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Analyse des Verhaltens einer gegebenen Funktion

Wie verhält sich die Funktion

$\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

für Geschwindigkeiten $v$, die

• sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit $c$
• sehr nahe der Lichtgeschwindigkeit $c$

sind? Stelle insbesondere Näherungsformeln für die beiden Grenzfälle auf! Benutze die dir bekannten Methoden zur Analyse einer Funktion, wie

• Plotten des Funktionsgraphen (überlege, wie du dabei mit der Konstanten $c$ umgehst und welchen Bereich für $v$ du wählst!) und elementare Analyse des Funktionsterms, um das Aussehen des Graphen qualitativ zu erklären,
• Methoden der Kurvendiskussion (Definitionsmenge, Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen,... ermitteln) und
• Reihenentwicklung bzw. verwandte Näherungsmethoden.

Anmerkung: Die Funktion $\gamma(v)$ tritt in vielen Beziehungen der speziellen Relativitätstheorie auf. So stellt sie beispielweise den Faktor dar, um den bewegte Uhren langsamer gehen als ruhende, und um den Objekte in Bewegungsrichtung verkürzt sind. Im Zwillingsparadoxon gibt sie den Faktor an, um den die von den Zwillingen gemessenen Zeinintervalle voneinander abweichen. Die berühmte Beziehung $E=mc^2$ verallgemeinert sich für einen bewegten Körper zu $E=\gamma(v)mc^2$.

Ergänzungsaufgabe (fächerübergreifend mit Physik): Diskutiere die von dir erhaltenen Ergebnisse physikalisch!

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