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In Österreich ist es üblich, dass Lebensmittel verarbeitende und verkaufende Betriebe der Lebensmittelkontrolle obliegen (sie [http://www.bmgfj.gv.at/cms/site/thema.html?channel=CH0834 Bundesministerium für Gesundeheit]. Lebensmittel dürfen nämlich einen bestimmten Grenzwert an Bakterien nicht überschreiten, wenn sie verkauft werden sollen. Lebensmittelkontrollore überwachen die korrekt Verwahrung der Speisen und Getränke.  
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In Österreich ist es üblich, dass Lebensmittel verarbeitende und verkaufende Betriebe der Lebensmittelkontrolle obliegen (sie [http://www.bmgfj.gv.at/cms/site/thema.html?channel=CH0834 Bundesministerium für Gesundheit]. Lebensmittel dürfen nämlich einen bestimmten Grenzwert an Bakterien nicht überschreiten, wenn sie verkauft werden sollen. Lebensmittelkontrollore überwachen die korrekt Verwahrung der Speisen und Getränke.  
  
 
Egal um welche Art von Keimen es sich handelt, die Vermehrungsrate ist gigantisch. Aus diesem Grund verwendet man häufig eine Exponenzialfunktion, um das Wachstum zu beschreiben. Mit Hilfe des Zusammenhangs <math>N(t)=a\cdot e^{b\cdot t}</math> lässt sich diese Wachstum beschreiben.
 
Egal um welche Art von Keimen es sich handelt, die Vermehrungsrate ist gigantisch. Aus diesem Grund verwendet man häufig eine Exponenzialfunktion, um das Wachstum zu beschreiben. Mit Hilfe des Zusammenhangs <math>N(t)=a\cdot e^{b\cdot t}</math> lässt sich diese Wachstum beschreiben.

Version vom 29. März 2009, 20:30 Uhr

Matthias Kittel und Walter Wegscheider

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Über diesen Lernpfad

Schüler/innen sollen sich mit der Beschreibung von dynamischen Vorgängen beschäftigen und den Unterschied zwischen diskreten Vorgängen (Beschreibung über Differenzengleichungen) und kontinuierlichen Vorgängen (Beschreibung über Differentialgleichungen) kennen lernen.

Kompetenzen

Das kannst du schon

  • Darstellungsformen von Funktionen
  • Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.)

Das kannst du lernen

  • Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen
  • Wie beschreibt man kontinuierliche dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differentialgleichungen - Visualisierung und Lösungsansätze mit Hilfe verschiedener Technologieunterstützungen an verschiedenen Beispielen
  Pfeil.gif Didaktischer Kommentar

Inhaltsverzeichnis

Rekursive Beschreibung von Veränderungen

Numerische Näherung - Heronverfahren

Das Heron-Verfahren (auch babylonisches Wurzelziehen genannt) ist ein rekursives Näherungsverfahren zur Berechnung der Quadratwurzel einer Zahl.

Die Iterationsvorschrift zur Berechnung der Wurzel aus a (\sqrt{a}) lautet: x_{n+1}=\frac{x_{n}+\frac{a}{x_{n}}}{2}

Der Startwert der Iteration kann dabei (ungleich Null!) beliebig positiv festgesetzt werden.

Derartige Rekursionen lassen sich mittels jeder Programmiersprache oder auch mit den Möglichkeiten eines Computer-Algebra-Systems (CAS) darstellen. Eine alternative Möglichkeit ist die Verwendung einer Tabellenkalkulation.

Lösungsansätze:

Radioaktiver Zerfall

Der radioaktive Zerfall wird durch die Gleichung N(t)=a\cdot e^{-b\cdot t} beschrieben, die als Differenzengleichung so aussieht: N_{t+1}=N_{t}\cdot e^{b\cdot \tau}, \tau ist der Zeitschritt .

Bei dem hier gezeigten Beispiel zerfällt ein radioaktives Element in ein zweites stabiles Element. Physikalische Informationen findet man beim Mineralienatlas.

In der Tabellenkalkulation zum radioaktiven Zerfall ist die Differenzengleichung für ein zerfallendes Element berechnet und die Ergebnisse als Graph dargestellt. Anfangskernanzahl, Zerfallsparameter und Zeitschritt können variert werden.

Für Beispiele zum radioaktiven Zerfall siehe hier

Die Herleitung der analytischen Lösung findet man hier.

Räuber-Beute-Modell

Zum Thema Räuber-Beute-Modell geht es hier.

Differenzengleichung

Begriffsbildung

Eine Differenzengleichung ist eine Möglichkeit, dynamische Systeme abzubilden. Dabei wird eine Folge von diskreten (einzeln betrachtbaren, "abzählbaren") Ereignissen rekursiv definiert. Jedes Folgenglied ist daher eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder.

Form: \,x_{n} = f(x_{n-1},x_{n-2},...,x_{1},x_{0})
für natürliche Zahlen n.

Die Veränderung wird durch den Differenzenquotienten angegeben: \frac{\Delta y}{\Delta n}
mit \,n \in N

Dabei entspricht:
\Delta y_{n} \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n} und damit beispielsweise \Delta y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}=y_{n}+5

Links:

Marktgleichgewicht - Cobweb-DIagramm

Cobweb / Spinnwebdiagramme stellen eine gute Möglichkeit dar, Rekursionen darzustellen.

Links:

Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung

Exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle

In Österreich ist es üblich, dass Lebensmittel verarbeitende und verkaufende Betriebe der Lebensmittelkontrolle obliegen (sie Bundesministerium für Gesundheit. Lebensmittel dürfen nämlich einen bestimmten Grenzwert an Bakterien nicht überschreiten, wenn sie verkauft werden sollen. Lebensmittelkontrollore überwachen die korrekt Verwahrung der Speisen und Getränke.

Egal um welche Art von Keimen es sich handelt, die Vermehrungsrate ist gigantisch. Aus diesem Grund verwendet man häufig eine Exponenzialfunktion, um das Wachstum zu beschreiben. Mit Hilfe des Zusammenhangs N(t)=a\cdot e^{b\cdot t} lässt sich diese Wachstum beschreiben.

Diese Problem lässt sich mittel Differenzengleichung N_{t+1}=N_{t}\cdot e^{b\cdot \tau} modellieren, wobei \tau der Zeitschritt ist. Dies ist in der Tabellenkalkulationsmappe Lebensmittel.xls realisiert. In der Arbeitsmappe befindet sich ein Arbeitsblatt, das zur Rückrechnung einer Keimanzahl verwendet werden kann. So kann überprüft werden, ob eine Lebensmittelprobe zum Zeitpunkt des Verkaufs noch genießbar war. Es lassen sich die Anfangsanzahl der Keime sowie die Vermehrungskonstante variieren. Die Ergebnisse sing graphisch und in einer Tabelle dargestellt.

Maehnrot.jpg
Merke:

Antibakterienvermehrungstheorem:
Um Keime nicht zum Leben zu erwecken,
ist das gute Lebensmittel im Kühlschrank zu verstecken.

Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung

Die Gleichung N(t)=N_{0} \cdot e^{-\lambda \cdot x} ist eine der bekanntesten der Mathematik und wird in der zehnten Schulstufe eingeführt. In der zwölften Schulstufe ist es nun mit Hilfe der Integralrechung möglich, ausgehend vom Ansatz N(t)'=-N(t) \cdot \lambda obige Relationen per Differentialgleichung analytisch herzuleiten. Unter Rad_zerfall_analytisch.pdf ist diese Herleitung Schritt für Schritt nachvollziehbar. Zuerst wird der allgemeine Fall besprochen und dann der Bezug auf die Anwendung beim radioaktiven Zerfall hergestellt.

Zusätzlich sind drei Standardaufgaben angegeben, um die Verwendung der Gleichung zu wiederholen.

Beispiele zum radioaktiven Zerfall

Maehnrot.jpg
Merke:

Halbwertszeit: Der Zeitraum, in dem eine (meist exponentiell) abfallende Größe auf die Hälfte ihres Anfangswertes abgesunken ist. Die physikalische Halbwertszeit ist die für jedes Isotop eines radioaktiven Elementes charakteristische Zeitdauer, in der von einer ursprünglichen vorhandenen Anzahl radioaktiver Kerne bzw. instabilen Elementarteilchen die Hälfte zerfallen ist (entnommen aus Brockhaus in 5 Bänden, zweiter Band).

  Aufgabe 1  Stift.gif

Jod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Berechne den Parameter λ (Basiszeiteinheit 1 Tag und 1 Jahr) in der Zerfallsgleichung auf 6 gültige Nachkommastellen!


  Aufgabe 2  Stift.gif

Von Kobalt-60 ist nach 3,88 Jahren 40% des Ausgangsmaterials zerfallen. Wie groß ist die Halbwertszeit dieses Isotops?


  Aufgabe 3  Stift.gif

Von 24000 Cäsium-137-Kernen sind nach einer bestimmten Zeit \,t 21771 Kerne zerfallen. Die Halbwertszeit des Isotops beträgt 2,1 Jahre. Berechne \,t!


Aufgaben im pdf-Format

Die Angaben zu den Aufgaben findet man unter Bsp_rad_zerfall.pdf (43 kb).

Lösungen im pdf-Format

Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter Lösungen zu Bsp_rad_zerfall.pdf (59 kb).

Abbau von Giftstoffen

In der Natur kommt es relativ häufig vor, dass ein Stoff in einen zweiten zerfällt, und dieser wiederum in einen weiteren. Beispiele sind eine Zerfallsreihe von radialtiven Elementen, Abbau und Umwandlung von Hormonen im Blut oder der Abbau eines Giftstoffes im Körper oder einem Gewässer. In dem hier präsentierten Beispiel zerfällt ein Giftstoff über ein Zwischenprodukt in ein harmloses Endprodukt. Für die ersten beiden lässt sich eine Anfangskonzentration und eine Abbaukonstante eingeben. In der Tabellenkalkulation werden die Zusammenhänge mittels Differenzengleichung und Graphen visualisiert.

Eine komplette analytische Herleitung der Lösungen der entsprechenden Differenzialgleichungen findet sich in folgender Dateien:

Eine Zusammenfassung des Giftstoffproblems ist ebenfalls abrufbar.

Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum

Als logistische Gleichung wird eine Differenzengleichung der Form x_{n+1}=r\cdot x_{n}\cdot(1-x_{n}), sie wird verwendet, um ein Wachstum mit Schranke zu modellieren. Die \,x_{i} liegen im Intervall zwischen \,0 und \,1 und beschreiben die Größe einer Population prozentuell. In der Konstanten r sind Parameter wie Wachstumsrate, Sterblichkeit und Ähnliches zusammengefasst. Die zugehörige Differenzialgleichung (DGLG) sieht folgendermaßen aus: f'(t)=r\cdot f(t)\cdot(1-f(t)) Diese DGLG kann analytisch gelöst werden, zur Vereinfachung wird statt \,f(t) \,fgeschrieben:

\frac{df}{dt}=r\cdot f\cdot (1-f)

\frac{df}{f\cdot (1-f)}=r dt

\int \frac{df}{f\cdot (1-f)}=\int r dt

\int \frac{A}{f}+\frac{B}{1-f}df=\int r dt

Mittels Partialbruchzerlegung ermittelt man für \,A und \,B jeweils der Wert \,1 .

\int \frac{1}{f}+\frac{1}{1-f}df=\int r dt

ln f - ln(1-f) = r\cdot t + C

ln \frac{f}{1-f} = r\cdot t + C

\frac{f}{1-f} = e^{r\cdot t + C}

f = e^{r\cdot t + C}(1-f)=e^{r\cdot t + C}-e^{r\cdot t + C}\cdot f


f+e^{r\cdot t + C}\cdot f = e^{r\cdot t + C}

f\cdot(e^{r\cdot t + C}+1) = e^{r\cdot t + C}

f = \frac{e^{r\cdot t + C}}{(e^{r\cdot t + C}+1)}=\frac{1}{1+\frac{1}{e^{r\cdot t + C}}}

Die Lösungsfunktion der logistischen DGLG lautet nun:

f(t)=\frac{1}{1+e^{-r\cdot t +C}}

Graph der Funktion!
Die Integrationskonstante \,C kann mittels der Anfangsbedingung \,A(0/f_{0}) ermittelt werden.

f_{0}=\frac{1}{1+e^{-r\cdot 0 +C}}=\frac{1}{1+e^{C}}

f_{0}\cdot(1+e^{C})=1

1+e^{C}=\frac{1}{f_{0}}

e^{C}=\frac{1}{f_{0}}-1

C=ln(\frac{1}{f_{0}}-1)

mit \,f_{0}<0, da die maximale Population auf \,1 normiert ist.

Die komplette Lösung lautet nun:

f(t)=\frac{1}{1+e^{-r\cdot t +ln(\frac{1}{f_{0}}-1)}}

Link:

Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst

Erläuterungen, Informationen und Aufgaben zum Ein-Lebewesen-Modell findet man hier.

Weitere Beispiele

Differenzialgleichungen

Begriffsbildung

Als (gewöhnliche) Differenzialgleichung (DGLG) wird eine Gleichung bezeichnet, die neben einer Unbekannten \,x auch deren Ableitung(en) \,x' (\,x'', ...) enthält. Gelöst wird eine DGLG mittels Integralrechnung.

Die Lösung einer DGLG ist nicht wie bei einer herkömmlichen Gleichung eine Zahl, sondern eine Funktion, genauer eine Funktionenschar, die aus unendlich vielen Funktionen besteht. Da beim unbestimmten Integrieren immer eine Integrationskonstante auftritt, muss eine Zusatzinformation (Anfangsbedingung) gegeben sein, um die Konstante zu bestimmen.

Erst durch die Anfangsbedingung, die einem Punkt auf dem Graphen der Lösungsfunktion entspricht, kann die Lösungsfunktion exakt bestimmt werden. Die Lösung ist nun eine spezielle Funktion!

DGLG können in allen Bereichen des Lebens angetroffen werden, besonders in den Naturwissenschaften oder der Wirtschaft und dem Sport. In allen Zusammenhängen, bei denenen es um Veränderungen geht, kommen DGLG zur Anwendung.

Eine Übersicht über die Klassifikation von DGLG findet man unter http://www.math.tu-berlin.de/geometrie/Lehre/SS05/GDglmA/skriptKlassif.pdf

Links:

Lösung einfacher Differenzialgleichungen

  Aufgabe 1  Stift.gif

Löse die Differenzialgleichung y'\cdot y^2=-x mit der Anfangsbedingung \,A(2/2)!


\frac{dy}{dx}\cdot y^2=-x

\,y^2dy=-xdx

\int y^2dy=\int-xdx

\frac{y^3}{3}=-\frac{x^2}{2}+C

y^3=-\frac{3x^2}{2}+3C

y=\sqrt[3]{-\frac{3x^2}{2}+3C}

Einsetzen der Anfangsbedingung:

2=\sqrt[3]{-\frac{3\cdot 2^2}{2}+3C}

2=\sqrt[3]{-6+3C}

\,8=-6+3C

\,14=3C

\,C=\frac{14}{3}

Lösung: y=\sqrt[3]{-\frac{3x^2}{2}+14}

Ausblick

Näherungsverfahren

Bisher wurde die Lösung der betrachteten Differentialgleichungen über Integration vorgestellt. Man versucht dabei, eine mathematisch exakte (und bis auf die Integrationskonstante eindeutige) Lösung formal zu bestimmen. Die gefundene Lösungsfunktion liefert eine vollständige Beschreibung des betrachteten Problems über den gesamten definierten Verlauf. In den meisten Fällen sind diese gefundenen Lösungsfunktionen auch stetig und bieten daher eine kontinuierliche Problemlösung.
Es gibt aber viele Integrale und damit Differentialgleichungen, die man nur äußerst mühselig oder in vielen Fällen überhaupt nicht exakt lösen kann!
Man geht daher oft den - nebenbei auch bei der Automatisation der Lösungsalgorithmen mit dem Computer meist schnelleren - Weg, die Probleme näherungsweise zu lösen. Man setzt also auf Näherungsverfahren, die das vorliegende Problem für eine diskrete (endliche) Zahl von Punkten möglichst genau lösen. Man ersetzt also die vollständige Integration einer Funktion durch die näherungsweise Berechnung (des bestimmten Integrals) in einem bestimmten Bereich, für den man sich interessiert. Für diese Näherung / Diskretisierung gibt es verschiedene, unterschiedlich genaue - unterschiedlich komplexe Verfahren.

Grundsatz: Der Differentialquotient wird näherungsweise durch den dazugehörigen Differentenquotienten beschrieben.

\frac {dy(x)}{dx} beschrieben durch \frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {y(x_{n+1})-y(x_{n})}{x_{n+1}-x_{n}}

Die bekanntesten Näherungsverfahren

  • Euler-Cauchy-Verfahren
  • Runge-Kutta-Verfahren

Eine Beschreibung der Verfahren finden Sie bei Ulrich Streit, Skript zur Übung "Werkzeuge zur numerischen Modellierung", 1999

Beispiele:

Links:


© 2009, Projekt "Medienvielfalt im Mathematikunterricht"

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