Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math>
 
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{{Merksatz|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist  (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) <math>{\Bbb D} = {\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion <math>g</math> der Bauart <math>g(x)=x^n</math> und <math>g</math> die Umkehrfunktion zu <math>f</math> (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen | nächstes Kapitel]]).
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{{Merksatz|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist  (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR<sup>+</sup><sub>0</sub>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)<math>=</math> x<sup>n</sup> und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen | nächstes Kapitel]]).
  
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Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
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Im Falle n<math>=</math>3 nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.  
 
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Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonale B in einem Quadrat''' der Seitenlänge a<math>=</math>1 über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:
 
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
 
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
 
Die Lösung ist <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
 
Die Lösung ist <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
 
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| Auch die Länge der '''Raumdiagonale C im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = D^2</math>) zu:
 
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
 
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
 
Die Lösung ist also <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle C = \sqrt{3}</math></font> angeben.
 
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=== Beispiel: Kubikwurzel ===
 
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Das Volumen V eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge s<math>=</math>5 ergibt sich über:<br />
 
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Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel:
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Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V<math>=</math>27 durch ziehen der 3.-Wurzel:
 
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In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br />
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# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
 
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
 
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
 
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:{{Lösung versteckt|
 
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: zu 1.) Der Parameter <math>a</math> bewirkt für <math>a>1</math> eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für <math>0<a<1</math> eine Stauchung in y-Richtung; für <math>a=0</math> erhält man eine konstante Funktion mit <math>f(x)=c</math>. Wird <math>a</math> negativ, so wird <math>f</math> zu einer monoton fallenden Funktion.<br />zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert <math>y</math> der Wert <math>c</math> addiert wird.
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: zu 1.) Der Parameter a bewirkt für a>1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für 0<a<1 eine Stauchung in y-Richtung; für a<math>=</math>0 erhält man eine konstante Funktion mit f(x)<math>=</math>c. Wird a negativ, so wird f zu einer monoton fallenden Funktion.<br />zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert y der Wert c addiert wird.
 
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erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:  
 
erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:  

Version vom 17. Januar 2011, 13:02 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - Test


Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form \textstyle \frac{1}{n} mit n \in \mathbb{N} als Exponenten haben.

Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen f(x) = x1/n, n ∈ IN

Funktionsgraph kennenlernen

  Aufgabe 1  Stift.gif

Rechts siehst Du den Graphen der Funktion f(x)=x^{\frac 1 n} für n \in \{2,3,4,5,6\}.

  1. Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
zu 1) Der Definitionsbereich ist {\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq 0}. Der kleinste Funktionswert y=0 wird für x=0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.
zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. Begründung: Es gilt 0r =0 und 1r =1 für alle r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}.


Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

  Aufgabe 2  Stift.gif

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot strichliert); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

  1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert y=0 wird für x=0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.
zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets 1r =1 für alle r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}.


Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit f(x)=x^{\frac 1 n} , n \in \mathbb{N}.

Maehnrot.jpg
Merke:

Wegen x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x} nennt man diese Funktionen auch Wurzelfunktionen. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR+0. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit f(x)=x^{\frac 1 n} die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)= xn und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur Umkehrfunktion siehe nächstes Kapitel).

Im Falle n=2 nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:

x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}

Im Falle n=3 nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: x^{\frac{1}{3}} bzw. \sqrt[3]{x}.

Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:


Beispiel: Quadratwurzeln

Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonale B in einem Quadrat der Seitenlänge a=1 über den Satz des Pythagoras \left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right) zu:

a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow \quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.

Die Lösung ist \textstyle d=-\sqrt{2} ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.

Diagonale.png
Auch die Länge der Raumdiagonale C im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: B^2 + \!\,a^2 = D^2) zu:
\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.

Die Lösung ist also \textstyle C = \sqrt{3} angeben.

Diagonale3.png

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen V eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge s=5 ergibt sich über:

V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V=27 durch ziehen der 3.-Wurzel:

\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.

Einfluss von Parametern

  Aufgabe 3  Stift.gif

In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern.

  1. Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
  2. Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
zu 1.) Der Parameter a bewirkt für a>1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für 0<a<1 eine Stauchung in y-Richtung; für a=0 erhält man eine konstante Funktion mit f(x)=c. Wird a negativ, so wird f zu einer monoton fallenden Funktion.
zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert y der Wert c addiert wird.


*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)

Einschränkung auf IR+0

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: \sqrt[3]{-8}= -2,

Wegen

(-2)3 =-8

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei f(x)=x^{\frac 1 n} für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:

f(x) = \sqrt[n]{x} mit n \in \mathbb{N} und \mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass

g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}.

Dann gilt: IDg = IR.

Maehnrot.jpg Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.

Pfeil.gif   Hier geht es weiter.

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