Pool 1

Lernpfad zur Schnittstelle Sekundarstufe 2 - Universität

Aufgabenpool 1

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Differentialgleichung versus Differenzengleichung

[Aufgabe für 2er-Gruppe] [Walter]

Stichworte: Ein Problem, das sowohl mit DGL als auch mit Differenzengleichung gelöst werden kann. Beide Partner arbeiten zuerst selbständig, führen dann ihre Ergebnisse zusammen und diskutieren sie.

Integrationsverfahren vergleichen

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Matthias]

Stichworte: analytische / näherungsweise mit Taylorpolynomen / näherungsweise numerisch. Mögliche Tools: CAS, Tabellenkalkulation.

Logistische Abbildung

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Matthias]

medienvielfalt/images/c/cb/Ein_lebewesen_verhulst_analyt.xls

Stichworte: Verschiedene Aufgaben für verschiedene Parameter- und Anfangswerte (manche oszillierend, manche chaotisch), visualisieren! Dann die Ergebnisse zusammenführen und beschreiben, dass/wie das Verhalten vom Parameter abhängt. Mögliche Tools: CAS, Tabellenkalkulation.

Ein bisschen Relativitätstheorie

[Aufgabe für 2er-Gruppe] [Franz]

Die Funktion

$v\mapsto\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

spielt in der Speziellen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Die Variable $\,v$ steht für die Geschwindigkeit, mit der sich ein Körper (relativ zu einem Bezugssystem) bewegt, die Konstante $\,c$ bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit. Bearbeitet zunächst getrennt folgende Fragestellungen:

• a.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten $\,v$, deren Betrag sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind ($\,|v|\ll c$)? Erstelle eine Näherungsformel $\gamma(v)\approx\dots$ (Reihenentwicklung bis zur Ordnung $\,v^2$)! Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?
• b.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten $\,v$, die in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit liegen ($v\approx c$, wobei aber $\,v<c$ sein soll)? Erstelle eine Näherungsformel $\gamma(v)\approx\dots$! Hier ein Tipp: $1-\frac{v^2}{c^2}=\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)\approx 2\left(1-\frac{v}{c}\right)$.Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?

Setzt euch danach wieder zusammen, diskutiert eure Ergebnisse und führt sie zusammen:

• Wie sieht der Graph der gesamten Funktion aus? (Welche Definitionsmenge wird man sinnvollerweise für sie wählen?)
• Wie passt dieser Graph mit den Graphen der (von euren getrennt erhaltenen) Näherungsfunktionen zusammen? Stellt alle drei Graphen in einem Diagramm dar! Verwendet als Tool einen Punktionsplotter oder ein Programm, das einen solchen enthält! Überlegt euch, wie ihr die Einheiten auf den Achsen wählt, damit das Diagramm möglichst aussagekräftig wird!
• Illustriert anhand einiger Werte von $\,v$ (z.B. die Geschwindigkeit eines Fußgängers, eines Flugzeugs, 90% der Lichtgeschwindigkeit, 99% der Lichtgeschwindigkeit...) wie gut eure Näherungsformeln sind!

Wenn das alles geklärt ist, könnt ihr ein bisschen Relativitätstheorie betreiben:

• Die (relativistische) Gesamtenergie eines Körpers der Masse $\,m$, der sich mit der Geschwindigkeit $\,v$ bewegt, ist durch $\,E(v)=m c^2 \gamma(v)$ gegeben. Wie verhält sich $\,E$ für kleine Geschwindigkeiten? Erinnert euch das Ergebnis an etwas, das ihr in eurem Physikunterricht gelernt habt? Wie verhält sich $\,E$ für große Geschwindigkeiten? (Damit könnt ihr argumentieren, dass kein Körper auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann!)
• Zwillingsparadoxon: Alice und Bob sich gleich alt. Alice unternimmt eine Reise durchs All mit Geschwindigkeit $\,v$, während Bob auf der Erde zurückbleibt. Als Alice zurückkehrt, stellen die beiden fest, dass Alice jünger geblieben ist. Ist für Bob die Zeit $\,\Delta T_{\rm Bob}$ vergangen und für Alice die Zeit $\,\Delta T_{\rm Alice}$, so ist sagt die Relativitätstheorie die Beziehung $\frac{\Delta T_{\rm Bob}}{\Delta T_{\rm Alice}}=\gamma(v)$ zwischen den beiden Zeiten voraus. Wie sieht die Formel für diesen Zusammenhang aus, wenn Alice fast mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs war? Wie sieht sie aus, wenn sich Alice sich - vergleichsweise - nur recht langsam bewegt hat? Formuliert Fausregeln, wie die Größe des Effekts für kleine und für große $\,v$ abgeschätzt werden kann!

Epidemie

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Peter]

xxx

Elastizität

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Peter]

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Zentralmaße vergleichen

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Walter, mgl.weise Josef]

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Streuungsmaße vergleichen

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Walter, mgl.weise Josef]

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Rekursionsverfahren vergleichen

[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Walter, mgl.weise Josef]

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