Potenzfunktionen - 1. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xⁿ, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xⁿ, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

Aufgabe 1  Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf Symmetrie Monotonie größte und kleinste Funktionswerte Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x2 zu f(x) = x4, dann die beim Übergang von f(x) = x4 zu f(x) = x6 usw.! Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xn, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten $n \in \{0,2,4,6,...\}$. Dann gilt: Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte. Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse. Für $n>1$ sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen. zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam. Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall $n=0$ gilt $(-1)^0=1$ nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten $\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}$ sind Vielfache von 2, also von der Art $2 \cdot k$ für alle $k \in {\Bbb N}$; dann gilt: $(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1$ für alle $k \in {\Bbb N}.$ Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige $r \in {\Bbb R}$ ist $1^r = r$ und damit insbesondere für $r \in {\Bbb N}$. zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert. Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für $x< -1$ bzw. $x > 1$ werden die Funktionswerte größer. zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kn-facht. Symbolisch $f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)$.

Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit $f(x) = x^n$, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Aufgabe 2  Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf Symmetrie Monotonie größte und kleinste Funktionswerte Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x1 zu f(x) = x3, dann die beim Übergang von f(x) = x3 zu f(x) = x5 usw.! [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] zu 1) Wir betrachten hier Exponenten $n\in\{1,3,5,7,...\}$. Dann gilt: Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0) Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; Beachte: für $n\in\{3,5,7,...\}$ haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend. Der Wertebereich der Funktion ist ganz ${\Bbb R}$, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit surjektiv). zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von $n$ in allen Graphen. Begründung für den Punkt (-1;-1): An der Stelle $x=-1$ ist $f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.$ Da $n$ nach Voraussetzung ungerade ist, ist $n-1$ eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: $(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.$ Begründung für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt $0^r = 0$ und $1^r=1$ für alle $r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}$.

Teste dein Wissen

Aufgabe 3  Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = xn, n eine natürliche Zahl Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)? Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Der Punkt P(2;32) wird für $n=5$ durchlaufen: $f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32$. Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für $n=3$ durchlaufen: $f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375$.

Die Graphen von f(x) = a xⁿ, mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit $f(x) = a \cdot x^n$, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

Aufgabe 4  Es sei zunächst n = 2, also $f(x) = a \cdot x^2$. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! Beschreibe die Veränderung der Graphen mit $f(x) = a \cdot x^n$ bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] zu 1.) Für $1 < a$ wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für $0<a<1$ gestaucht. Für $a=1$ bleibt er unverändert Für $a=0$ wird die Funktion zur Nullfunktion mit $f(x)=0$ für alle $x$. Der Wert $a=-1$ bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus. zu 2.) Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.

Aufgabe 5  Wir betrachten wieder die Funktionen mit $f(x) = a \cdot x^n$, n eine natürliche Zahl Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] zu 1.) Lösung: $a=-0,5$ und $n=3.$ Begründung: An der Stelle $x=1$ ist $f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5$ und an der Stelle $x=-2$ ist $f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4$ zu 2.) Es gibt keine Lösung! Begründung: Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^n$ mit ungeradem $n$ (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter $a=1$ sein (vgl. Aufgabe 4). Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss $f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3$ gelten. Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die $(0,\!5)^n=3$ erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da $(0,\!5)^n \to 1$ für $n \to \infty.$

Teste Dein Wissen

• Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!

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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.   Hier geht es weiter.