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| − | {{Information| TITEL = '''Informationen für den Lehrer:'''| INFO = Hier sollen sich die Schüler mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und deren Auswirkungen erarbeiten und beschreiben können.
| + | [[Benutzer:Silvia Joachim|<b>Silvia Joachim</b>]], [[Benutzer:Karlo Haberl|<b>Karl Haberl</b>]] und [[Benutzer:Franz Embacher|<b>Franz Embacher</b>]] |
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| − | * Zeitbedarf: etwa 2 Unterrichtsstunden
| + | {{Kasten1000| BREITE =100%| |
| − | | + | ÜBERSCHRIFT =Über diesen Lernpfad| INHALT1=Hier sollen sich die SchülerInnen mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und ihre Auswirkung erarbeiten und beschreiben können.| |
| − | Bekannt ist:
| + | INHALT2=Kompetenzen| INHALT2a='''Das kannst du schon''' |
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| | *Darstellungsformen von Funktionen | | *Darstellungsformen von Funktionen |
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| | *Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen | | *Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen |
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| − | Ziele:
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| − | *Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion, und umgekehrt.
| + | Wenn du die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe [[Trigonometrische Funktionen/Wiederholung|diese Seite]] auf. |
| − | *Unterschiedliche Variablenbezeichnungen identifizieren können
| + | | INHALT2b='''Das kannst du lernen''' |
| − | }}
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| + | *Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt. |
| − | === Hallo! === | + | | INHALT3=Für LehrerInnen:<br /> |
| | + | [[/Didaktischer Kommentar|Didaktischer Kommentar]]}} |
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| − | Wäre es nicht toll, wenn Du hellsehen könntest? Wenn Du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest?
| + | {{Trigonometrische Funktionen}} |
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| − | Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrscht Du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst Du vieles von Deinem Wissen auf die Sinus- und Cosinusfunktion übertragen können.
| + | {| |
| | + | |[[Bild:Hellsehen.jpg|150px]]|| |
| | + | Hallo! Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest? |
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| − | Viel Spass!
| + | Für die linearen und die [[Trigonometrische_Funktionen/Quadratische Funktionen|quadratischen Funktionen]] beherrschst du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können. |
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| | + | {{#ev:youtube|nw2Oksmik2A|150}} |
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| − | Mit der Geburt beginnen beim Menschen aktive und passive Phasen, die den körperlichen, seelischen und geistigen Bereich betreffen. Sie treten zyklisch immer wiederkehrend auf. Diese Zyklen heißen [http://www.tay-tec.de/biorhythm/biorhythm-applet.de.html Biorythmen]. Wir wollen nun untersuchen, wie man solch unterschiedliche Graphen mathematisch mit Hilfe von Parametern darstellen kann.
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| | + | '''Hinweise:''' |
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| + | *Denke bitte daran die Hefteinträge in dein Heft zu übernehmen! |
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| − | === Einfluss der Parameter bei der allgemeinen Sinusfunktion ===
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| − | In der Funktion
| + | *Bei den GeoGebra-Applets ist die <math>\ x</math>-Achse mit Vielfachen von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die <math>\ x</math>-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' cm ''umstellen. |
| | | | |
| − | :<math> x \rightarrow a\cdot \sin ( b\cdot x + c ) + d </math> | + | *Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen! |
| | + | | |
| | + | {{#ev:youtube|j3cCtx-bao0|150}} |
| | + | |} |
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| − | sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Im Folgenden seien <math>\ a,b,c,d \in \R </math> und <math>a,b\neq 0</math>.
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| − | ''Hinweis: Bei den GeoGebra-Applets ist die <math>\ x</math>-Achse in Einheiten von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die <math>\ x</math>-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' 1 ''umstellen.''
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| − | ==== Einfluss von a ====
| + | {| |
| | + | | |
| | + | Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station! |
| | | | |
| − | Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ a </math> in
| + | <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> |
| − | :<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math>.
| + | *'''[[Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter|Station 1: Erforsche hier den Einfluss der Parameter auf das Aussehen des Graphen!]]''' |
| − | | + | </div> |
| − | Öffne dieses Applet:
| + | <graphviz> |
| − | | + | digraph G { |
| − | <ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_a.ggb" /> <br>
| + | rankdir=RL; |
| − | | + | "Term" -> "Graph"[label=" "]; |
| − | Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ a </math> ändern. <br>
| + | edge [color = white]; "Term" -> "Hellsehen"; |
| − | | + | "Hellsehen" -> "Graph"; |
| − | * Stelle den Schieberegler auf <math> \ a = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
| + | edge [color = black]; rankdir=LR; |
| − | | + | "Graph" -> "Term"; |
| − | * Überlege Dir, wie sich der Wert <math> \ a = 3 \ (\ a = -1; \ a = 0,5) </math> auf den Graphen auswirkt und überprüfe Deine Vermutung. <br>
| + | } |
| − | | + | </graphviz> |
| − | * Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br> | + | <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> |
| − | | + | *'''[[Trigonometrische Funktionen/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Station 2: Erfahre hier, wie du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen kannst - und mehr!]]'''</div> |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ''Hefteintrag'' {{versteckt| | + | |
| − | Man erhält den Graph der Funktion f: x---> a sin(x) aus dem Graph der Sinusfunktion durch
| + | |
| − | [[Bild:sin_a+.jpg|center]]
| + | |
| − | a > 0: Multiplikation aller Werte mit dem Faktor a, also für
| + | |
| − | | + | |
| − | 0 < a < 1: Stauchung um den Faktor a
| + | |
| − | | + | |
| − | 1 < a: Streckung um den Faktor a
| + | |
| − | | + | |
| − | Für negative a (a < 0) muss man den Graph noch an der x-Achse spiegeln.
| + | |
| − | [[Bild:sin_a-.jpg|center]]
| + | |
| − | | + | |
| − | }}
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| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(x)
| + | |
| | | | |
| | ---- | | ---- |
| | | | |
| − | ==== Einfluss von b ==== | + | ===Physik-Ecke=== |
| | | | |
| − | Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ b </math> in
| + | {| border=0 |
| | + | |{{#ev:youtube|jlZ3fCw5m1U|150}} |
| | + | |rowspan=2 | |
| | + | <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> |
| | + | *'''[[Trigonometrische Funktionen/Anwendungen in der Physik|Lerne hier einige Anwendungen in der Physik kennen!]]'''</div> |
| | + | |} |
| | | | |
| − | :<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>
| + | | |
| − | | + | :{{#ev:youtube|eAKO-C8Duac|150}} |
| − | Öffne dieses Applet:
| + | |} |
| − | | + | |
| − | <ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_b.ggb" /><br>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ b </math> ändern. <br>
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| − | | + | |
| − | * Stelle den Schieberegler auf <math> \ b = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | * Überlege Dir, wie sich der Wert <math> \ b = 3 \ (\ b = -1; \ b = 0,5) </math> auf den Graphen auswirkt und überprüfe Deine Vermutung. <br>
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| − | | + | |
| − | * Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br>
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| − | ''Hefteintrag'' {{versteckt|
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| − | [[Bild:sin_b.jpg|center]]
| + | |
| − | Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(bx) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch
| + | |
| − | | + | |
| − | b > 1: Stauchung in x-Richtung
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| − | | + | |
| − | 0 < b < 1 Streckung in x-Richtung
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| − | }} | + | |
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| − | ''Hinweis:''
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| − | ''Bei negativem b (b < 0) ist wegen sin(-x) = - sin(x) der Einfluss von a als Spiegeln an der y-Achse zu berücksichtigen!''
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Übertrage deine Ergebnisse auf cos(bx)
| + | |
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| | ---- | | ---- |
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| − | ==== Einfluss von c ==== | + | ===Experimentier-Ecke=== |
| | | | |
| − | Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ c </math> in
| + | {| |
| − | | + | | |
| − | :<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>
| + | {{Arbeit|ARBEIT= |
| − | | + | Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren. |
| − | Öffne dieses Applet:
| + | |
| − | | + | |
| − | <ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_c.ggb" /> <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ c </math> ändern. <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | * Stelle den Schieberegler auf <math> \ c = 1 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | * Überlege Dir, wie sich der Wert <math> \ c = 2 \ (\ c = -1; \ c = 0,5; \ c = \frac{\pi}{2}) </math> auf den Graphen auswirkt und überprüfe Deine Vermutung. <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | * Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ''Hefteintrag'' {{versteckt|
| + | |
| − | [[Bild:sin_c.jpg|center]]
| + | |
| − | Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x-c) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch Verschiebung um -c in Richtung der x-Achse.
| + | |
| − | | + | |
| − | Beachte dabei:
| + | |
| − | | + | |
| − | Ist c > 0, so verschiebe um den Betrag von c nach links entlang der x-Achse;
| + | |
| − | | + | |
| − | ist c < 0, so verschiebe um den Betrag von c nach rechts entlang der x-Achse.
| + | |
| | }} | | }} |
| | + | |{{#ev:youtube|UfDOp2oE7-k|150}}|| |
| | | | |
| − | | + | |} |
| − | Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)
| + | |
| | | | |
| | ---- | | ---- |
| | | | |
| − | ==== Einfluss von d ====
| + | {| |
| | + | | |
| | + | Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht! |
| | | | |
| − | Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ d </math> in
| + | <span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast! |
| | | | |
| − | :<math> x \rightarrow \sin x + d </math>
| + | Ich wünsche dir noch einen schönen Tag! |
| − | | + | ||{{#ev:youtube|nbT16tnv2V4|150}} |
| − | Öffne dieses Applet:
| + | |} |
| − | | + | |
| − | <ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_d.ggb" /> <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ d </math> ändern. <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | * Stelle den Schieberegler auf <math> \ d = 1 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | * Überlege Dir, wie sich der Wert <math> \ d = 2 \ (\ d = -1; \ d = 0,5) </math> auf den Graphen auswirkt und überprüfe Deine Vermutung. <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | * Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ''Hefteintrag'' {{versteckt|
| + | |
| − | [[Bild:sin_d.jpg|center]]
| + | |
| − | Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x)+d aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch Verschiebung um d in Richtung der y-Achse.
| + | |
| − | }} | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | * Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x)+d
| + | |
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| | ---- | | ---- |
| | | | |
| − | [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr5.html Hier] kannst beide Parameter c und d von sin(x+c)+d durch Verschieben des Graphen ändern und die Auswirkung auf den Funktionsterm betrachten.
| |
| | | | |
| − | Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)+d
| + | {{Autoren|[[Benutzer:Silvia Joachim|<b>Silvia Joachim</b>]], [[Benutzer:Karlo Haberl|<b>Karl Haberl</b>]] und [[Benutzer:Franz Embacher|<b>Franz Embacher</b>]]}} |
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| − | === Aufgaben: ===
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| − |
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| − | * In diesem [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr10.html Arbeitsblatt] kannst du die verschiedenen Parameter variieren und die Auswirkungen auf den Graphen beobachten. Bearbeite auch die darunter gestellten Aufgaben.
| |
| − |
| |
| − | * In diesem [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr11.html Arbeitsblatt] sollst du die zu den Graphen gehörenden Funktionsterme finden.
| |
| − |
| |
| − | * Was fällt auf, wenn du [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr10.html hier] für <math>\ b > 1</math> den Parameter <math>\ c</math> änderst?<br>
| |
| − |
| |
| − | * In dem Applet auf [http://www.gymnasium-walldorf.de/mathematik/trigo_otto/trigo.html dieser Seite] werden die Parameter <math>\ b</math> und <math>\ c</math> anders verwendet. Finde den Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen heraus.
| |
| − |
| |
| − | Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(bx+c)+d beziehungsweise a cos[b(x+c)]+d
| |
| | | | |
| | ---- | | ---- |
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| − | === Sinus und Cosinus ===
| + | [[Kategorie:Trigonometrische Funktionen|!]] |
| − | | + | |
| − | Wie hängen die Sinus- und die Cosinusfunktion zusammen? betrachte die Graphen
| + | |
| − | der Funktionen <math>\sin(x+\pi/2)</math> und <math>\cos(x)</math>!
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| − | Was fällt dir auf?
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| − | | + | |
| − | === Teste Dich! ===
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| − | | + | |
| − | Klicke auf die richtigen Zuordnungen!
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| − | | + | |
| − | <quiz display="simple">
| + | |
| − | | + | |
| − | }
| + | |
| − | | <math>\ a<-1; </math> | <math> -1<\ a<0; </math> | <math> 0<\ a<1; </math> | <math> 1<\ a</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ---- Verschiebung nach oben
| + | |
| − | ---- Verschiebung nach unten
| + | |
| − | ---- Verschiebung nach rechts
| + | |
| − | ---- Verschiebung nach links
| + | |
| − | ---- Streckung in x-Richtung / Verkleinerung der Frequenz
| + | |
| − | ---- Stauchung in x-Richtung / Vergrößerung der Frequenz
| + | |
| − | +--+ Streckung in y-Richtung / Vergrößerung der Amplitude
| + | |
| − | -++- Stauchung in y-Richtung / Verkleinerung der Amplitude
| + | |
| − | ++-- Spiegelung an x-Achse
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| − | ---- Spiegelung an y-Achse
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| − | | + | |
| − | </quiz>
| + | |
| − | | + | |
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| − | <quiz display="simple">
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| − | | + | |
| − | }
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| − | | <math>\ b<-1; </math> | <math> -1<\ b<0; </math> | <math> 0<\ b<1; </math> | <math> 1<\ b</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ---- Verschiebung nach oben
| + | |
| − | ---- Verschiebung nach unten
| + | |
| − | ---- Verschiebung nach rechts
| + | |
| − | ---- Verschiebung nach links
| + | |
| − | -++- Streckung in x-Richtung / Verkleinerung der Frequenz
| + | |
| − | +--+ Stauchung in x-Richtung / Vergrößerung der Frequenz
| + | |
| − | ---- Streckung in y-Richtung / Vergrößerung der Amplitude
| + | |
| − | ---- Stauchung in y-Richtung / Verkleinerung der Amplitude
| + | |
| − | ---- Spiegelung an x-Achse
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| − | ++-- Spiegelung an y-Achse
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| − | </quiz>
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| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <quiz display="simple">
| + | |
| − | | + | |
| − | }
| + | |
| − | | <math>\ c<-1; </math> | <math> -1<\ c<0; </math> | <math> 0<\ c<1; </math> | <math> 1<\ c</math>
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| − | ---- Verschiebung nach oben
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| − | ---- Verschiebung nach unten
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| − | ++-- Verschiebung nach rechts
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| − | --++ Verschiebung nach links
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| − | ---- Streckung in x-Richtung / Verkleinerung der Frequenz
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| − | ---- Stauchung in x-Richtung / Vergrößerung der Frequenz
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| − | ---- Streckung in y-Richtung / Vergrößerung der Amplitude
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| − | ---- Stauchung in y-Richtung / Verkleinerung der Amplitude
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| − | ---- Spiegelung an x-Achse
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| − | ---- Spiegelung an y-Achse
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| − | </quiz>
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| − | <quiz display="simple">
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| − | }
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| − | | <math>\ d<-1; </math> | <math> -1<\ d<0; </math> | <math> 0<\ d<1; </math> | <math> 1<\ d</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | --++ Verschiebung nach oben
| + | |
| − | ++-- Verschiebung nach unten
| + | |
| − | ---- Verschiebung nach rechts
| + | |
| − | ---- Verschiebung nach links
| + | |
| − | ---- Streckung in x-Richtung / Verkleinerung der Frequenz
| + | |
| − | ---- Stauchung in x-Richtung / Vergrößerung der Frequenz
| + | |
| − | ---- Streckung in y-Richtung / Vergrößerung der Amplitude
| + | |
| − | ---- Stauchung in y-Richtung / Verkleinerung der Amplitude
| + | |
| − | ---- Spiegelung an x-Achse
| + | |
| − | ---- Spiegelung an y-Achse
| + | |
| − | </quiz>
| + | |
| − | | + | |
| − | === Zum Schluss noch was zum Knobeln!!! ===
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Anwendungen:'''
| + | |
| − | | + | |
| − | * In dem Applet auf dieser [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/wellen/welle1.html Seite] wird gezeigt, wie man eine Schwingung darstellen kann. Mit dem Schieberegler für t kannst du die Schwingung darstellen. Überlege dir die gestellten Aufgaben und finde dann mit den angegebenen Größen y_max und T einen Funktionsterm für die zugehörige Sinusschwingung.
| + | |
| − | | + | |
| − | * In dem Applet auf diesem [http://www.geogebra.org/de/examples/fourier/Arbeitsblaetter/1_sinusschwingung-allg.html Arbeitsblatt] werden die Parameter einer Sinusschwingung aus der Physik behandelt. Welche Parameter a,b,c,d entsprechen welchen physikalischen Größen a, f, phi_0?
| + | |
| − | | + | |
| − | * In diesem [http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/ Lernpfad] zur harmonischen Schwingung findest du als Lernschritt 8 eine Aufgabe. Kannst du sie lösen? Fertige eine Zeichnung an! Finde die entsprechenden Größen a,b,c,d von a sin(b x - c)+d?
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Super! Nun hast Du es geschafft und das Ende des Lernpfades erreicht.
| + | |
| − | | + | |
| − | === Aufgaben ===
| + | |
| − | | + | |
| − | * Auf einem Oszilloskop sieht man folgendes Bild:
| + | |
| − | [[bild:oszilloskop.jpg|center|500px]]
| + | |
| − | Was kann man dort ablesen? Wie erhält man aus dem Bild die nötigen Informationen?<br>
| + | |
| − | Wie liest man aus der angezeigten Kurve Nullstellen, maximale Amplitude, Abstände, ... ab?
| + | |
| | | | |
| − | * In diesem Bild [[bild:sin(2x-2).jpg|center]] sind der Graph der Sinusfunktion (rot) und ein weiterer Graph einer Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.<br>
| + | [[zum-wiki:Trigonometrische Funktionen]] |
| − | Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?<br>
| + | |
| − | Stelle in der Zeichnung fest an welchen Stellen der Graph der schwarzen Funktion Nullstellen hat und notiere sie.<br>
| + | |
| − | Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte/Tiefpunkte?<br>
| + | |
| − | Wo ist er streng monoton fallend/steigend?
| + | |
-Achse mit Vielfachen von 
beschriftet. Indem man die 
