zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1). | ||
− | : '''Begründung''' für Punkt (-1;-1): An der Stelle <math> | + | : '''Begründung''' für Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n</math>. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist <math>\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1</math> für alle betrachteten n. |
− | : '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle <math> | + | : '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math> |
zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt. | zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt. | ||
: In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird. | : In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird. | ||
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=== Teste dein Wissen === | === Teste dein Wissen === | ||
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | ||
− | Wir betrachten die Funktionen | + | Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl |
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>? | # Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>? | ||
# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>? | # Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>? | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
− | zu 1.) Die Lösung ist <math> | + | zu 1.) Die Lösung ist n<math>=</math>4. |
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math> | : '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math> | ||
− | zu 2.) Die Lösung ist <math> | + | zu 2.) Die Lösung ist n<math>=</math>3. |
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math> | : '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math> | ||
}} | }} | ||
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== Die Graphen von f(x) = a x<sup>-n</sup> mit a <small>∈</small> IR == | == Die Graphen von f(x) = a x<sup>-n</sup> mit a <small>∈</small> IR == | ||
− | '''Wir betrachten jetzt die Funktionen | + | '''Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>∈</small> IN, a <small>∈</small> IR .''' |
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| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT= | | {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT= | ||
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! | # Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! | ||
− | # Beschreibe die Veränderung der Graphen | + | # Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten. |
{{ Lösung versteckt | | {{ Lösung versteckt | | ||
: zu 1.) | : zu 1.) | ||
− | :* Für | + | :* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht. |
− | :* Für <math> | + | :* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert |
− | :* Für <math> | + | :* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x. |
− | :* Der Wert <math> | + | :* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus. |
: zu 2.) | : zu 2.) | ||
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten. | :: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten. | ||
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{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT= | {{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT= | ||
− | Wir betrachten wieder die Funktionen | + | Wir betrachten wieder die Funktionen <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math> für eine eine natürliche Zahl n. |
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft.<br /> Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben. | # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft.<br /> Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben. | ||
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. | # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
− | : zu 1.) Die Lösung ist <math> | + | : zu 1.) Die Lösung ist a<math>=</math>2, n<math>=</math>1. |
:: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math> | :: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math> | ||
: zu 2.) Es gibt KEINE Lösung. | : zu 2.) Es gibt KEINE Lösung. | ||
: '''Begründung:''' | : '''Begründung:''' | ||
:* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein. | :* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein. | ||
− | :* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter <math> | + | :* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a<math>=</math>1 sein. |
− | : Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art | + | : Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x)<math>=</math> x<sup>-n</sup> mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>3 hat. |
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Aktuelle Version vom 17. Januar 2011, 11:09 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
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Parabel und Hyperbel
Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xn und f(x)=x-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
Merke:
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Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
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Teste dein Wissen
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl
zu 1.) Die Lösung ist n4.
zu 2.) Die Lösung ist n3.
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Die Graphen von f(x) = a x-n mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
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Teste Dein Wissen
- Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!
- Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!
Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben. |