Diskret - kontinuierlich

Über diesen Lernpfad Schüler/innen sollen sich mit der Beschreibung von dynamischen Vorgängen beschäftigen und den Unterschied zwischen diskreten Vorgängen (Beschreibung über Differenzengleichungen) und kontinuierlichen Vorgängen (Beschreibung über Differentialgleichungen) kennen lernen. Kompetenzen Das kannst du schon Darstellungsformen von Funktionen Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.) Das kannst du lernen Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen Wie beschreibt man kontinuierliche dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differentialgleichungen - Visualisierung und Lösungsansätze mit Hilfe verschiedener Technologieunterstützungen an verschiedenen Beispielen   Didaktischer Kommentar

Rekursive Beschreibung von Veränderungen

Räuber-Beute-Modell

Zum Thema Räuber-Beute-Modell geht es hier.

Differenzengleichung

Begriffsbildung

Eine Differenzengleichung ist eine Möglichkeit, dynamische Systeme abzubilden. Dabei wird eine Folge von diskreten (einzeln betrachtbaren, "abzählbaren") Ereignissen rekursiv definiert. Jedes Folgenglied ist daher eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder.

Form: $\,x_{n} = f(x_{n-1},x_{n-2},...,x_{1},x_{0})$
für natürliche Zahlen n.

Die Veränderung wird durch den Differenzenquotienten angegeben: $\frac{\Delta y}{\Delta n}$
mit $\,n \in N$

Dabei entspricht:
$\Delta y_{n} \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}$ und damit beispielsweise $\Delta y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}=y_{n}+5$

Links:

• http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node187.html, Josef Leydold, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung, 1997

Marktgleichgewicht - Cobweb-DIagramm

Cobweb / Spinnwebdiagramme stellen eine gute Möglichkeit dar, Rekursionen darzustellen.

Links:

• Spinnwebdiagramme - Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung mit GeoGebra: http://www.geogebra.org/de/wiki/index.php/Lineare_Differenzengleichung_1._Ordnung

Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung

Exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle

In Österreich ist es üblich, dass Lebensmittel verarbeitende und verkaufende Betriebe der Lebensmittelkontrolle obliegen (sie Bundesministerium für Gesundeheit.

Egal um welche Art von Keimen es sich handelt, die Vermehrungsrate ist gigantisch. Aus diesem Grund verwendet man häufig eine Exponenzialfunktion, um das Wachstum zu beschreiben. Mit Hilfe des Zusammenhangs $N(t)=a\cdot e^{b\cdot t}$ lässt sich diese Wachstum beschreiben.

Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung

Die Gleichung $N(t)=N_{0} \cdot e^{-\lambda \cdot x}$ ist eine der bekanntesten der Mathematik und wird in der zehnten Schulstufe eingeführt. In der zwölften ist es nun mit Hilfe der Integralrechung möglich, ausgehen vom Ansatz $N(t)'=-N(t) \cdot \lambda$ obige Relationen per Differentiagleichung analytisch herzuleiten. Unter Rad_zerfall_analytisch.pdf ist diese Schritt für Schritt nachvollziehbar. Zuerst wird der allgemeine Fall besprochen und sich dann auf die Anwendung beim radioaktiven Zerfall bezogen.

Zusätzlich sind drei Standardaufgaben angegeben, um die Verwendung der Gleichung zu wiederholen.

Beispiele zum radioaktiven Zerfall

Merke: Halbwertszeit: Der Zeitraum, in dem eine (meist exponentiell) abfallende Größe auf die Hälfte ihres Anfangswertes abgesunken ist. Die physikalische Halbwertszeit ist die für jedes Isotop eines radioaktiven Elementes charakteristische Zeitdauer, in der von einer ursprünglichen vorhandenen Anzahl radioaktiver Kerne bzw. instabilen Elementarteilchen die Hälfte zerfallen ist (entnommen aus Brockhaus in 5 Bänden, zweiter Band).

Aufgabe 1  Jod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Berechne den Parameter λ (Basiszeiteinheit 1 Tag und 1 Jahr) in der Zerfallsgleichung auf 6 gültige Nachkommastellen!

Aufgabe 2  Von Kobalt-60 ist nach 3,88 Jahren 40% des Ausgangsmaterials zerfallen. Wie groß ist die Halbwertszeit dieses Isotops?

Aufgabe 3  Von 24000 Cäsium-137-Kernen sind nach einer bestimmten Zeit $\,t$ 21771 Kerne zerfallen. Die Halbwertszeit des Isotops beträgt 2,1 Jahre. Berechne $\,t$!

Aufgaben im pdf-Format

---

Die Angaben zu den Aufgaben findet man unter Bsp_rad_zerfall.pdf (43 kb).

---

Lösungen im pdf-Format

---

Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter Lösungen zu Bsp_rad_zerfall.pdf (59 kb).

Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst

Erläuterungen, Informationen und Aufgaben zum Ein-Lebewesen-Modell findet man hier.

Weitere Beispiele

• Bernd Huhn, Sonja Woltzen, Lehrer-Online, Fall mit Reibung - Ein Sprung aus 40.000m Höhe, 2005
• Josef Lechner, Freier Fall mit Luftwiderstand, ACDCA 1998

Differentialgleichungen

Begriffsbildung

Als (gewöhnliche) Differenzialgleichung (DGLG) wird eine Gleichung bezeichnet, die neben einer Unbekannten $\,x$ auch deren Ableitung(en) $\,x'$ ($\,x''$, ...) enthält. Gelöst wird eine DGLG mittels Integralrechnung.

Die Lösung einer DGLG ist nicht wie bei einer herkömmlichen Gleichung eine Zahl, sondern eine Funktion, genauer eine Funktionenschar, die aus unendlich vielen Funktionen besteht. Da beim unbestimmten Integrieren immer eine Integrationskonstante auftritt, muss eine Zusatzinformation (Anfangsbedingung) gegeben sein, um die Konstante zu bestimmen.

Erst durch die Anfangsbedingung, die einem Punkt auf dem Graphen der Lösungsfunktion entspricht, kann die Lösungsfunktion exakt bestimmt werden. Die Lösung ist nun eine spezielle Funktion!

DGLG können in allen Bereichen des Lebens angetroffen werden, besonders in den Naturwissenschaften oder der Wirtschaft und dem Sport. In allen Zusammenhängen, bei denenen es um Veränderungen geht, kommen DGLG zur Anwendung.

Eine Übersicht über die Klassifikation von DGLG findet man unter http://www.math.tu-berlin.de/geometrie/Lehre/SS05/GDglmA/skriptKlassif.pdf

Links:

• http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node175.html, Josef Leydold, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung, 1997

Ausblick

Näherungsverfahren

Links:

• Josef Lechner, Von Euler-Cauchy zu Runge-Kutta, ACDCA 1998
• Urs Oswald, H.R. Schneebeli, Kugelstoßen mit Luftwiderstand, TI-Nachrichten 2/04

---

© 2009, Projekt "Medienvielfalt im Mathematikunterricht"