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Lernpfad zur Schnittstelle Sekundarstufe 2 - Universität

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Text korrigieren: Radioaktiver Zerfall

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] [Franz]

Stellt euch vor, ihr findet bei einer Internetrecherche zum Thema "mathematische Beschreibung des radioaktiven Zerfalls" den folgenden Text:

Die Funktion $\,C\,e^{-\lambda x}$ nähert sich für große $\,x$ der $\,x$-Achse an. Auf der anderen Seite kommt sie von unendlich großen Werten herunter, bis sie bei $\,C$ die $\,y$-Achse schneidet. Daher beschreibt sie eine exponentielle Abnahme, in welchem Fall man $\,x=t$ setzen muss. Beim radioaktiven Zerfall ist $\,C$ die Menge der am Anfang vorhandenen Radioaktivität. Wir nennen sie $\,n(t)$. $\,\lambda$ heißt Zerfallskonstante (siehe http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Zerfallskonstante). Jetzt kann gefragt werden, nach welcher Zeit nur mehr die Hälfte übrig ist? Diese Frage lösen wir mit Hilfe der Exponentialgleichung $\,C\,e^{-\lambda\,t}=50\%\,C\,e^{-\lambda\,t=0}$, die sich nach geeigneter Behandlung auf $\,e^{-\lambda t}=\frac{1}{2}$ reduziert. Jetzt wird logarithmiert (natürlich), also $\,-\lambda t=\ln(\frac{1}{2})=\frac{1}{\ln(2)}=-\ln(2)$, woraus sich $\,t=\frac{\ln(2)}{\lambda}$ ergibt. Das ist also die Halbwertszeit und gleichzeitig die Beziehung derselben mit der Zerfallskonstante.

Welche ungeschickten Formulierungen wurden verwendet, welche Fehler wurden gemacht? Formuliert den Text so um, dass er das, was er sagen will, auf richtigere und schönere Weise zum Ausdruck bringt!

Text korrigieren: Integral

[Aufgabe für 2er-Gruppe] [Matthias]

Aufgabe   Viele Texte im Internet werden durch Laien erstellt und sind nicht immer ganz korrekt (das trifft für viele Wikis zu und hoffentlich nicht für unseres hier). Folgender Text wurde in einem Wiki gefunden. Finde alle Fehler und korrigiere ihn!

Das Integral ist ein kompliziertes mathematisches Verfahren, das ausschließlich verwendet werden kann, um das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen. Wie beim Differenzieren, das die Umkehroperation des Integrierens ist, lässt sich jede Funktion mit einer mehr oder weniger einfachen Formel berechnen. Folgende einfache Regeln sind beim Integrieren zu beachten:

• $\int (f(x)+g(x))\mathrm{d}x= \int f(x)\mathrm{d}x + \int g(x)\mathrm{d}x + C$
• $\int \mathrm{Konstante}\cdot f(x)\mathrm{d}x=\mathrm{Konstante}\cdot \int \ f(x)\mathrm{d}x + C$
• $\int (f(x)\cdot g(x))\mathrm{d}x= \int f(x)\mathrm{d}x \cdot \int g(x)\mathrm{d}x + C$
• $\int x^{n}\mathrm{d}x= \int \frac{1}{n-1}\cdot x^{n-1}\mathrm{d}x + C$

Integriert man eine Funktion ist immer eine so genannte Integrationskonstante $\,C$ anzuhängen, da ja multiplikative Konstanten beim Differenzieren verloren gehen und bei der Umkehroperation wieder gefunden werden müssen. Diese Integrationskonstante darf nur positive Werte annehmen und kann nicht genau bestimmt werden. Die so eben beschriebene Art der Integration bezeichnet man als uneigentliches Integral, deren Ergebnis immer eine Funktion ist.

Die zweite Interpretation der Integration ist das bestimmte Integral, das als Ergebnis eine Zahlt hat. Diese Zahl beschreibt den Flächeninhalt einer Fläche überhalb der Kurve. Ein bestimmtes Integral benötigt zwei Grenzen, die unter- und überhalb des Integralzeichens angeschrieben werden, was wie folgt aussieht:

$\int_{3}^{1}4x-4\mathrm{d}x=2x^2-4x|_{3}^{1}=(2\cdot 1^2-4\cdot 1)-(2\cdot 3^2-4 \cdot 3)= -2-6=-8$ Flächeneinheiten.

Der negative Wert des bestimmten Integrals beschreibt die Lage der Fläche. Sie befindet sich im Bereich des zweiten und dritten Quadrantens im Koordinatensystem.

Lösungen im pdf-Format

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Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter Lösungen zum Fehlertext (pdf-File, 64 kb).

Text korrigieren: Kurvendiskussion

Aufgabe   Auf einer Referatsseite im Internet wurde folgender Text gefunden. Lies ihn dir genau durch und korrigiere eventuelle Fehler bzw. Ungenauigkeiten!

Eine Kurvendiskussion besteht im Wesentlichen aus 10 Teilaufgaben. Den Definitionsbereich kann man sehr einfach bestimmen, weil er immer R ist. Um die Nullstellen berechnen zu können, löst man die Gleichung $\,f(x)=0$, weil eine Nullstelle immer der Schnittpunkt mit der x – Achse ist. Daher ist die Nullstelle immer N(0 / y). Für eventuelle Extremstellen setzt man die 1. Ableitung Null. Der Grund ist recht einfach: die erste Ableitung gibt nämlich die mittlere Änderungsrate einer Funktion an. Will man zusätzlich entscheiden, ob es sich um einen Hoch- bzw. Tiefpunkt handelt, setzt man in die zweite Ableitung ein. Ist die zweite Ableitung größer als Null, dann handelt es sich um einen Hochpunkt, andernfalls um ein Minimum. Ist eine Funktion in einem bestimmten Intervall gegeben, dann kann es auch zu Extremstellen kommen, obwohl die 1. Ableitung ungleich Null ist. Den Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremstellen habe ich nie verstanden. Ist eine Funktion streng monoton wachsend, so gilt: $\,x_1$ < $\,x_2$ → $\,f(x_1)$ ${}\ge{} {}$ $\,f(x_2)$
Mit der 1. Ableitung kann das Monotonieverhalten natürlich auch bestimmt werden. Ist $\,f'(x_0)$ in einem bestimmten Intervall kleiner als Null, so ist die Funktion dort monoton fallend. Nun zu den Wendepunkten: eine Wendestelle $\,x_0$ ist so definiert, dass sich die Krümmung an dieser Stelle nicht ändert. Deshalb muss man die 2. Ableitung bestimmen und die Gleichung $\,f''(x)=0$ lösen. Zur Sicherheit – müsste man nicht – bildet man die 3. Ableitung und überprüft, dass $\,f'''(x_0)=0$ ungleich Null ist. Der Funktionsgraph der 1. Ableitung hat dort immer eine Extremstelle. Je nachdem, ob $\,f''(x)<0$ bzw. $\,f''(x)>0$ ist, spricht man von konkav bzw. konvex. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, d.h. $\,f'(x){}\neq{} {}0$ und $\,f''(x)=0$, weil es ja eine Wendestelle ist.

Ich hoffe, dass ich euch mit meinem Referat helfen konnte!

Verhalten von Funktionen

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] [Franz]

Gegeben sei eine Funktion $f:x\mapsto f(x)$. Ist $\,a$ eine Konstante, so können aus $\,f$ weitere Funktionen gewonnen werden:

• $g:x\mapsto f(x+a)$
• $h:x\mapsto f(a x)$
• $u:x\mapsto f(x)+a$
• $v:x\mapsto a f(x)$

Diskutiert das Verhalten und die Graphen der Funktionen $\,g$, $\,h$, $\,u$ und $\,v$ im Verhältnis zu jenen von $\,f$! Gebt einige Beispiele an und erstellt aussagekräftige Grafiken!

Wie übertragen sich folgende Eigenschaften auf die Funktionen $\,g$, $\,h$, $\,u$ und $\,v$?

• $\,f$ ist periodisch mit Periode $\,p$.
• $\,f$ ist überall positiv.
• $\,f$ ist monoton steigend.
• $\,f$ hat bei $\,x_0$ eine Nullstelle (d.h. $\,f(x_0)=0$).

Erstellt mit einem dynamischen Geometriesystem (z.B. GeoGebra) ein Arbeitsblatt, in dem anhand einer Funktion $\,f$ eurer Wahl die Konstante $\,a$ mittels eines Schiebereglers variiert werden kann!

Das Integral

[Aufgabe für 2er-Gruppe] [Matthias]

Die zwei grundlegenden Interpretationen des Integrals lauten:

• Das Integral ist die Umkehroperation der Differentation. Jede mathematische Operation hat sein Spiegelbild. So wie die Paare Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division, Potenzieren/Radizieren existiert das Paar Differentation/Integration.

Differentation: $f(x)=x^3+2x^2-4x+7 \rightarrow f'(x)=3x^2+4x-4$

Integration: $g(x)=3x^2+4x-4 \rightarrow \int g(x) \mathrm{d}x =G(x)=x^3+2x^2-4x+C$

Die Funktionen $\, f(x)$ und $\, G(x)$ sind bis auf die Integrationskonstante $\, C$ident.

Diese Art von Integral nennt man unbestimmtes Integral. Das Ergebnis dieser Operation ist eine Funktion. Durch das Differenzieren geht jede Art von additiver Konstante verloren. Diese lässt sich durch die Integration nicht eindeutig wieder herstellen. Das Ergebnis der Integration ist daher eine Kurvenschar. Eine unendliche Anzahl von ähnlichen Funktionen, die entlang der y-Achse verschoben sind. Möchte man die Funktion genau bestimmen, ist ein Punkt notwendig, durch den die gesuchte Funktion geht.

• Das Integral dient zur Berechnung des Flächeninhaltes der Fläche unterhalb des Graphen einer Funktion.

Der Flächeninhalt einer Fläche entspricht einer Zahl. Diese Zahl lässt sich ebenfalls mit dem Integral berechnen. Dieses Integral wird bestimmtes Integral genannt. Zur Berechnung braucht man Informationen über die Ränder der zu berechnenden Fläche. Diese Ränder werden obere und untere Grenze genannt, diese sind mit den x-Koordinaten der Randpunkte ident.

$\int_{2}^{4}3x^2+4x-4\mathrm{d}x=x^3+2x^2-4x|_{2}^{4}=(4^3+2\cdot 4^2-4 \cdot 4)-(2^3+2\cdot 2^2-4 \cdot 2)= 80-8=72$ Flächeneinheiten.

Aufgabe   Überprüft, ob Differentation und Integration wirklich Umkehroperationen sind! Teilt die Funktionen auf. Jedes Gruppenmitglied leitet zwei Funktionen ab und integriert zwei andere. Dann werden die Ergebnisse verglichen und überprüft, ob sie übereinstimmen. Dabei gilt $\,F'_{i}(x)=f_{i}(x)$ und $\int f_{i}(x)\mathrm{d}x=F_{i}(x)$. Ist dies nicht der Fall, hat sich jemand verrechnet. Sucht und findet dabei gemachte Fehler!

1. Funktionen zur Differentation: $F_{1}(x)=x^4-4\cdot x^2+7\cdot x+22$, $\,F_{2}(x)=\ln x +\sin x+x^{-4}$, $F_{3}(x)=x \cdot \ln x -x -\cos x-\frac{x^{-3}}{3}$, $F_{4}(x)=(2-x^2) \cdot \cos x + 2 \cdot x \cdot \sin x$
2. Funktionen zur Integration: $f_{1}(x)=4\cdot x^3-8\cdot x+7$, $f_{2}(x)=\cos x + \frac{1}{x} - 4\cdot x^{-5}$, $\,f_{3}(x)=\ln x +\sin x+x^{-4}$, $f_{4}(x)=x^2\cdot \sin x$
3. Berechnet die bestimmten Intgrale von $\,f_{1}(x)$ bis $\,f_{4}(x)$ im Intervall $\,1$ bis $\,2$.

Lösungen der bestimmten Integrale: [Anzeigen][Verstecken]

• $\int_{1}^{2} f_{1}(x) \mathrm{d}x=10$ Flächeneinheiten (FE)
• $\int_{1}^{2} f_{2}(x) \mathrm{d}x=-0.1765263774$ FE (Hier ist der Betrag zu nehmen.)
• $\int_{1}^{2} f_{3}(x) \mathrm{d}x=1,63440170$ FE
• $\int_{1}^{2} f_{4}(x) \mathrm{d}x=2,246239104$ FE

Kurvendiskussion

Aufgabe   Erklärt die Berechnung der Nullstellen einer Funktion. Achtet dabei auf die mögliche Anzahl der Lösungen! Erklärt die Berechnung der Extremstellen einer Funktion! Wie lässt sich zwischen Hoch- und Tiefpunkt unterscheiden? Worin besteht der Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremstellen? Erklärt die Berechnung der Wendestellen einer Funktion! Wann spricht man von einem Sattelpunkt? Wie kann man bei einer Funktion die Eigenschaften Monotonie und Krümmung untersuchen?

Erstellt zur Veranschaulichung mit einem dynamischen Geometrieprogramm (z.B. GeoGebra) ein Arbeitsblatt, das die Zusammenhänge der ersten drei Ableitungen zeigt! Probiert es z.B. mit der Polynomfunktion $f(x) = \frac{ 1 }{64 }\cdot x^4 - \frac{ 1 }{8 }\cdot x^3+2\cdot x$

Lösung [Anzeigen][Verstecken]

Kurvendiskussion.pdf

Lösung [Anzeigen][Verstecken]

GeoGebra Datei Kurvendiskussion

Bewegung (fächerübergreifend mit Physik)

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] [Franz]

Was haben Zeit, Weg (Ort), Geschwindigkeit und Beschleunigung mit dem Differenzieren und Integrieren zu tun? Ihr könnt dabei davon ausgehen, dass eine Bewegungsform durch eine Zuordnung

$t\mapsto s(t)$

beschrieben wird. Dabei ist $\,s(t)$ der Ort des betrachteten Objekts zur Zeit $\,t$.

Gebt einige Beispiele für Bewegungsformen an und erstellt aussagekräftige Grafiken oder Animationen (etwa mit einem Computeralgebra-System).

Beantwortet folgende Fragen:

• Kann die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn der Ort als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
• Kann die Beschleunigung als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn der Ort als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
• Kann die Beschleunigung als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
• Kann der Ort als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
• Kann der Ort als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn die Beschleunigung als Funktion der Zeit bekannt ist? Wenn ja, wie?
• Wie kann der Ort als Funktion der Zeit erhalten werden, wenn bekannt ist, dass die Beschleunigung konstant ($\,=g$) ist, und dass zur Zeit $\,t=0$ sowohl der Ort als auch die Geschwindigkeit gleich 0 sind? (Kommt euch das Ergebnis bekannt vor?)

Kosten- und Preistheorie

[Aufgabe für 2er- oder 3er-Gruppe] [Peter]

Euer Freund leitet ein Entsorgungsunternehmen für Metall- und Elektronikschrott und befindet sich in einer angespannten finanziellen Situation. Er bittet euch, dem Unternehmen beratend zur Seite zu stehen, da seine Firma derzeit defizitär arbeitet und Veränderungen unausweichlich scheinen.

Von eurem Freund bekommt ihr folgende Unternehmensdaten zur Verfügung gestellt: Derzeit kann der Betrieb pro Tag bis zu 5 Tonnen Metall- und Elektroschrott verarbeiten. Der Preis, den andere Unternehmen für die Entsorgung einer Tonne Schrott verlangen, beträgt 10 GE (Geldeinheiten). Aus sozialen Gründen (in der Firma arbeiten viele Familienmitglieder eures Freundes) muss daran festgehalten werden, keine Angestellten und Arbeiter zu entlassen. Eine vor einigen Monaten durchgeführte Kostenanalyse ergab für den Betrieb bei Fixkosten in Höhe von 10 GE folgende Grenzkostenaufstellung:

Grenzkostenanalyse des Unternehmens

Entsorgungsmenge in Tonnen	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0
Grenzkosten in GE	26.0	21.2	16.9	13.0	9.6	6.6	4.1	2.0	0.4	-0.8	-1.5

Auch an den Ankauf neuer Technologien wurde bereits gedacht, wodurch die Entsorgungsmenge auf max. 7 Tonnen pro Tag erhöht werden könnte. Allerdings wurde der Ankauf aus gegebenem Anlass vorerst aufgeschoben. Die Prognose der Kostenentwicklung durch die Investition in die neuen Entsorgungstechnologien sieht folgendermaßen aus:

prognostizierte Kosten für das Unternehmens nach Investition

Entsorgungsmenge in Tonnen	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0
Grenzkosten in GE	11,0	22,8	32,3	39,8	45,5	49,6	52,4	54,0	54,8	55,0	54,7	54,3	54,0	53,9	54,3

Eure Aufgabe besteht nun darin die Unternehmenssituation zu analysieren und das Unternehmen zu beraten. Dazu sind zumindest folgende Größen in eurem Bericht anzuführen und zu analysieren:

• Gewinnfunktion
• bestmögliche Entsorgungsmenge (in Tonnen pro Tag)
• optimale Entsorgungssituation (d.h. was kann aus dem Betrieb heraus geholt werden) bezogen auf Gewinn bzw. Verlust
• Gewinnfunktion nach Investition in neue Technologien
• optimale Entsorgungsmenge nach Investition
• möglicher Gewinn nach Investition
• Abhängigkeit von Preisschwankungen

Hinweis: Bei den Preisschwankungen ist auf jeden Fall von Interesse, wie weit der Preis pro Tonne
fallen dürfte, damit ohne Verlust gearbeitet werden kann (sofern das überhaupt möglich ist).

Abschließend sollt ihr in einem Bericht eure Erkenntnisse zusammenfassen und eine Strategie für das Unternehmen festlegen.

Solltet ihr mit einigen der oben genannten Begriffe nichts anfangen können, so schaut euch die
Fachbereichsarbeit einer Schülerin der HBLA Amstetten an:
Fachbereichsarbeit Wirtschaftsmathematik

Funktionstypen

[Aufgabe für 3er-Gruppe] [Matthias]

Eine klassische Aufgabe in der Schule ist in Österreich eine Kurvendiskussion. Dabei werden die Eigenschaften von Funktionen untersucht. Die zu untersuchenden Funktionen kommen aus den unterschiedlichen Bereichen der Wissenschaft, sehen verschieden aus und besitzen daher auch klassizifierbare Eigenschaften.

Eine Kurvendiskussion besteht aus Punkten, die oft unterschiedlich gruppiert werden, aber im Prinzip dasselbe darstellen. Eine Übersicht dieser Punkte inklusive einer Kurzanleitung findet man unter Übersicht der Aufgaben bei einer Kurvendiskussion.

Die Aufgaben einer Kurvendiskussion lauten:

1. Definitionsmenge und Ableitungen
2. Nullstellenberechnung
3. Extremstellenberechnung
4. Wendestellenberechnung inklusive Ermittelung der Wendetangenten
5. Monotoniebetrachtungen
6. Bestimmung des Krümmungsverhaltens
7. Zeichnen des Graphens
8. Bestimmung des asymptotischen Verhaltens
9. Bestimmung der Symmetrie des Graphens
10. Periodizitätsbetrachtungen

Funktionen werden in der Schule grob in sechs Klassen unterteilt:

• Polynomfunktionen, z.B. $f_{1}(x)=\frac{1}{50}\cdot(x^{4}-14x^{3}+45x^{2})$
• gebrochen rationale Funktionen, z.B. $f_{2}(x)=\frac{x^{2}-2x}{(x+1)^{2}}$
• Winkelfunktionen, z.B. $f_{3}(x)=\, (\sin x -\cos x)^{2}$
• Logarithmusfunktionen, z.B. $f_{4}(x)=x\cdot (\ln x -1)$
• Exponentialfunktionen, z.B. $f_{5}(x)=(x^{2}-1)\cdot e^{x}$
• Wurzelfunktionen, z.B. $f_{6}(x)=x \cdot \sqrt{x^{2}-4}$

Die Funktionsklassen besitzen spezielle Eigenschaften, die einer besonderen Untersuchung bedürfen. Die Eigenschaften bezieungsweise Tipps oder Vorsichtshinweise bei Kurvendiskussionen sind im pdf-File Übersicht über Funktioneneigenschaften zusammengefasst.

Aufgabe:

Verteilt obige sechs Funktionen auf die Mitgliede der Gruppe (zwei für jede/n). Verwendet obige pdf-Files, um die Kurvendiskussion durchzuführen. Verwendet besonders Augenmerk auf jene Punkte, die die Besonderheiten der angegeben Funktionen behandeln! Als Hilfe gibt es die Graphen der Funktionen unter Funktionsgraphen der Beispielfunktionen als Download.

Dieser Lernpfad wurde erstellt von: Franz Embacher, Peter Hofbauer, Matthias Kittel, Jochen Maierhofer, Walter Wegscheider