Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 31. Januar 2012, 20:13 Uhr

Ein Würfel mit Seitenlänge a hat dasVolumen $V = a^3$ .

Man weiß von einem Würfel, dass es das Volumen 27 VE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.

Es ist

$a = V^{\frac{1}{3}}$

Man schreibt auch dafür

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): a = \sqrt[3]{V}\

Merke:

Die Gleichung $a = x^n$ hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung

$x = a^{\frac{1}{n}}$ oder Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): x = \sqrt[n]{a}\

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \sqrt[n]{a}\

heißt die n-te Wurzel aus a.

Aufgabe

a) Setze verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein, und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben. Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein.

b) Erstelle ein V-a-Diagramm (V nach rechts, a nach oben antragen!)

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a)
b)
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Merke:

Man definiert für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\

mit  und .

Aufgabe 1

Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion an.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}$ mit $V \in R^+_0$

Aufgabe 2

Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\

Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.

2. (0;0 und (1;1)

Aufgabe 3

Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:
Variiere mit dem Schieberegler n.

Was ist der Unterschied zu Aufgabe 2?
Wieso ist dies möglich?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Für ungerade n ist der Funktionsgraph auch für negative x gezeichnet.
Es ist $(-3)^3=(-3)(-3)(-3)=-27$ und damit $\sqrt[3]{-27}\ = -3$ oder allgemein $(-a)^3=-a^3$ und damit $\sqrt[3]{-a^3}\ = -a$ , also ist bei ungeraden Exponenten n auch die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl erklärt.

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-Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:
+Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:<br>
+Variiere mit dem Schieberegler n.
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