Pool 1: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. November 2008, 22:01 Uhr

Lernpfad zur Schnittstelle Sekundarstufe 2 - Universität

Aufgabenpool 1

Startseite des Lernpfads | Aufgabenpool 2 | Didaktischer Kommentar

Differentialgleichung versus Differenzengleichung

[Aufgabe für 2er-Gruppe] [Walter]

Stichworte: Ein Problem, das sowohl mit DGL als auch mit Differenzengleichung gelöst werden kann. Beide Partner arbeiten zuerst selbständig, führen dann ihre Ergebnisse zusammen und diskutieren sie.

Integrationsverfahren vergleichen

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Matthias]

Stichworte: analytische / näherungsweise mit Taylorpolynomen / näherungsweise numerisch. Mögliche Tools: CAS, Tabellenkalkulation.

Logistische Abbildung/Gleichung - Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst

[Aufgabe für 2er-Gruppe] [Matthias]

Das Verhalten einer Population von Lebewesen lässt sich mit Hilfe der logistischen Gleichung leicht visualisieren. Diese Gleichung lässt sich etweder analytisch oder mittels Differenzengleichung lösen. Die logistischen Gleichung beschreibt ein Wachstum mit einer Grenzpopulation, das bedeutet, dass sich die Population nicht auf alle Zeiten exponentiell vermehrt, sondern sich einer Maximalpopulation annähert. Neben der Geburtenrate g fließt die natürliche Sterberate s (Alter, Krankheit und Ähnliches) und die Sterberate auf Grund von Überbevülkerung su (fehlender Lebensraum, Nahrungsmittelknappheit, etc.) in die Gleichung mit ein. Die Änderung der Populationszahl N lässt sich nun wie folgt berechnen:

Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet: , wobei und gilt.

Die entsprechende Differenzengleichung lautet .

Beide Lösungen sind in dem Excel-Arbeitsblatt zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst programmiert und graphisch dargestellt. Es lassen sich die Anzahl der Individuen, sowie die Parameter g, s und su eingeben. Die Differenzengleichung wird für die ersten 10000 Schritte gelöst und gemeinsam mit der analytischen Lösung in einem Graphen für die ersten 100 Schritte dargestellt. Des Weiteren wird noch der Grenzwert der Population und der Chaosparamter c berechnet. Es können mit diesem Excel-Arbeitsblatt auch eigene Graphen erstellt und selbstständig Rechnungen durchgeführt werden. Die Differenzengleichung liefert je nach Wert dieses Chaosparameters von einander stark abweichende Lösungen. Folgendes Verhalten der logistischen Gleichung kann in Abhängigkeit des Parameters c beobachtet werden:

• - Die Population stirbt aus, die Anzahl der Individuen nimmt exponentiell ab.
• - Die Population wächst bis sie die Grenzpopulation erreicht.
• - Die Pupulation wächst und die Anzahl der Individuen schwingt um die Grenzpopulation und nähert sich dieser wie eine gedämpfte Schwingung. Je näher der Parameter bei dem Wert 3, desto länger dauert dieser Schwingvorgang.
• - Die Population pendelt zwischen mehreren Werten (im Intervall [3 ; 3,45] zwischen zwei Werten bei 3,45 zwischen 4 Werten usw.) und erreicht ab ca. 3,57 chaotisches Verhalten. Das heißt, dass die Anzahl der Individuen nicht mehr vorhergesagt werden kann bzw. kleine Änderungen in den Parametern zu großen Änderungen in den Ergebnissen führen.

Führe selbst eine Parameterstudie durch und überprüfe oben angegeben Intervalle des Chaosparameters auf ihre Richtigkeit. Welche weiteren überraschenden Ergebnisse liefert die logistischen Gleichung. Experimentieren mit dem Excel-Arbeitsblatt. Verwende dazu die Angabe aus dem pdf-file Arbeitsblatt Parameterstudie zum Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst.

Unter Die logistische Differentialgleichung findet man noch weitere Übungsaufgaben und einen Graphenplotter, der online Graphen für unterschiedliche Parameterwerte zeichnet.

Als Erweiterung dieses Beispieles kann das Räuber-Beute-Modell gesehen werden. Ein Modell, das die Abhängigkeit eines Beutetieres (Hase) und eines Raubtieres (Fuchs) voneinander untersucht. Hier gelten die Lotka-Volterra-Regeln:

1. Die Anzahl der Individuen (Populationsgröße) von Räuber und Beute schwanken periodisch. Diese beiden periodischen Vorgänge sind pahsenverschoben, wobei die Räuberpopulaion der Beutepopulation nachläuft.
2. Obwohl die Räuber- und Beutepopulation schwanken, ist der Mittelwert der Individuenanzahlen konstant.
3. Sollten die Populationen durch ein besonderes Ereignis (Umweltkatastrophe, Krankheit) dezimiert werden, erholt sich die Beutepopulation stets schneller als die Raubtierpopulation.

Stichworte: Verschiedene Aufgaben für verschiedene Parameter- und Anfangswerte (manche oszillierend, manche chaotisch), visualisieren! Dann die Ergebnisse zusammenführen und beschreiben, dass/wie das Verhalten vom Parameter abhängt. Mögliche Tools: CAS, Tabellenkalkulation.

Ein bisschen Relativitätstheorie

[Aufgabe für 2er-Gruppe] [Franz]

Die Funktion

spielt in der Speziellen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Die Variable steht für die Geschwindigkeit, mit der sich ein Körper (relativ zu einem Bezugssystem) bewegt, die Konstante bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit. Bearbeitet zunächst getrennt folgende Fragestellungen:

• a.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten , deren Betrag sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind ()? Erstelle eine Näherungsformel (Reihenentwicklung bis zur Ordnung )! Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?
• b.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten , die in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit liegen (, wobei aber sein soll)? Erstelle eine Näherungsformel ! Hier ein Tipp: .Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?

Setzt euch danach wieder zusammen, diskutiert eure Ergebnisse und führt sie zusammen:

• Wie sieht der Graph der gesamten Funktion aus? (Welche Definitionsmenge wird man sinnvollerweise für sie wählen?)
• Wie passt dieser Graph mit den Graphen der (von euren getrennt erhaltenen) Näherungsfunktionen zusammen? Stellt alle drei Graphen in einem Diagramm dar! Verwendet als Tool einen Punktionsplotter oder ein Programm, das einen solchen enthält! Überlegt euch, wie ihr die Einheiten auf den Achsen wählt, damit das Diagramm möglichst aussagekräftig wird!
• Illustriert anhand einiger Werte von (z.B. die Geschwindigkeit eines Fußgängers, eines Flugzeugs, 90% der Lichtgeschwindigkeit, 99% der Lichtgeschwindigkeit...) wie gut eure Näherungsformeln sind!

Wenn das alles geklärt ist, könnt ihr ein bisschen Relativitätstheorie betreiben:

• Die (relativistische) Gesamtenergie eines Körpers der Masse , der sich mit der Geschwindigkeit bewegt, ist durch gegeben. Wie verhält sich für kleine Geschwindigkeiten? Erinnert euch das Ergebnis an etwas, das ihr in eurem Physikunterricht gelernt habt? Wie verhält sich für große Geschwindigkeiten? (Damit könnt ihr argumentieren, dass kein Körper auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann!)
• Zwillingsparadoxon: Alice und Bob sich gleich alt. Alice unternimmt eine Reise durchs All mit Geschwindigkeit , während Bob auf der Erde zurückbleibt. Als Alice zurückkehrt, stellen die beiden fest, dass Alice jünger geblieben ist. Ist für Bob die Zeit vergangen und für Alice die Zeit , so ist sagt die Relativitätstheorie die Beziehung zwischen den beiden Zeiten voraus. Wie sieht die Formel für diesen Zusammenhang aus, wenn Alice fast mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs war? Wie sieht sie aus, wenn sich Alice sich - vergleichsweise - nur recht langsam bewegt hat? Formuliert Fausregeln, wie die Größe des Effekts für kleine und für große abgeschätzt werden kann!

Epidemie

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Peter]

xxx

Elastizität

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Peter]

xxx

Zentralmaße vergleichen

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Walter, mgl.weise Josef]

xxx

Streuungsmaße vergleichen

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Walter, mgl.weise Josef]

xxx

Rekursionsverfahren vergleichen

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Walter, mgl.weise Josef]

xxx