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*a.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten <math>\,v</math>, deren Betrag sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind (<math>\,|v|\ll c</math>)? Erstelle eine Näherungsformel <math>\gamma(v)\approx\dots</math> (Reihenentwicklung)! Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus? | *a.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten <math>\,v</math>, deren Betrag sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind (<math>\,|v|\ll c</math>)? Erstelle eine Näherungsformel <math>\gamma(v)\approx\dots</math> (Reihenentwicklung)! Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus? | ||
*b.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten <math>\,v</math>, die in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit liegen (<math>v\approx c</math>, wobei aber <math>\,v<c</math> sein soll)? Erstelle eine Näherungsformel <math>\gamma(v)\approx\dots</math>! Hier ein Tipp: <center><math>1-\frac{v^2}{c^2}=\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)\approx 2\left(1-\frac{v}{c}\right)</math>.</center>Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus? | *b.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten <math>\,v</math>, die in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit liegen (<math>v\approx c</math>, wobei aber <math>\,v<c</math> sein soll)? Erstelle eine Näherungsformel <math>\gamma(v)\approx\dots</math>! Hier ein Tipp: <center><math>1-\frac{v^2}{c^2}=\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)\approx 2\left(1-\frac{v}{c}\right)</math>.</center>Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus? | ||
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Wenn das alles geklärt ist, könnt ihr ein bisschen Relativitätstheorie betreiben: | Wenn das alles geklärt ist, könnt ihr ein bisschen Relativitätstheorie betreiben: | ||
*Die (relativistische) Gesamtenergie eines Körpers der Masse <math>\,m</math>, der sich mit der Geschwindigkeit <math>\,v</math> bewegt, ist durch <math>\,E(v)=m c^2 \gamma(v)</math> gegeben. Wie verhält sich $\,E$ für kleine Geschwindigkeiten? Erinnert euch das Ergebnis an etwas, das ihr in eurem Physikunterricht gelernt habt? | *Die (relativistische) Gesamtenergie eines Körpers der Masse <math>\,m</math>, der sich mit der Geschwindigkeit <math>\,v</math> bewegt, ist durch <math>\,E(v)=m c^2 \gamma(v)</math> gegeben. Wie verhält sich $\,E$ für kleine Geschwindigkeiten? Erinnert euch das Ergebnis an etwas, das ihr in eurem Physikunterricht gelernt habt? | ||
| − | *Zwillingsparadoxon: Alice und Bob sich gleich alt. Alice unternimmt eine Reise durchs All mit Geschwindigkeit <math>\,v</math>, während Bob auf der Erde zurückbleibt. Als Alice zurückkehrt, stellen die beiden fest, dass Alice jünger geblieben ist. Ist für Bob die Zeit <math>\,\Delta T_{\rm Bob}</math> vergangen und für Alice die Zeit <math>\,\Delta T_{\rm Alice}</math>, so ist sagt die Relativitätstheorie die Beziehung <center><math>\frac{\Delta T_{\rm Bob}}{\Delta T_{\rm Alice}}=\gamma(v)</math></center> zwischen diesen beiden Zeiten voraus. Wie sieht die Formel für diesen Zusammenhang aus, wenn Alice ''fast'' mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs war? Wie sieht sie aus, wenn sich Alice sich nur so schnell bewegt hat wie ein Flugzeug? Formuliert Fausregeln, wie die Größe des Effekts abgeschätzt werden kann! | + | *Zwillingsparadoxon: Alice und Bob sich gleich alt. Alice unternimmt eine Reise durchs All mit Geschwindigkeit <math>\,v</math>, während Bob auf der Erde zurückbleibt. Als Alice zurückkehrt, stellen die beiden fest, dass Alice jünger geblieben ist. Ist für Bob die Zeit <math>\,\Delta T_{\rm Bob}</math> vergangen und für Alice die Zeit <math>\,\Delta T_{\rm Alice}</math>, so ist sagt die Relativitätstheorie die Beziehung <center><math>\frac{\Delta T_{\rm Bob}}{\Delta T_{\rm Alice}}=\gamma(v)</math></center> zwischen diesen beiden Zeiten voraus. Wie sieht die Formel für diesen Zusammenhang aus, wenn Alice ''fast'' mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs war? Wie sieht sie aus, wenn sich Alice sich nur so schnell bewegt hat wie ein Flugzeug? Formuliert Fausregeln, wie die Größe des Effekts für kleine und für große <math>\,v</math> abgeschätzt werden kann! |
== <font color="#990000">Epidemie</font> == | == <font color="#990000">Epidemie</font> == | ||
Version vom 14. September 2008, 15:34 Uhr
Lernpfad zur Schnittstelle Sekundarstufe 2 - Universität
Aufgabenpool 1
Startseite des Lernpfads | Aufgabenpool 2 | Didaktischer Kommentar
Inhaltsverzeichnis |
Differentialgleichung versus Differenzengleichung
[Aufgabe für 2er-Gruppe] [Walter]
Stichworte: Ein Problem, das sowohl mit DGL als auch mit Differenzengleichung gelöst werden kann. Beide Partner arbeiten zuerst selbständig, führen dann ihre Ergebnisse zusammen und diskutieren sie.
Integrationsverfahren vergleichen
[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Matthias]
Stichworte: analytische / näherungsweise mit Taylorpolynomen / näherungsweise numerisch. Mögliche Tools: CAS, Tabellenkalkulation.
Logistische Abbildung
[Aufgabe für 2er-Gruppe] [Matthias]
Stichworte: Verschiedene Aufgaben für verschiedene Parameter- und Anfangswerte (manche oszillierend, manche chaotisch), visualisieren! Dann die Ergebnisse zusammenführen und beschreiben, dass/wie das Verhalten vom Parameter abhängt. Mögliche Tools: CAS, Tabellenkalkulation.
Ein bisschen Relativitätstheorie
[Aufgabe für 2er-Gruppe] [Franz]
Die Funktion
spielt in der Speziellen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Die Variable 
steht für die Geschwindigkeit eines Körpers, die Konstante 
bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit.
Bearbeitet zunächst getrennt folgende Fragestellungen:
- a.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten , deren Betrag sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind (
)? Erstelle eine Näherungsformel 
(Reihenentwicklung)! Wie sieht der Graph der Funktion in diesem Bereich aus?
- b.) Wie verhält sich die gegebene Funktion für Geschwindigkeiten , die in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit liegen (
, wobei aber 
sein soll)? Erstelle eine Näherungsformel ! Hier ein Tipp: 
.
Setzt euch danach wieder zusammen, diskutiert eure Ergebnisse und führt sie zusammen.
Wie sieht der Graph der gesamten Funktion aus? (Welche Definitionsmenge wird man sinnvollerweise für sie wählen?) Wie passt der Graph der Funktion mit den Graphen der (von euren getrennt erhaltenen) Näherungsfunktionen zusammen? (Verwendet als Tool einen Punktionsplotter und/oder ein Computeralgebrasystem). Illustriert anhand einiger Werte von (z.B. die Geschwindigkeit eines Flugzeugs, 99% der Lichtgeschwindigkeit,...) wie gut eure Näherungsformeln sind!
Wenn das alles geklärt ist, könnt ihr ein bisschen Relativitätstheorie betreiben:
- Die (relativistische) Gesamtenergie eines Körpers der Masse
, der sich mit der Geschwindigkeit bewegt, ist durch 
gegeben. Wie verhält sich $\,E$ für kleine Geschwindigkeiten? Erinnert euch das Ergebnis an etwas, das ihr in eurem Physikunterricht gelernt habt?
- Zwillingsparadoxon: Alice und Bob sich gleich alt. Alice unternimmt eine Reise durchs All mit Geschwindigkeit , während Bob auf der Erde zurückbleibt. Als Alice zurückkehrt, stellen die beiden fest, dass Alice jünger geblieben ist. Ist für Bob die Zeit
vergangen und für Alice die Zeit 
, so ist sagt die Relativitätstheorie die Beziehung 
abgeschätzt werden kann!
Epidemie
[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Peter]
xxx
Elastizität
[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Peter]
xxx
Zentralmaße vergleichen
[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Walter, mgl.weise Josef]
xxx
Streuungsmaße vergleichen
[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Walter, mgl.weise Josef]
xxx
Rekursionsverfahren vergleichen
[Aufgabe für xxxer-Gruppe] [Walter, mgl.weise Josef]
xxx
