Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 17. Januar 2011, 11:09 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - Test

Inhaltsverzeichnis

1 Die Graphen der Funktionen f(x) = x^-n, n ∈ IN
2 Die Graphen von f(x) = a x^-n mit a ∈ IR
- 2.1 Teste Dein Wissen

Die Graphen der Funktionen f(x) = x^-n, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x^-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

Aufgabe 1

Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
```
Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x^-2 zu f(x) = x^-4, dann die beim Übergang von f(x) = x^-4 zu f(x) = x^-6 usw.!
Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x^-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?

zu 1.)

Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall $]-\infty;0[$ streng monoton steigend und im Intervall $]0;\infty[$ streng monoton fallend.
Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind $]0; \infty[$ . Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.

zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).

Begründung für den Punkt (-1;1): An der Stelle x $=$ -1 ist $f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.$ Da wir hier nur gerade Zahlen $n \in \{2,4,6,...\}$ betrachten gilt weiter: $\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1$ unabhängig von n.

Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x $=$ 1 ist $f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1$ für alle $n \in {\Bbb N}.$

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.

Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.

zu 4.)

Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver- $\textstyle \frac{1}{k^n}$ -facht.

Symbolisch: $f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x)$ .

Parabel und Hyperbel

Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xⁿ und f(x)=x^-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:

Merke:

Die Graphen von Funktionen f(x)=xⁿ und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung.
Für f(x)=x² heißt der Graph Normalparabel; für f(x)=x³ dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung).
Die Graphen von Funktionen f(x)=x^-n und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.

Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x^-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Aufgabe 2

Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
- Symmetrie
- Monotonie
- größte und kleinste Funktionswerte
Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
```
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
```
Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x^-1 zu f(x) = x^-3, dann die beim Übergang von f(x) = x^-3 zu f(x) = x^-5 usw.!

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

zu 1.)

Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).

Beachte: für n $=$ 1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y $=$ x.

Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich $\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}$ streng monoton fallend.
Als Funktionswerte werden alle Werte aus $\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}$ . Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.

zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).

Begründung für Punkt (-1;-1): An der Stelle x $=$ -1 ist $f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n$ . Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist $\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1$ für alle betrachteten n.

Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x $=$ 1 ist $f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1$ für alle $n \in {\Bbb N}.$

zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.

In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.

In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.

Teste dein Wissen

Aufgabe 3

Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x^-n, n eine natürliche Zahl

Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt $P(2;\textstyle \frac{1}{16})$ ?
Für welches n verläuft der Graph durch $Q ( 0,\!5;8 )$ ?

zu 1.) Die Lösung ist n $=$ 4.

Begründung: Es gilt $f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.$

zu 2.) Die Lösung ist n $=$ 3.

Begründung: Es gilt $f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8$

Die Graphen von f(x) = a x^-n mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form $f(x) = a \cdot x^{-n}$ , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

Aufgabe 4

Es sei zunächst n = 2, also $f(x) = a \cdot x^{-2}$ . Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
Beschreibe die Veränderung der Graphen von $f(x) = a \cdot x^{-n}$ bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

zu 1.)

Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
Für a $=$ 1 bleibt er unverändert
Für a $=$ 0 wird die Funktion zur Nullfunktion f(x) $=$ 0 für alle x.
Der Wert a $=$ -1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.

zu 2.)

Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.

Aufgabe 5

Wir betrachten wieder die Funktionen $f(x) = a \cdot x^{-n}$ für eine eine natürliche Zahl n.

Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft.
Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.

zu 1.) Die Lösung ist a $=$ 2, n $=$ 1.

Begründung: $f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2$ und $f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.$

zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.

Begründung:

Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a $=$ 1 sein.

Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x) $=$ x^-n mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x $=$ 1 den Funktionswert f(x) $=$ 1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x $=$ 1 den Funktionswert f(x) $=$ 3 hat.

Teste Dein Wissen

Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.

Hier geht es weiter.

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-== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
+== Die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
 === Gerade Potenzen ===
-'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
+'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
 {| cellspacing="10"
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 :<br />
 : zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
-:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;1): An der Stelle <math>x=-1</math> ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.</math> Da wir hier nur gerade Zahlen <math>n \in \{2,4,6,...\}</math> betrachten gilt weiter: <math>\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1</math> unabhängig von n.
+:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.</math> Da wir hier nur gerade Zahlen <math>n \in \{2,4,6,...\}</math> betrachten gilt weiter: <math>\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1</math> unabhängig von n.
-:: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle <math>x=1</math> ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
+:: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
 :<br />
 :zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
-:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für <math>x< -1</math> bzw. <math>x > 1</math> werden die Funktionswerte größer.
+:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
 :<br />
 : zu 4.)
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 === Parabel und Hyperbel ===
-Du hast nun Potenzfunktionen mit den Gleichungen <math>f(x)=x^n</math> und <math>f(x)=x^{-n}</math> kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
+Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=x<sup>n</sup> und f(x)=x<sup>-n</sup> kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
 {{ Merksatz | MERK =
-* Die Graphen von Funktionen mit <math>f(x)=x^n</math> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. <BR>
+* Die Graphen von Funktionen f(x)=x<sup>n</sup> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. <BR>
-* Für <math>f(x)=x^2</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''; für <math>f(x)=x^3</math> dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung''').
+* Für f(x)=x<sup>2</sup> heißt der Graph '''Normalparabel'''; für f(x)=x<sup>3</sup> dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung''').
-* Die Graphen von Funktionen mit <math>f(x)=x^{-n}</math> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
+* Die Graphen von Funktionen f(x)=x<sup>-n</sup> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
 }}
 <br />
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 === Ungerade Potenzen ===
-'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit <math>f(x) = x^{-n}</math>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''
+'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''
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 zu 1.)
 :* Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).
-::  Beachte: für <math>n=1</math> ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden <math>g: y=x.</math>
+::  Beachte: für n<math>=</math>1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y<math>=</math>x.
 :* Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}</math> streng monoton fallend.
 :* Als Funktionswerte werden alle Werte aus <math>\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}</math>. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.
 <br />
 zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).
-: '''Begründung''' für Punkt (-1;-1): An der Stelle <math>x=-1</math> ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n</math>. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist <math>\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1</math> für alle betrachteten n.
+: '''Begründung''' für Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n</math>. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist <math>\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1</math> für alle betrachteten n.
-: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle <math>x=1</math> ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
+: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
 zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.
 : In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.
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 === Teste dein Wissen ===
 {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
-Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl
+Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl
 # Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>?
 # Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>?
 :{{Lösung versteckt|
-zu 1.) Die Lösung ist <math>n=4.</math>
+zu 1.) Die Lösung ist n<math>=</math>4.
 : '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math>
-zu 2.) Die Lösung ist <math>n=3.</math>
+zu 2.) Die Lösung ist n<math>=</math>3.
 : '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math>
 }}
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 == Die Graphen von f(x) = a x<sup>-n</sup> mit a <small>&isin;</small> IR ==
-'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
+'''Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
 {| <!--class="prettytable sortable"-->
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 | {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
 # Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
-# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
+# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
 {{ Lösung versteckt |
 : zu 1.)
-:* Für <math>1 < a</math> wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für <math>0<a<1</math> gestaucht.
+:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
-:* Für <math>a=1</math> bleibt er unverändert
+:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
-:* Für <math>a=0</math> wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' mit <math>f(x)=0</math> für alle <math>x</math>.
+:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.
-:* Der Wert <math>a=-1</math> bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
+:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
 : zu 2.)
 :: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
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 ||
 {{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
-Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math> für eine eine natürliche Zahl n.
+Wir betrachten wieder die Funktionen <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math> für eine eine natürliche Zahl n.
 # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft.<br /> Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
 # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
 :{{Lösung versteckt|
-: zu 1.) Die Lösung ist <math>a = 2, n = 1.</math>
+: zu 1.) Die Lösung ist a<math>=</math>2, n<math>=</math>1.
 :: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und  <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math>
 : zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
 : '''Begründung:'''
 :* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
-:* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter <math>a = 1</math> sein.
+:* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a<math>=</math>1 sein.
-: Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art <math>f(x)=x^{-n}</math> mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle <math>x=1</math> den Funktionswert <math>f(x)=1.</math> Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle <math>x=1</math> den Funktionswert <math>f(x)=3</math> hat.
+: Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x)<math>=</math> x<sup>-n</sup> mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>3 hat.
 }}
 }}

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