Lösung einfacher Differentialgleichungen

Eine grundlegende Variante zur Lösung von Differentialgleichungen (DGLG) wird Seperation der Variablen (Trennung der Variablen) genannt. Bei dieser Vorgehensweise muss Du die DGLG so umformen, dass sich auf den beiden Seiten der Gleichung nur gleiche Variablen befinden, das heißt, zum Beispiel alle Terme mit $x$ auf die rechte Seite und alle Terme mit $y$ auf die linke Seite der Gleichunge zu bringen. Statt der Ableitung $y'$ schreibt man $\frac{dy}{dx}$ (sprich d y nach d x ). Bei diesem Ausruck handelt es sich zwar um keinen Bruch, Du darfst ihn aber aus mathematischer Sich wie einen behandeln, damit Du die Variablen trennen kannst. Da das Ergebnis einer DGLG ja eine Kurvenschar ist, kannst Du durch die Angabe einer Anfangsbedingung eine eindeutige Funktion bestimmen, Dir die Integrationskonstante $C$ ausrechnen.

Aufgabe 1  Löse die Differenzialgleichung $y'\cdot y^2=-x$ mit der Anfangsbedingung $\,A(2/2)$!

Lösung der Aufgabe 1: [Anzeigen][Verstecken]

$\frac{dy}{dx}\cdot y^2=-x$

$\,y^2 \cdot dy=-x \cdot dx$

$\int y^2 \cdot dy=\int-x \cdot dx$

$\frac{y^3}{3}=-\frac{x^2}{2}+C$

$y^3=-\frac{3x^2}{2}+3 \cdot C$

allgemeine Lösung: $y=\sqrt[3]{-\frac{3x^2}{2}+3 \cdot C}$

Einsetzen der Anfangsbedingung:

$2=\sqrt[3]{-\frac{3\cdot 2^2}{2}+3 \cdot C}$

$2=\sqrt[3]{-6+3 \cdot C}$

$\,8=-6+3 \cdot C$

$\,14=3 \cdot C$

$\,C=\frac{14}{3}$

spezielle Lösung mit gegebener Anfangsbedingung: $y=\sqrt[3]{-\frac{3x^2}{2}+14}$

Aufgabe 2  Löse die Differenzialgleichung $y'\cdot x^2=3y$ mit der Anfangsbedingung $\,A(1/3)$!

Lösung der Aufgabe 2: [Anzeigen][Verstecken]

$\frac{dy}{dx}\cdot x^2=3y$

$\,\frac{1}{y}dy=\frac{3}{x^2}dx$

$\,\int \frac{1}{y}dy=\int \frac{3}{x^2}dx$

$ln y=-\frac{3}{x}+C_1$

$y=e^{-\frac{3}{x}+C_1}$

allgemeine Lösung: $y=e^{-\frac{3}{x}}\cdot C$

Einsetzen der Anfangsbedingung:

$3=e^{-\frac{3}{1}}\cdot C$

$3\cdot e^{3}= C$

spezielle Lösung mit gegebener Anfangsbedingung: $y=e^{-\frac{3}{x}}\cdot 3\cdot e^{3}=3\cdot e^{-\frac{3}{x}+3}$

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