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Stichworte: Was ist das Integral? Unterschied bestimmtes Integral/unbestimmtes Integral (Stammfunktion).
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Die zwei grundlegenden Interpretationen des Integrals lauten:
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* Das Integral ist die '''Umkehroperation der Differentation'''. Jede mathematische Operation hat sein Spiegelbild. So wie die Paare Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division, Potenzieren/Radizieren existiert das Paar Differentation/Integration.
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<math>f(x)=x^3+2x^2-4x+7 \rightarrow f'(x)=3x^2+4x-4</math>
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<math>g(x)=3x^2+4x-4 \rightarrow G(x)=x^3+2x^2-4x+C</math>
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Die Funktionen f(x) und G(x) sind bis auf eine '''Integrationskonstante''' ident.
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Diese Art von Integral nennt man '''unbestimmtes Integral'''. Das Ergebnis dieser Operation ist eine '''Funktion'''. Durch das Differenzieren geht jede Art von additiver Konstante verloren. Diese lässt sich durch die Integration nicht eindeutig wieder herstellen. Das Ergebnis der Integration ist daher eine '''Kurvenschar'''. Eine unendliche Anzahl von ähnlichen Funktionen, die entlang der y-Achse verschoben sind. Möchte man die Funktion genau bestimmen, ist ein Punkt notwendig, durch den die gesuchte Funktion geht.
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* Das Integral dient zur '''Berechnung des Flächeninhaltes der Fläche unterhalb der Funktion'''.
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Der Flächeninhalt einer Fläche entspricht einer Zahl. Diese '''Zahl''' lässt sich ebenfalls mit dem Integral berechnen. Dieses Integral wird '''bestimmtes Integral''' genannt. Zur Berechnung braucht man Informationen über die Ränder der zu berechnenden Fläche. Diese Ränder werden obere und untere Grenze genannt.
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<math>\int_{2}^{4}3x^2+4x-4dx=x^3+2x^2-4x|_{2}^{4}=(4^3+2\cdot 4^2-4 \cdot 4)-(2^3+2\cdot 2^2-4 \cdot 2)= 80-8=72</math> Flächeneinheiten.
  
 
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Version vom 26. November 2008, 23:58 Uhr

Lernpfad zur Schnittstelle Sekundarstufe 2 - Universität


Aufgabenpool 2


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Inhaltsverzeichnis

Text korrigieren: Radioaktiver Zerfall

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] [Franz]

Stellt euch vor, ihr findet bei einer Internetrecherche zum Thema "mathematische Beschreibung des radioaktiven Zerfalls" den folgenden Text:

Die Funktion \,C\,e^{-\lambda x} nähert sich für große \,x der \,x-Achse an. Auf der anderen Seite kommt sie von unendlich großen Werten herunter, bis sie bei \,C die \,y-Achse schneidet. Daher beschreibt sie eine exponentielle Abnahme, in welchem Fall man \,x=t setzen muss. Beim radioaktiven Zerfall ist \,C die Menge der am Anfang vorhandenen Radioaktivität. Wir nennen sie \,n(t). \,\lambda heißt Zerfallskonstante (siehe http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Zerfallskonstante). Jetzt kann gefragt werden, nach welcher Zeit nur mehr die Hälfte übrig ist? Diese Frage lösen wir mit Hilfe der Exponentialgleichung
\,C\,e^{-\lambda\,t}=50\%\,C\,e^{-\lambda\,t=0},
die sich nach geeigneter Behandlung auf
\,e^{-\lambda t}=\frac{1}{2}
reduziert. Jetzt wird logarithmiert (natürlich), also
\,-\lambda t=\ln(\frac{1}{2})=\frac{1}{\ln(2)}=-\ln(2),
woraus sich
\,t=\frac{\ln(2)}{\lambda}
ergibt. Das ist also die Halbwertszeit und gleichzeitig die Beziehung derselben mit der Zerfallskonstante.

Welche ungeschickten Formulierungen wurden verwendet, welche Fehler wurden gemacht? Formuliert den Text so um, dass er das, was er sagen will, auf richtigere und schönere Weise zum Ausdruck bringt!

Text korrigieren: xxxThema

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] [Matthias]

xxx

Text korrigieren: Kurvendiskussion

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] [Jochen]

Auf einer Referatsseite im Internet wurde folgender Text gefunden. Lies ihn dir genau durch und korrigiere eventuelle Fehler bzw. Ungenauigkeiten!

Eine Kurvendiskussion besteht im Wesentlich aus 10 Teilaufgaben. Den Definitionsbereich kann man sehr einfach bestimmen, weil er immer R ist. Um die Nullstellen berechnen zu können, löst man die Gleichung \,f(x)=0, weil eine Nullstelle immer der Schnittpunkt mit der x – Achse ist. Daher ist die Nullstelle immer N(0 / y). Für eventuelle Extremstellen setzt man die 1. Ableitung Null. Der Grund ist recht einfach: die erste Ableitung gibt nämlich die mittlere Änderungsrate einer Funktion an. Will man zusätzlich entscheiden, ob es sich um einen Hoch- bzw. Tiefpunkt handelt, setzt man in die zweite Ableitung ein. Ist die zweite Ableitung größer als Null, dann handelt es sich um einen Hochpunkt, andernfalls um ein Minimum. Ist eine Funktion in einem bestimmten Intervall gegeben, dann kann es auch zu Extremstellen kommen, obwohl die 1. Ableitung ungleich Null ist. Den Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremstellen habe ich nie verstanden. Ist eine Funktion streng monoton wachsend, so gilt: \,x_1 < \,x_2 → \,f(x_1) {}\ge{} {} \,f(x_2)
Mit der 1. Ableitung kann das Monotonieverhalten natürlich auch bestimmt werden. Ist \,f'(x_0) in einem bestimmten Intervall kleiner als Null, so ist die Funktion dort monoton fallend. Nun zu den Wendepunkten: eine Wendestelle \,x_0 ist so definiert, dass sich die Krümmung an dieser Stelle nicht ändert. Deshalb muss man die 2. Ableitung bestimmen und die Gleichung \,f''(x)=0 lösen. Zur Sicherheit – müsste man nicht – bildet man die 3. Ableitung und überprüft, dass \,f'''(x_0)=0 ungleich Null ist. Der Funktionsgraph der 1. Ableitung hat dort immer eine Extremstelle. Je nachdem, ob \,f''(x)<0 bzw. \,f''(x)>0 ist, spricht man von konkav bzw. konvex. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, d.h. \,f'(x){}\neq{} {}0 und \,f''(x)=0, weil es ja eine Wendestelle ist.

Ich hoffe, dass ich euch mit meinem Referat helfen konnte!

Verhalten von Funktionen

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] [Franz]

Gegeben sei eine Funktion f:x\mapsto f(x). Ist \,a eine Konstante, so können aus \,f weitere Funktionen gewonnen werden:

  • g:x\mapsto f(x+a)
  • h:x\mapsto f(a x)
  • u:x\mapsto f(x)+a
  • v:x\mapsto a f(x)

Diskutiert das Verhalten und die Graphen der Funktionen \,g, \,h, \,u und \,v im Verhältnis zu jenen von \,f! Gebt einige Beispiele an und erstellt aussagekräftige Grafiken!

Wie übertragen sich folgende Eigenschaften auf die Funktionen \,g, \,h, \,u und \,v?

  • \,f ist periodisch mit Periode \,p.
  • \,f ist überall positiv.
  • \,f ist monoton steigend.
  • \,f hat bei \,x_0 eine Nullstelle (d.h. \,f(x_0)=0).

Erstellt mit einem dynamischen Geometriesystem (z.B. GeoGebra) ein Arbeitsblatt, in dem anhand einer Funktion \,f eurer Wahl die Konstante \,a mittels eines Schiebereglers variiert werden kann!

Das Integral

[Aufgabe für 2er-Gruppe] [Matthias]

Die zwei grundlegenden Interpretationen des Integrals lauten:

  • Das Integral ist die Umkehroperation der Differentation. Jede mathematische Operation hat sein Spiegelbild. So wie die Paare Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division, Potenzieren/Radizieren existiert das Paar Differentation/Integration.

f(x)=x^3+2x^2-4x+7 \rightarrow f'(x)=3x^2+4x-4

g(x)=3x^2+4x-4 \rightarrow G(x)=x^3+2x^2-4x+C

Die Funktionen f(x) und G(x) sind bis auf eine Integrationskonstante ident.

Diese Art von Integral nennt man unbestimmtes Integral. Das Ergebnis dieser Operation ist eine Funktion. Durch das Differenzieren geht jede Art von additiver Konstante verloren. Diese lässt sich durch die Integration nicht eindeutig wieder herstellen. Das Ergebnis der Integration ist daher eine Kurvenschar. Eine unendliche Anzahl von ähnlichen Funktionen, die entlang der y-Achse verschoben sind. Möchte man die Funktion genau bestimmen, ist ein Punkt notwendig, durch den die gesuchte Funktion geht.

  • Das Integral dient zur Berechnung des Flächeninhaltes der Fläche unterhalb der Funktion.

Der Flächeninhalt einer Fläche entspricht einer Zahl. Diese Zahl lässt sich ebenfalls mit dem Integral berechnen. Dieses Integral wird bestimmtes Integral genannt. Zur Berechnung braucht man Informationen über die Ränder der zu berechnenden Fläche. Diese Ränder werden obere und untere Grenze genannt.

\int_{2}^{4}3x^2+4x-4dx=x^3+2x^2-4x|_{2}^{4}=(4^3+2\cdot 4^2-4 \cdot 4)-(2^3+2\cdot 2^2-4 \cdot 2)= 80-8=72 Flächeneinheiten.

Kurvendiskussion

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] [Jochen]

  • Erklärt die Berechnung der Nullstellen einer Funktion. Achtet dabei auf die mögliche Anzahl der Lösungen!
  • Erklärt die Berechnung der Extremstellen einer Funktion!
  • Wie lässt sich zwischen Hoch- und Tiefpunkt unterscheiden?
  • Worin besteht der Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremstellen?
  • Erklärt die Berechnung der Wendestellen einer Funktion!
  • Wann spricht man von einem Sattelpunkt?
  • Wie kann man bei einer Funktion die Eigenschaften Monotonie und Krümmung untersuchen?

Erstellt mit einem dynamischen Geometrieprogramm (z.B. GeoGebra) ein Arbeitsblatt, das die Zusammenhänge der ersten drei Ableitungen zeigt!

Bewegung (fächerübergreifend mit Physik)

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] [Franz]

Was haben Zeit, Weg (Ort), Geschwindigkeit und Beschleunigung mit dem Differenzieren und Integrieren zu tun? Ihr könnt dabei davon ausgehen, dass eine Bewegungsform durch eine Zuordnung

t\mapsto s(t)

beschrieben wird. Dabei ist \,s(t) der Ort des betrachteten Objekts zur Zeit \,t.

Gebt einige Beispiele für Bewegungsformen an und erstellt aussagekräftige Grafiken oder Animationen (etwa mit einem Computeralgebra-System).

Beantwortet folgende Fragen:

  • Kann die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn der Ort als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
  • Kann die Beschleunigung als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn der Ort als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
  • Kann die Beschleunigung als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
  • Kann der Ort als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
  • Kann der Ort als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn die Beschleunigung als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
  • Wie kann der Ort als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn bekannt ist, dass die Beschleunigung konstant (\,=g) ist, und dass zur Zeit \,t=0 sowohl der Ort als auch die Geschwindigkeit gleich 0 sind? (Kommt euch das Ergebnis bekannt vor?)

Kosten- und Preistheorie

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] [Peter]

Stichworte: Betriebsoptimale Menge, Carnotscher Punkt.

Funktionstypen

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] [Matthias]

Stichworte: Welche Typen von Funktionen gibt es, was sind ihre charakteristischen Eigenschaften? Die Beschreibung soll folgende Begriffe enthalten:

  • Asymptoten
  • Definitionsmenge
  • exponential-
  • logarithmisch
  • periodisch
  • Polstelle
  • Polynom
  • Symmetrie, symmetrisch
  • Winkelfunktion
  • Wurzel
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