Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Information| TITEL = '''Informationen für den Lehrer:'''| INFO = Hier sollen sich die Schüler mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und deren Auswirkungen erarbeiten und beschreiben können.
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[[Benutzer:Silvia Joachim|<b>Silvia Joachim</b>]], [[Benutzer:Karlo Haberl|<b>Karl Haberl</b>]] und [[Benutzer:Franz Embacher|<b>Franz Embacher</b>]]
  
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* Zeitbedarf: etwa 2 Unterrichtsstunden
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{{Kasten1000| BREITE =100%|
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ÜBERSCHRIFT =Über diesen Lernpfad| INHALT1=Hier sollen sich die SchülerInnen mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und ihre Auswirkung erarbeiten und beschreiben können.|
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Bekannt sind:
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INHALT2=Kompetenzen| INHALT2a='''Das kannst du schon'''
  
 
*Darstellungsformen von Funktionen
 
*Darstellungsformen von Funktionen
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*Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
 
*Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
  
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Ziele:
 
  
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*Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion, und umgekehrt.  
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Wenn du die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe [[Trigonometrische Funktionen/Wiederholung|diese Seite]] auf.  
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*Unterschiedliche Variablenbezeichnungen identifizieren können
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| INHALT2b='''Das kannst du lernen'''
  
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Materialien zum Ausdrucken:
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*Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.
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| INHALT3=Für LehrerInnen:<br />
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[[/Didaktischer Kommentar|Didaktischer Kommentar]]}}
  
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*Einteilung der Expertenteams (fehlt noch)
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{{Trigonometrische Funktionen}}
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*Arbeitsblatt (fehlt noch)
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=== Hallo! ===
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Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?
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|[[Bild:Hellsehen.jpg|150px]]||
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Hallo! Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?
  
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Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrscht du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von Deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Cosinusfunktion übertragen können.
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Für die linearen und die [[Trigonometrische_Funktionen/Quadratische Funktionen|quadratischen Funktionen]] beherrschst du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.  
  
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Viel Spass!
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{{#ev:youtube|nw2Oksmik2A|150}}
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'''Hinweise:'''
  
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Mit der Geburt beginnen beim Menschen aktive und passive Phasen, die den körperlichen, seelischen und geistigen Bereich betreffen. Sie treten zyklisch immer wiederkehrend auf. Diese Zyklen heißen [http://www.tay-tec.de/biorhythm/biorhythm-applet.de.html Biorythmen]. Wir wollen nun untersuchen, wie man solch unterschiedliche Graphen mathematisch mit Hilfe von Parametern darstellen kann.
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*Denke bitte daran die Hefteinträge in dein Heft zu übernehmen!
  
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*Bei den GeoGebra-Applets ist die <math>\ x</math>-Achse mit Vielfachen von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die <math>\ x</math>-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' cm ''umstellen.
  
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=== Einfluss der Parameter bei der allgemeinen Sinusfunktion ===
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*Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen!
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{{#ev:youtube|j3cCtx-bao0|150}}
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In der Funktion
 
  
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:<math> x \rightarrow a\cdot \sin ( b\cdot x + c ) + d </math>
 
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sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Im Folgenden seien <math>\ a,b,c,d \in \R </math> und <math>a,b\neq 0</math>.
 
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<math> \rightarrow </math> ''Hinweis: Bei den GeoGebra-Applets ist die <math>\ x</math>-Achse mit Vielfachen von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die <math>\ x</math>-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' cm ''umstellen.''
 
 
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{| class="wikitable"
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! Hallo Team A!            !!  Hallo Team B!                      !!  Hallo Team C!        !! Hallo Team D!
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Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station!
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Untersucht [[Einfluss von a|hier]] den Einfluss von
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 +
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter|Station 1: Erforsche hier den Einfluss der Parameter auf das Aussehen des Graphen!]]'''
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</div>
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<graphviz>
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digraph G {
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rankdir=RL;
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"Term" -> "Graph"[label="                                                      "];
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edge [color = white]; "Term" -> "Hellsehen";
 +
"Hellsehen" -> "Graph";
 +
edge [color = black]; rankdir=LR;
 +
"Graph" -> "Term"; 
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}
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</graphviz>
 +
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 +
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Station 2: Erfahre hier, wie du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen kannst - und mehr!]]'''</div>
  
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:<math> \ a </math>
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auf den Graph der Funktion
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===Physik-Ecke===
  
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:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x  </math>.
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{| border=0
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|{{#ev:youtube|jlZ3fCw5m1U|150}}
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|rowspan=2 |
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 +
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Anwendungen in der Physik|Lerne hier einige Anwendungen in der Physik kennen!]]'''</div>
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|}
  
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Untersucht [[Einfluss von b|hier]] den Einfluss von
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:{{#ev:youtube|eAKO-C8Duac|150}}
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:<math> \ b </math>
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auf den Graph der Funktion
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===Experimentier-Ecke===
  
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:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>.  
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{|
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{{Arbeit|ARBEIT=
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Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.
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}}
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|{{#ev:youtube|UfDOp2oE7-k|150}}||
  
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Untersucht [[Einfluss von c|hier]] den Einfluss von
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:<math> \ c </math>
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{|
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|
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Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht!
  
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auf den Graph der Funktion
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<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!
  
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:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>.
+
Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!
 +
||{{#ev:youtube|nbT16tnv2V4|150}}
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|}
  
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Untersucht [[Einfluss von d|hier]] den Einfluss von
 
  
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:<math> \ d </math>  
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{{Autoren|[[Benutzer:Silvia Joachim|<b>Silvia Joachim</b>]], [[Benutzer:Karlo Haberl|<b>Karl Haberl</b>]] und [[Benutzer:Franz Embacher|<b>Franz Embacher</b>]]}}
  
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auf den Graph der Funktion
 
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:<math> x \rightarrow \sin x + d </math>.
 
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|}
 
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=== Aufgaben ===
 
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* In diesem [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr10.html Arbeitsblatt] kannst du die verschiedenen Parameter variieren und die Auswirkungen auf den Graphen beobachten. Bearbeite auch die darunter gestellten Aufgaben.
 
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−
* In diesem [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr11.html Arbeitsblatt] sollst du die zu den Graphen gehörenden Funktionsterme finden.
 
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−
* Was fällt auf, wenn du [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr10.html hier] für <math>\ b > 1</math> den Parameter <math>\ c</math> änderst?<br>
 
−
 
−
* In dem Applet auf [http://www.gymnasium-walldorf.de/mathematik/trigo_otto/trigo.html dieser Seite] werden die Parameter <math>\ b</math> und <math>\ c</math> anders verwendet. Finde den Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen heraus.
 
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−
Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(bx+c)+d beziehungsweise a cos[b(x+c)]+d
 
  
 
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=== Sinus und Cosinus ===
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[[Kategorie:Trigonometrische Funktionen|!]]
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−
Wie hängen die Sinus- und die Cosinusfunktion zusammen? Erstelle die Graphen
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der Funktionen <math>\,\!\sin(x+\pi/2)</math> und <math>\,\!\cos(x)</math> und
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−
betrachte sie! Was fällt dir auf?
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=== Zum Schluss noch was zum Knobeln!!! ===
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'''Anwendungen:'''
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* In dem Applet auf dieser [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/wellen/welle1.html Seite] wird gezeigt, wie man eine Schwingung darstellen kann. Mit dem Schieberegler für t kannst du die Schwingung darstellen. Überlege dir die gestellten Aufgaben und finde dann mit den angegebenen Größen y_max und T einen Funktionsterm für die zugehörige Sinusschwingung.
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−
 
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* In dem Applet auf diesem [http://www.geogebra.org/de/examples/fourier/Arbeitsblaetter/1_sinusschwingung-allg.html Arbeitsblatt] werden die Parameter einer Sinusschwingung aus der Physik behandelt. Welche Parameter a,b,c,d entsprechen welchen physikalischen Größen a, f, phi_0?
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* In diesem [http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/ Lernpfad] zur harmonischen Schwingung findest du als Lernschritt 8 eine Aufgabe. Kannst du sie lösen? Fertige eine Zeichnung an! Finde die entsprechenden Größen a,b,c,d von a sin(b x - c)+d?
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Super! Nun hast Du es geschafft und das Ende des Lernpfades erreicht.
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=== Aufgaben ===
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* Auf einem Oszilloskop sieht man folgendes Bild:
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[[bild:oszilloskop.jpg|center|500px]]
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Was kann man dort ablesen? Wie erhält man aus dem Bild die nötigen Informationen?<br>
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−
Wie liest man aus der angezeigten Kurve Nullstellen, maximale Amplitude, Abstände, ... ab?
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−
* In diesem Bild [[bild:sin(2x-2).jpg|center]] sind der Graph der Sinusfunktion (rot) und ein weiterer Graph einer Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.<br>
+
[[zum-wiki:Trigonometrische Funktionen]]
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Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?<br>
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−
Stelle in der Zeichnung fest an welchen Stellen der Graph der schwarzen Funktion Nullstellen hat und notiere sie.<br>
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Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte/Tiefpunkte?<br>
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Wo ist er streng monoton fallend/steigend?
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Aktuelle Version vom 3. Juli 2016, 12:35 Uhr

Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher

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Über diesen Lernpfad

Hier sollen sich die SchülerInnen mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und ihre Auswirkung erarbeiten und beschreiben können.

Kompetenzen

Das kannst du schon

  • Darstellungsformen von Funktionen
  • Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und quadratischen Funktionen
  • Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen


Wenn du die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe diese Seite auf.

Das kannst du lernen

  • Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.
  Pfeil.gif Für LehrerInnen:

Didaktischer Kommentar

Einführung - Einfluss der Parameter - Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr - Anwendungen in der Physik

Hellsehen.jpg

Hallo! Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?

Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrschst du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.

Hinweise:

  • Denke bitte daran die Hefteinträge in dein Heft zu übernehmen!
  • Bei den GeoGebra-Applets ist die \ x-Achse mit Vielfachen von \pi beschriftet. Indem man die \ x-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit cm umstellen.
  • Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen!


Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station!

<graphviz> digraph G { rankdir=RL; "Term" -> "Graph"[label=" "]; edge [color = white]; "Term" -> "Hellsehen"; "Hellsehen" -> "Graph"; edge [color = black]; rankdir=LR; "Graph" -> "Term"; } </graphviz>

Physik-Ecke

Experimentier-Ecke

  Aufgabe   Stift.gif

Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.

Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht!

Hefteintrag: Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!

Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!


Team.gif
Dieser Lernpfad wurde erstellt von:

Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher


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