Einfluss von a: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 11. Februar 2009, 23:27 Uhr

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FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Einfluss von a

Wir betrachten nun den Einfluss von $\ a$ in

$x \rightarrow a\cdot \sin x$ .

Aufgabe A1

Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von $\ a$ ändern.
Stelle den Schieberegler auf $\ a = 2$ ein. Wie ändert sich der Graph?
Überlege dir, wie sich die Werte $\ a = 3$ und $\ a = -1$ sowie $\ a = 0,5$ auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

$\ a<-1;$	$-1<\ a<0;$	$0<\ a<1;$	$1<\ a$
				Verschiebung nach oben
				Verschiebung nach unten
				Verschiebung nach rechts
				Verschiebung nach links
				Streckung in $\ x$ - Richtung / Verkleinerung der Frequenz
				Stauchung in $\ x$ - Richtung / Vergrößerung der Frequenz
				Streckung in $\ y$ - Richtung / Vergrößerung der Amplitude
				Stauchung in $\ y$ - Richtung / Verkleinerung der Amplitude
				Spiegelung an $\ x$ - Achse
				Spiegelung an $\ y$ - Achse

Punkte: 0 / 0

Nun betrachten wir den Einfluss von $\ a$ in

$x \rightarrow a\cdot \cos x$ .

Aufgabe A2

Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit obige Aufgaben eins bis vier nochmals.

Aufgabe A3

Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!

Lösung zu Aufgabe A1: [Anzeigen][Verstecken]

Merke:

Man erhält den Graph der Funktion

$x \rightarrow a\cdot \sin x$

aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der $\ y$ -Achse. Genauer:

Ist der Betrag von $\ a$ größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in $\ y$ -Richtung mit dem Faktor Betrag von $\ a$ gestreckt.
Ist der Betrag von $\ a$ kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in $\ y$ -Richtung mit dem Faktor Betrag von $\ a$ gestaucht.
Falls $\ a$ negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der $\ x$ -Achse gespiegelt.

Der Betrag von $\ a$ wird auch als Amplitude bezeichnet.

Lösung zu Aufgabe A2: [Anzeigen][Verstecken]

Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von $\ a$ genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.

Lösung zu Aufgabe A3: [Anzeigen][Verstecken]

Eine mögliche Begründung:

$a\cdot \sin x = 0$ mit $a\neq 0$

$\Leftrightarrow \sin x = 0$

d.h. die Nullstellen bleiben gleich. Ferner wird jeder Funktionswert mit dem gleichen Faktor multipliziert. Ist der Betrag dieses Faktors größer als 1, so wird der Graph in Richtung der y-Achse um diesen Faktor gestreckt, ist er kleiner als 1, so wird er entsprechend gestaucht. Ist der Faktor negativ, so wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Hefteintrag: Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe A1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!

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 ----
+{|
+|
 ''Lösung zu Aufgabe A''1: {{versteckt|
 {{Merksatz|MERK=
 Man erhält den Graph der Funktion
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 Der Betrag von <math> \ a </math> wird auch als Amplitude bezeichnet.}}
 </span>
+||{{#ev:youtube|mSgduUqD_RE|150}}
+|}
 <graphviz>

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