Lösung einfacher Differentialgleichungen

Aufgabe 1  Löse die Differenzialgleichung $y'\cdot y^2=-x$ mit der Anfangsbedingung $\,A(2/2)$!

Lösung der Aufgabe 1: [Anzeigen][Verstecken]

$\frac{dy}{dx}\cdot y^2=-x$

$\,y^2 \cdot dy=-x \cdot dx$

$\int y^2 \cdot dy=\int-x \cdot dx$

$\frac{y^3}{3}=-\frac{x^2}{2}+C$

$y^3=-\frac{3x^2}{2}+3C$

$y=\sqrt[3]{-\frac{3x^2}{2}+3C}$

Einsetzen der Anfangsbedingung:

$2=\sqrt[3]{-\frac{3\cdot 2^2}{2}+3C}$

$2=\sqrt[3]{-6+3C}$

$\,8=-6+3C$

$\,14=3C$

$\,C=\frac{14}{3}$

Lösung: $y=\sqrt[3]{-\frac{3x^2}{2}+14}$

Aufgabe 2  Löse die Differenzialgleichung $y'\cdot x^2=3y$ mit der Anfangsbedingung $\,A(1/3)$!

Lösung der Aufgabe 2: [Anzeigen][Verstecken]

$\frac{dy}{dx}\cdot x^2=3y$

$\,\frac{1}{y}dy=\frac{3}{x^2}dx$

$\,\int \frac{1}{y}dy=\int \frac{3}{x^2}dx$

$ln y=-\frac{3}{x}+C$

$y=e^{-\frac{3}{x}+C}$

$y=e^{-\frac{3}{x}}\cdot K$

Einsetzen der Anfangsbedingung:

$3=e^{-\frac{3}{1}}\cdot K$

$3\cdot e^{3}= K$

Lösung: $y=e^{-\frac{3}{x}}\cdot 3\cdot e^{3}=3\cdot e^{-\frac{3}{x}+3}$