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| | + | Der Lernpfad besteht aus vier Kapiteln, die Du in beliebiger Reihenfolge bearbeiten kannst. |
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| | <center>[[Bild:Logos_1.jpg]]</center> | | <center>[[Bild:Logos_1.jpg]]</center> |
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| − | = [[Rekursive Beschreibung von Veränderungen]] = | + | == [[Rekursive Beschreibung von Veränderungen]] == |
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| − | Unter [http://de.wikipedia.org/wiki/Rekursion rekursiven Verfahren] kannst Du Dir Verfahren vorstellen, die errechnete Ergebnisse einer Formel wieder als Anfangswerte in die Formel einsetzen. ''Rekursion'' ist lateinisch und bedeutet ''zurücklaufen''.
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| − | Rekursive Verfahren sind im Allgemeinen [http://de.wikipedia.org/wiki/Iteratives_Verfahren schrittweise (iterative) Verfahren]. Das beudeutet, dass Du kein Ergebnis einfach ausrechnest, sonder Dich (langsam) an ein Ergebnis herantastest. Du näherst Dich Schritt für Schritt einem (richtigen) Ergebnis. Die Ergebnisse aus der Rekursionsformel sind die schrittweisen Zwischenergebnisse, die zum (korrekten) Endergebnis führen.
| + | == [[Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung]] == |
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| − | Da Differentialgleichungen schwierig zu lösen sind, ist es oft einfacher diese Art von Gleichungen in eine Differenzengleichung umzuwandeln und dann diese zu lösen. Differenzengleichungen sind rekursive Verfahren und können entsprechend gelöst werden.
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| − | = Differenzengleichung = | + | == [[Differentialgleichungen]] == |
| − | == Begriffsbildung == | + | |
| − | Eine Differenzengleichung ist eine Möglichkeit, dynamische Systeme abzubilden. Dabei wird eine Folge von diskreten (einzeln betrachtbaren, ''abzählbaren'') Ereignissen rekursiv definiert. Jedes Folgenglied ist daher eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder.
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| − | Form: <math>\,x_{n} = f(x_{n-1},x_{n-2},...,x_{1},x_{0})</math> für natürliche Zahlen <math> \,n </math>.
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| − | Die Veränderung wird durch den '''Differenzenquotienten''' angegeben:
| + | == [[Ausblick]] == |
| − | <math>\frac{\Delta y}{\Delta n}</math> mit <math>n \in N</math>
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| − | Dabei entspricht:<br />
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| − | <math>\Delta y_{n} \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}</math> und damit beispielsweise <math>\Delta y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}=y_{n}+5</math>
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| − | Weiterführende Links:
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| − | * [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node187 Differenzengleichungen], Josef Leydold, Differenzengleichungen, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung der WU Wien, 1997
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| − | * [http://noebis.pi-noe.ac.at/zierler/ Systemdynamik], Peter Zierler, Systemdynamik - Querverbindung zwischen Mathematik und Informatik, NOEBIS
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| − | Software zur dynamischen Modellierung:
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| − | * [http://www.hupfeld-software.de/pmwiki/pmwiki.php?n=Main.Dynasys DYNASYS]
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| − | * [http://modsim.hupfeld-software.de/pmwiki/pmwiki.php MODSIM]
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| − | ==Themengebiete==
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| − | ===[[Numerische Näherung - Heronverfahren]]===
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| − | ===[[Radioaktiver Zerfall]]===
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| − | ===[[Räuber-Beute-Modell]]===
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| − | ===[[Cobweb/Spinnweben-Diagramm]]===
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| − | = Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung =
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| − | Wie Du Dir sicher vorstellen kannst, gibt es in der Realität kaum diskrete, das heißt abzählbare, Ereignisse. Die untersuchten Vorgänge laufen vielmehr kontinuierlich (stetig - ohne Sprünge) ab. Diese Kontinuität kannst Du erreichen, indem Du den Zeitschritt bei Differenzengleichungen immer kleiner machst oder die dem Problem zugeordnete Differentialgleichung analytisch (durch Ausrechnen löst).
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| − | Zu diesem Thema sind hier fünf Gebiete für Dich aufgelistet, in denen auf Dich Aufgaben, Übungen und Beispiele warten.
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| − | ==Themengebiete==
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| − | Unter folgenden vier Themengebieten kannst Du mehr über die Verwendung und den Einsatz von rekursiven Verfahren lernen und mittels Aufgaben, Beispielen und Erläuterungen Dein Wissen vertiefen.
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| − | === [[Exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle]] ===
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| − | === [[Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung und Beispiele]] ===
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| − | === [[Abbau von Giftstoffen]] ===
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| − | === [[Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum]] ===
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| − | === [[Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst]] ===
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| − | === Weitere Beispiele ===
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| − | * [http://www.lehrer-online.de/fallschirmsprung.php?show_complete_article=1&sid=42192409855723623321494729472670 Bernd Huhn, Sonja Woltzen, Lehrer-Online, Fall mit Reibung - Ein Sprung aus 40.000m Höhe, 2005]
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| − | * [http://www.acdca.ac.at/material/kl8/ffall.htm Josef Lechner, Freier Fall mit Luftwiderstand, ACDCA 1998]
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| − | = Differentialgleichungen =
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| − | == Begriffsbildung ==
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| − | Als (gewöhnliche) DGLG wird eine Gleichung bezeichnet, die neben einer Unbekannten <math>\,x</math> auch deren Ableitung(en) <math>\,x'</math> (<math>\,x''</math>, ...) enthält. Gelöst wird eine DGLG mittels Integralrechnung.
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| − | Die Lösung einer DGLG ist nicht wie bei einer herkömmlichen Gleichung eine Zahl, sondern eine Funktion, genauer eine Funktionenschar, die aus unendlich vielen Funktionen besteht. Da beim unbestimmten Integrieren immer eine Integrationskonstante auftritt, muss eine Zusatzinformation (Anfangsbedingung) gegeben sein, um die Konstante zu bestimmen.
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| − | Erst durch die Anfangsbedingung, die einem Punkt auf dem Graphen der Lösungsfunktion entspricht, kann die Lösungsfunktion exakt bestimmt werden. Die Lösung ist nun eine spezielle Funktion!
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| − | DGLG können in allen Bereichen des Lebens angetroffen werden, besonders in den Naturwissenschaften oder der Wirtschaft und dem Sport. In allen Zusammenhängen, bei denenen es um <b>Veränderungen</b> geht, kommen DGLG zur Anwendung.
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| − | Eine Übersicht über die Klassifikation von DGLG findet man unter [http://people.fh-landshut.de/~wlf/emat/Vorlesung/Einteilung_DGL.pdf Einteilung von Differentialgleichungen], T. Wolf, Fachhochschule Landshut (pdf-Datei, 14 kB)
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| − | Links:
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| − | * [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node175.html Differentialgleichungen], Josef Leydold, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung, 1997
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| − | * [http://www.acdca.ac.at/material/kl8/diffequ.htm http://www.acdca.ac.at/material/kl8/diffequ.htm], Josef Böhm, Differentialgleichungen mit CAS, ACDCA 2004
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| − | === [[Lösung einfacher Differentialgleichungen]] ===
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| − | = Ausblick =
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| − | Oftmals ist bei realitätsnahen Modellen nicht möglich die gegebenen Differentialgleichung(en) exakt zu lösen. Aus diesem Grund ist es zielführend manchmal Näherungsverfahren zu verwenden.
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| − | === [[Näherungsverfahren]] ===
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Didaktischer Kommentar
