Numerische Näherung - Heronverfahren

Das Heron-Verfahren (auch babylonisches Wurzelziehen genannt) ist ein rekursives Näherungsverfahren zur Berechnung der Quadratwurzel einer Zahl, das von Heron von Alexandria erstmals beschreiben wurden.

Heron von Alexandria; Quelle: http://de.wikipedia.org

Die Iterationsvorschrift zur Berechnung der Wurzel aus $\,a$ ($\sqrt{a}$) lautet: $x_{n+1}=\frac{x_{n}+\frac{a}{x_{n}}}{2}$

Den Startwert der Iteration kannst Du dabei beliebig positiv festsetzen. Versuche heraus zu finden, warum der Startwert $0$ nicht in Frage kommt!

Lösung: [Anzeigen][Verstecken]

Wird $0$ als Startwert in die Rekursionsformel eingesetzt, kommt es zu einer Division durch Null. Dies ist in der Mathematik nicht möglich.

Derartige Rekursionen lassen sich mittels jeder Programmiersprache oder auch mit den Möglichkeiten eines Computer-Algebra-Systems (CAS) darstellen. Eine alternative Möglichkeit ist die Verwendung einer Tabellenkalkulation.

Lösungsansätze:

• CAS am Beispiel der Open-Source-Software MAXIMA (Download unter http://maxima.sourceforge.net): Lösung mit Maxima (wxm-Datei, 2 kb)
• Tabellenkalkulation: Lösung mit Excel (xls-Datei, 25 kb) - Verwende die Tabellenkalkulation, um die Wurzel unterschiedlicher Zahlen zu berechnen. Variiere dabei die Anfangswerte und untersuche, wie schnell sich das Verfahren an den Wert der Wurzel annähert. Gibt es Anfangswerte, die zu keinem korrekten Ergebnis führen?

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