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Schulstufe
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5. Schulstufe in Österreich bzw. 9. Jahrgangsstufe in Deutschland
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Unterrichtsfächer
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Mathematik, Mathematik und Physik, Alltagsanwendungen
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Dauer
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8 Stunden
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Technische Voraussetzungen
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Internet und Java, YouTube für Videos
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Medien
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Java-Applets, GeoGebra, Bilder, interaktive Tests
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Lernziele
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- Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
- Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren
- Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
- Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben
- Bestimmen der Parameter bzw. des Funktionsterms in verschiedenen Darstellungen der quadratischen Funktionen
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Kompetenzen
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Operieren, Interpretieren, Kommunizieren, Argumentieren, Dokumentieren, Transferieren
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Methodik
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Gruppenarbeit, Arbeit in Expertenteams oder Pferdestall, Lernen an Stationen
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Autoren
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Reinhard Schmidt, Christian Schmidt, Maria Eirich, Andrea Schellmann (2009), überarbeitet von Karl Haberl (2011)
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Grundsätzliches
Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg in das Thema "Quadratische Funktionen". Die Einführung erfolgt am Beispiel des Bremsweges eines Autos, genauer gesagt anhand des Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und der Länge seines Bremsweges.
Nachdem auf diese Weise der Begriff der reinquadratischen Funktion erarbeitet worden ist, soll zuerst die Scheitelform einer quadratischen Funktion anhand der Köln-Arena erarbeitet werden.
In der Scheitelform der quadratischen Funktion kommen Parameter vor, deren Einfluss auf den Graphen erkundet wird.
Die Scheitelform einer quadratischen Funktion ist eine allgemeine Beschreibung, die auch in der Form der Funktionegleichung  beschreibbar ist.
Im Folgenden wird nun diese allgemeine Form der quadratischen Funktion und die Einflüsse der Parameter untersucht.
Dieses Themengebiet soll jedoch speziell intuitiv, vor allem durch Experimentieren am Graphen erarbeitet werden.
Der Lernpfad enthält eine Reihe von interaktiven Übungen (Quiz, Memo-Quiz, Multiple-Choice) und GeoGebra-
Applets. Dadurch wird den Schülerinnen und Schüler die Gelegenheit gegeben, den funktionalen Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem Brems- bzw. dem Anhalteweg experimentell sowie den Einflüssen der Parameter selbst zu erkunden.
Der Lernpfad ist für 8 Unterrichtsstunden konzipiert und kann im Mathematikunterricht der 9. Jahrgangsstufe eingesetzt werden. Man benötigt dazu internetfähige Rechner, auf denen Java installiert ist.
Kompetenzen
Eingangskompetenzen
• Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
• Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)
• von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen
• Eigenschaften linearer Funktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen
• Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
• Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren
• Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
• Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben Lernpfad Quadratische Funktionen
Zielkompetenzen
In diesem Lernpfad soll Neues erlernt werden. Daher stehen hauptsächlich die Kompetenzen Operieren und Interpretieren im Vordergrund.
Die SchülerInnen können nach der Bearbeitung für diesen Funktionstyp verschiedene Darstellungen angeben. Sie erkennen den Zusammenhang Graph und Formel als verschiedene Darstellungsformen und können zwischen diesen Darstellungen wechseln.
Für durch Gleichungen gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen können mit Kenntnis der Parameter Graphen gedeutet werden.
Die Bedeutung der Parameter für den Funktionsterm und den Graphen können im Kontext gedeutet und richtig interpretiert werden.
Bei den Aufgaben und Übungen lernt man Möglichkeiten kennen das erworbene Wissen einzusetzen und sich zunutze zu machen. Die SchülerInnen müssen die gegebene Situation modellieren und ihre Kenntnise auf den Sachverhalt transferieren.
Je nach eingesetzter Methode, wie Gruppenarbeit, Expertenteams, Pferdestall sind auch die Kompetenzen Argumentieren und Kommunizieren angesprochen.
Da die SchülerInnen selbstständig Hefteinträge erstellen müssen, dokumentieren sie auch.
Insgesamt werden alle Handlungskompetenzen
Darstellen/Modellieren - Rechnen/Operieren - Interpretieren - Argumentieren/Begründen - Problemlösen - Transferieren - Dokumentieren - Kommunizieren
genutzt, gefordert und gefördert
Didaktischer Hintergrund
Intention des Lernpfades ist es, einen motivierenden, zugleich aber auch anspruchsvollen Einstieg in das Thema Quadratische Funktionen anzubieten. Insbesondere soll von vorneherein der Einfluss von Parametern in den Blick genommen werden – im klassischen „Tafelunterricht“ wäre dies an so früher Stelle wohl nur schwerlich möglich.
Im kompletten Lernpfad steht die Selbsttätigkeit der Schülerinnen und Schüler im Vordergrund. Im Idealfall muss die Lehrperson nur in Ausnahmefällen in den eigentlichen Lernprozess eingreifen.
Sozialformen und Methodik
Arbeitsformen
Als Sozialform wird für die meisten Teile des Lernpfades Partnerarbeit vorgeschlagen.
Auf diese Weise wird gewährleistet, dass einerseits der zu erarbeitende Stoff selbstständig entdeckt, andererseits aber mit dem Partner argumentiert und kommuniziert wird. Das zu Lernende kann dadurch noch nachhaltiger durchdrungen
werden.
Dieser Vorschlag ist jedoch in keiner Weise bindend. Um beispielsweise einen höheren Grad an Selbsttätigkeit zu erzielen, kann auch ein Computer pro Schülerin bzw. pro Schüler veranschlagt werden.
Für die Untersuchung des Einflusses der Parameter a,d,e bei der Scheitelform bzw. a,b,c bei der allgemeinen Form der quadratischen Funktionen können Expertengruppen gebildet werden.
- Zur Einteilung der Gruppen können die Expertenteamkarten zum Ausdrucken verwendet werden. Sie sollten am besten auf farbiges Papier gedruckt, laminiert und zugeschnitten werden. Alle SchülerInnen erhalten eine Karte.
- Zunächst werden die SchülerInnen mit demselben Buchstaben auf der Karte zusammen arbeiten. Damit sich nicht gleich zu Beginn der Stunde alle SchülerInnen umsetzen müssen, ist es sinnvoll SchülerInnen, die neben einander sitzen, Karten mit demselben Buchstaben zu geben. Nun untersucht jede Gruppe den Einfluss eines anderen Parameters auf das Aussehen des Graphen. Jeder Schüler dieser Gruppe ist dann Experte für den Einfluss eines Parameters. Es wird ein erster Hefteintrag notiert. Dazu sollten die SchülerInnen ihr Heft im Querformat verwenden, eine Überschrift notieren und vier Spalten für den Einfluss je eines Parameters anlegen.
- Nach der Arbeitsphase in diesen Gruppen werden die SchülerInnen mit Hilfe der Zahlen auf den Karten in neue Gruppen eingeteilt. Die neuen Gruppen bestehen aus SchülerInnen, genauer je einem Experten für einen der drei Parameter. Die SchülerInnen sollen nun auch die Auswirkungen der anderen Parameter erforschen, sich über deren Einfluss austauschen und die Spalten des Hefteintrages vervollständigen. Danach werden gemeinsam Aufgaben bearbeitet. Diese sind so konzipiert, dass zu ihrer Lösung meist das Expertenwissen der einzelnen SchülerInnen benötigt wird.
Eine andere Möglichkeit als Expertengruppen bietet der Pferdestall.
Das Arbeiten in Expertengruppen und Pferdestall sind ausführlich im didaktischen Kommentar des Lernpfad trigonometrische Funktionen_2 beschrieben.
Unterrichtsformen
Bewusst wurde der Lernpfad linear angelegt, d.h. man kann ihn von Station 1 bis 9 der Reihe nach bearbeiten, da die auftretenden Probleme sich natürlich ergeben und gelöst werden können. Daher wurde ebenso bewusst die Scheitelform in den Lernpfad mit aufgenommen, da hier der Einfluss der Parameter sehr einfach zu erkennen ist und die Auswirkungen auf den Graphen intuitiv sind. Weiterhin ist am Ende der Seite stets ein Links auf die nächste Seite, die beim linearen Bearbeiten des Lernpfad folgt.
Lernen an Stationen
Man kann den Lernpfad aber auch als "Lernen an Stationen" auffassen, und den SchülerInnen einen Lernplan mit den Stationen 1 bis 9 mitgeben, auf dem sie notieren, was schon bearbeitet wurde. Hier ist anzugeben, dass die Stationen 1 bis 3 und 7 bis 8 absolut verbindlich sind und die Stationen 4 bis 6 und 8 fakultativ bearbeitet werden können. Mögliche Anfangsstationen sind 1 oder 4 oder 7.
Das Arbeitsblatt für SchülerInnen kann hier heruntergeladen und dann ausgedruckt werden.
Pflichtstationen
Die Scheitelform wurde bewusst mit in den Lernpfad aufgenommen, da man hier schon auch für weitere Funktionen die Auswirkung der Parameter für die Verschiebungen in x- und y-Richtung einfach erkennen kann. Dies kommt den SchülerInnen bei anderen Lernpfaden wie den trigonometrischen Funktionen einfach zu gute.
Will man die Scheitelform nicht bearbeiten, lässt man Station 5 und 6 aus und geht gleich zu Station 7. Eine Behandlung der Scheitelform ist auch am Ende des Lernpfades möglich.
Am Ende der Station 4 ist daher auch ein Sprung zu Station 7 möglich.
Verpflichtend zu bearbeiten sind auf jeden Fall die Stationen 1 bis 3 und 7 bis 8. Die anderen Stationen 4 bis 6 und 8 werden SchülerInnen angeboten, die bereits fertig sind oder mehr bearbeiten wollen.
Es ist auch möglich nach der Einführung
1. Bremsweg - 2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse - 3. Übungen 1
zuerst die allgemeine quadratische Funktion
7. Allgemeine quadratische Funktion - 8. Übungen 3
und danach die Scheitelform
4. Köln-Arena - 5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform - 6. Übungen 2
zu behandeln.
Genderaspekte
Mit Blick auf die Genderproblematik wurde stets darauf geachtet, dass sie Mädchen und Jungen gleichermaßen ansprechen. Auch wenn der Bremsweg vielleicht Jungen mehr anspricht, so ist es ebenso für Mädchen interessant und wichtig. Jungen und Mädchen sind in einem Alter, in dem demnächst der Führerschein ansteht, daher ist diese Problematik für beide ausgesprochen hilfreich. Die weitere Hinführung über die Köln-Arena zu den allgemeinen quadratischen Funktionen ist, da dann auch rein mathematische Inhalte durch interaktive Übungen erarbeitet werdem, die durch den hohen Experimentieranteil sowohl Mädchen als auch Burschen animieren sollen, für beide Geschlechter gleich gut geeignet. . Durch das Zusammenspiel von Bildbeispielen und Interaktivität wurden die abstrakten Modelle alltagsverständlich heruntergebrochen.
Die Übungen sind, da die Aufgaben hauptsächlich mathematisch orientiert sind, für Jungen und Mädchen gleich geeignet sind. Da die Aufgabenseite am Schluss fakultativ bearbeitet werden kann, sind hier vielleicht wieder mehr die Jungen mit dem Anhalteweg angesprochen. Die Aufgabe ist aber gleichermaßen aus den schon oben erwähnten Gründen für Mädchen ebenso gut geeignet.
Durch die verschiedene vorgeschlagene Lernmethoden werden unterschiedliche Lernprozesse ermöglicht wie zum Beispiel kooperatives und integratives Lernen, welche beide Geschlechter gleichermaßen ansprechen.
Medien
Der vorliegende Lernpfad wurde bewusst nicht im starren HTML-, sondern im dynamischen Wiki-Format angelegt, damit er beständig optimiert und angepasst werden kann.
Außerdem wurde darauf geachtet, dass die Schülerinnen und Schüler das Thema an Hand von GeoGebra-Dateien experimentell entdecken können.
Interaktive Übungen wie Zuordnungsquiz, Multiple-Choice oder Memo-Quiz erhöhen durch ihren Spiele-Charakter die Motivation.
Sicherung des Gelernten
Da im Lernpfad zunächst reinquadratische, später aber auch allgemeine quadratische Funktionen thematisiert werden, wird die Sicherung des Gelernten an drei Stellen in Form von Übungsseiten in den Lernpfad integriert.
Parallel zur Bearbeitung des Lernpfads empfiehlt sich das Führen eines Lerntagebuchs. Auch die Erstellung eines zusammenfassenden Hefteintrags nach Durcharbeiten des Lernpfads in Partnerarbeit ist eine Möglichkeit zur Sicherung des Gelernten.
Hefteintrag
Es ist sinnvoll, dass die SchülerInnen nach dem Bearbeiten des Lernpfades über Notizen verfügen, anhand derer sie das Gelernte wiederholen können. Deshalb wurden im gesamten Lernpfad Hefteinträge integriert. Oftmals sind die entsprechenden Texte gelb hinterlegt und sollen von den SchülerInnen übernommen werden. Dabei empfiehlt es sich aus Gründen der Übersichtlichkeit das Heft im Querformat zu verwenden. Hinweise zum Hefteintrag sind für die SchülerInnen zusätzlich im Lernpfad integriert.
Aufgaben und Lösungen
Zu fast allen Aufgaben sind Lösungen angegeben. Die SchülerInnen haben so die Möglichkeit, ihre Antworten selbst zu kontrollieren.
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