Quadratische Funktionen 2 - Köln-Arena

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Die Köln-Arena

Die Köln-Arena wird von einem parabelförmigen Bogen überspannt. Parabeln kennst du als Graphen quadratischer Funktionen. Hier ist die Parabel allerdings nach unten geöffnet und der Scheitel der Parabel ist nicht im Ursprung sondern auf der positiven y-Achse. Eine quadratische Funktion mit so einem Graphen lässt sich durch die Funktionsgleichung $f(x) = a x^2 +c$ beschreiben.

Aufgabe Finde mit Hilfe des Applets die Parameter a und c zur quadratischen Funktion $f(x) = a x^2 + c$.

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a = -0,15, c = 2,1, also $f(x) = -0,15 x^2 + 2,1$

Merke Der Koeffizient von $x^2$ kann auch negativ sein. Der Graph ist dann eine nach unten geöffnete Parabel. In diesem Fall ist der Scheitel der höchste Punkt. Ist der Scheitel S(0/c) der Parabel auf der y-Achse, dann ist der zugehörige Funktionsterm $ax^2 + c$

Liegt das Bild nicht so im Koordinatensystem, dass der Scheitel auf der y-Achse ist, so kann man trotzdem eine Parabel über den Bogen legen. Es ist ja immer noch das gleiche Bild. Die quadratische Funktion kann man dann mit der Funktionsgleichung $f(x) = a(x - d)^2 + e$ schreiben, wobei a, d und e reelle Parameter sind. Im folgenden Applet ist die quadratische Funktion in dieser Form gegeben.

Aufgabe Finde die Parameter a, d, e.

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a= -0,15, d = 4,85, e = 4,3, also $f(x) = -0,15(x - 4,85)^2 + 4,3$

Aufgabe Was kannst du über die Parameter a, d, e in $f(x) = a (x - d)^2 + e$ aussagen, wenn der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegt? Für welche Werte von a ist die Parabel nach unten geöffnet? Für welche Werte von a ist die Parabel nach oben geöffnet?

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1. d = 0
2. a < 0
3. a > 0

Betrachte nun dieses Applet, in dem der Scheitel der Parabel mit eingezeichnet ist. Was fällt dir auf, wenn du den Funktionsterm und die Scheitelkoordinaten betrachtest?

Aufgabe 1. Was fällt dir auf, wenn du die Scheitelkoordinaten betrachtest? 2. Gib die Koordinaten des Scheitels der Parabel der Köln-Arena an!

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1. Die Scheitelkoordinaten stimmen mit den Werten von d und e überein.

2. x = 4,85, y = 4,3

Merke Aus dem Funktionsterm $a (x - d)^2 + e$ der quadratischen Funktion f mit $f(x) = a (x - d)^2 + e$ kannst du die Koordinaten (x,y) des Scheitels sofort ablesen. Es ist x = d und y = e. Der Funktionsterm $a (x - d)^2 + e$ ist die sogenannte Scheitelform der quadratischen Funktion.

Aufgabe Parameter gesucht! Je einer der Parameter a, d und e wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird! Der Scheitel ändert sich nicht, falls a varriert wird. Variiert man d , so verändern sich der Scheitel und eventuell die Nullstellen, aber nicht die Wertemenge. Ändern sich die Wertemenge und Scheitel, dann wird e variiert.

Die Graph der Funktion f mit f(x)=a(x - d)² + e heißt Parabel . Ist a = 1, so ist der Graph kongruent zur Normalparabel.
Quadratische Funktionen mit d = 0 liegen symmetrisch zur y-Achse.
Der Punkt S (d;e) heißt Scheitel .
Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel.
Für a>0 gilt: Je kleiner a ist, desto weiter ist die Parabel.

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Als nächstes wollen wir untersuchen, welchen Einfluss die Parameter a, d und e in der Funktionsgleichung $f(x) = a (x - d)^2 + c$ auf den Graphen haben.   Hier geht es weiter.

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