Marie: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Marie hat zwei | + | <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> |
| + | [[Trigonometrische_Funktionen 2|Einführung]] - [[Trigonometrische Funktionen 2/Einfluss der Parameter|Station 1: Einfluss der Parameter]] - [[Trigonometrische Funktionen 2/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr]] - [[Trigonometrische Funktionen 2/Anwendungen|Anwendungen]] | ||
| + | </div> | ||
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| + | __NOTOC__ | ||
| + | ===FAQ=== | ||
| + | [[Trigonometrische_Funktionen 2/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]] | ||
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| + | ==Marie und ihre Freunde== | ||
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| + | Marie hat zwei Brieffreunde. Pablo wohnt in Madrid, Maike in Hamburg. In den Sommerferien trafen sie sich in Wien und gingen in den Prater. Dort bestaunten sie das Riesenrad. Maike fiel sofort ein, als sie das Riesenrad sah, dass sie im Mathematikunterricht die Sinusfunktion durch Abwickeln am Einheitskreis erhalten hatte. | ||
'''Tipp:''' <br> | '''Tipp:''' <br> | ||
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2. Informationen zum Riesenrad im Wiener Prater findest du [http://de.wikipedia.org/wiki/Wiener_Riesenrad hier]. | 2. Informationen zum Riesenrad im Wiener Prater findest du [http://de.wikipedia.org/wiki/Wiener_Riesenrad hier]. | ||
| − | + | ==Riesenrad== | |
| − | + | Maike meinte nun, dass eine Gondel sicher auch eine Sinuslinie beschreibt. Marie und Pablo wollten dies natürlich erklärt haben. Unterstütze sie, indem du Ihnen mit dem folgenden GeoGebra-Applet bei der Lösungsfindung hilfst. | |
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| − | + | <ggb_applet width="1000" height="405" version="3.2" 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| − | a) Verändere nun den Winkel \varphi mit dem Schieberegler. | + | <br><br><br> |
| + | |||
| + | |||
| + | {| | ||
| + | | | ||
| + | {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | ||
| + | a) Verändere nun den Winkel <math>\varphi</math> mit dem Schieberegler. | ||
b) Klicke an „Situation im Koordinatensystem betrachten“ – Drehe dabei das Riesenrad ganz langsam. | b) Klicke an „Situation im Koordinatensystem betrachten“ – Drehe dabei das Riesenrad ganz langsam. | ||
| − | c) Bringe den Schieberegler für den Drehwinkel \varphi auf 0° und klicke „Modellierung mit einer Sinusfunktion“ an. | + | c) Bringe den Schieberegler für den Drehwinkel <math>\varphi</math> auf 0° und klicke „Modellierung mit einer Sinusfunktion“ an. |
d) Erzeuge mit Hilfe der Schieberegler für a, b, c und d eine Sinuskurve, auf der die Punkte des Riesenrads liegen. | d) Erzeuge mit Hilfe der Schieberegler für a, b, c und d eine Sinuskurve, auf der die Punkte des Riesenrads liegen. | ||
e) Lies die Parameterwerte für a, b, c und d ab. Notiere die Sinusfunktion. | e) Lies die Parameterwerte für a, b, c und d ab. Notiere die Sinusfunktion. | ||
| + | |||
| + | }} | ||
| + | || | ||
| + | |} | ||
| + | |||
| + | |||
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| + | Nachdem Marie, Pablo und Maike im Prater Riesenrad gefahren sind, gingen sie ein Eis essen. Dabei beobachteten sie die Sonne, wie sie gen Westen immer tiefer stand und unterging. Maike bemerkte dabei, dass sie in Hamburg immer ganz lange Sommertage haben. Pablo meinte, dass die Tage in Madrid gar nicht so lang seien. Marie meint nur, dass heute in Wien ein toller Sommertag war. Allerdings beschäftige sie dieses Problem weiter und Marie bat ihre Freunde einmal über ein Jahr hin zu beobachten wie lang die Tage in Hamburg und Madrid seien. Regelmäßig zum Monatsersten notierten sie die Sonnenaufgangs- und Sonnenuntergangszeiten und schrieben Marie die Tageslängen. | ||
| + | |||
| + | ==Tageslänge== | ||
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| + | Marie erstellt daraufhin folgende Tabelle: | ||
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| + | <center>[[Bild: Tageslaengen.jpg]]</center> | ||
| + | |||
| + | Dabei bedeutet der Eintrag 9:21, dass der Tag zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang 9 Stunden und 21 Minuten lang ist. | ||
| + | |||
| + | Sie macht dazu dieses Diagramm: | ||
| + | |||
| + | <center>[[Bild: Tageslaengen-diagramm.jpg]]</center> | ||
| + | |||
| + | Um eine Idee zu bekommen, auf welcher Linie, die dazwischenliegenden Tage liegen könnten, verbindet sie die Punkte | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <center>[[Bild: Tageslaengen-diagramm-sinus.jpg]]</center> | ||
| + | |||
| + | und stellt fest, dass diese Punkte auf einer Sinuslinie liegen. | ||
| + | |||
| + | Nun möchte sie natürlich Terme für diese Sinuskurven der Tageslängen in Madrid und Hamburg angeben und ihren Freunde mitteilen. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | {| | ||
| + | | | ||
| + | {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= | ||
| + | Hilf Marie dabei und finde die Werte der Parameter a, b, c und d für die allgemeine Sinusfunktionen. | ||
| + | |||
| + | Gib die Funktionsterme an! | ||
| + | |||
| + | }} | ||
| + | || | ||
| + | |} | ||
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| + | |||
| + | |||
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| + | ---- | ||
| + | |||
| + | '''Aufgabe 1''' | ||
| + | |||
| + | {{Lösung versteckt|1= | ||
| + | Die Sinusfunktion schaut im GeoGebra-Applet etwa so aus: | ||
| + | [[Bild:Ggb-riesenrad-lsg.jpg]] | ||
| + | :# Die Parameterwerte sind: a = 20, b = 0,05, c = -1,56, d = 30 | ||
| + | :# Die Sinusfunktion lautet: x --> 20sin(0,05x - 1,56) + 30 | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''Aufgabe 2''' | ||
| + | |||
| + | {{Lösung versteckt|1= | ||
| + | Amplitude: a = <math> \frac{1}{2}max-min </math><br> | ||
| + | Mittelwert: d = min + a<br> | ||
| + | Periodendauer: T = 365<br> | ||
| + | Verschiebung:80 Die Periode beginnt am 21. März (Tag- und Nachtgleiche), nicht am 1. Januar! | ||
| + | |||
| + | '''Tageslänge Hamburg:''' | ||
| + | |||
| + | a: 4:41,5 ergibt als Zahlenwert 4,69<br> | ||
| + | d: 12:15,5 ergibt als Zahlenwert 12,26<br> | ||
| + | Tageslänge(t) = <math>4,69 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+12,26</math> | ||
| + | |||
| + | '''Tageslänge Madrid:''' | ||
| + | |||
| + | a: 2:50 ergibt als Zahlenwert 2,83<br> | ||
| + | d: 12:11 ergibt als Zahlenwert 12,18<br> | ||
| + | Tageslänge(t) = <math>2,83 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+12,18</math> | ||
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Aktuelle Version vom 10. November 2012, 11:45 Uhr
Einführung - Station 1: Einfluss der Parameter - Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr - Anwendungen
FAQ
Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.
Marie und ihre Freunde
Marie hat zwei Brieffreunde. Pablo wohnt in Madrid, Maike in Hamburg. In den Sommerferien trafen sie sich in Wien und gingen in den Prater. Dort bestaunten sie das Riesenrad. Maike fiel sofort ein, als sie das Riesenrad sah, dass sie im Mathematikunterricht die Sinusfunktion durch Abwickeln am Einheitskreis erhalten hatte.
Tipp:
1. Falls du nicht mehr weißt wie das "Abwickeln am Einheitskreis" funktioniert, kannst du es hier nochmals anschauen.
2. Informationen zum Riesenrad im Wiener Prater findest du hier.
Riesenrad
Maike meinte nun, dass eine Gondel sicher auch eine Sinuslinie beschreibt. Marie und Pablo wollten dies natürlich erklärt haben. Unterstütze sie, indem du Ihnen mit dem folgenden GeoGebra-Applet bei der Lösungsfindung hilfst.
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mit dem Schieberegler.
Nachdem Marie, Pablo und Maike im Prater Riesenrad gefahren sind, gingen sie ein Eis essen. Dabei beobachteten sie die Sonne, wie sie gen Westen immer tiefer stand und unterging. Maike bemerkte dabei, dass sie in Hamburg immer ganz lange Sommertage haben. Pablo meinte, dass die Tage in Madrid gar nicht so lang seien. Marie meint nur, dass heute in Wien ein toller Sommertag war. Allerdings beschäftige sie dieses Problem weiter und Marie bat ihre Freunde einmal über ein Jahr hin zu beobachten wie lang die Tage in Hamburg und Madrid seien. Regelmäßig zum Monatsersten notierten sie die Sonnenaufgangs- und Sonnenuntergangszeiten und schrieben Marie die Tageslängen.
Tageslänge
Marie erstellt daraufhin folgende Tabelle:
Dabei bedeutet der Eintrag 9:21, dass der Tag zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang 9 Stunden und 21 Minuten lang ist.
Sie macht dazu dieses Diagramm:
Um eine Idee zu bekommen, auf welcher Linie, die dazwischenliegenden Tage liegen könnten, verbindet sie die Punkte
und stellt fest, dass diese Punkte auf einer Sinuslinie liegen.
Nun möchte sie natürlich Terme für diese Sinuskurven der Tageslängen in Madrid und Hamburg angeben und ihren Freunde mitteilen.
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Aufgabe 1
Die Sinusfunktion schaut im GeoGebra-Applet etwa so aus:
- Die Parameterwerte sind: a = 20, b = 0,05, c = -1,56, d = 30
- Die Sinusfunktion lautet: x --> 20sin(0,05x - 1,56) + 30
Aufgabe 2
Amplitude: a = 
Mittelwert: d = min + a
Periodendauer: T = 365
Verschiebung:80 Die Periode beginnt am 21. März (Tag- und Nachtgleiche), nicht am 1. Januar!
Tageslänge Hamburg:
a: 4:41,5 ergibt als Zahlenwert 4,69
d: 12:15,5 ergibt als Zahlenwert 12,26
Tageslänge(t) = 
Tageslänge Madrid:
a: 2:50 ergibt als Zahlenwert 2,83
d: 12:11 ergibt als Zahlenwert 12,18
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