Marie: Unterschied zwischen den Versionen

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Marie hat zwei Brieffreundinnen. Ines wohnt in Madrid, Maike in Hamburg. In den Sommerferien trafen sie sich in Wien und gingen in den Prater. Dort bestaunten sie das Riesenrad. Maike fiel sofort ein, als sie das Riesenrad sah ein, dass sie im Mathematikunterricht die Sinusfunktion durch Abwickeln am Einheitskreis erhalten hatten.  
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
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[[Trigonometrische_Funktionen 2|Einführung]] - [[Trigonometrische Funktionen 2/Einfluss der Parameter|Station 1: Einfluss der Parameter]] - [[Trigonometrische Funktionen 2/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr]] - [[Trigonometrische Funktionen 2/Anwendungen|Anwendungen]]
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===FAQ===
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[[Trigonometrische_Funktionen 2/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]
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==Marie und ihre Freunde==
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Marie hat zwei Brieffreunde. Pablo wohnt in Madrid, Maike in Hamburg. In den Sommerferien trafen sie sich in Wien und gingen in den Prater. Dort bestaunten sie das Riesenrad. Maike fiel sofort ein, als sie das Riesenrad sah, dass sie im Mathematikunterricht die Sinusfunktion durch Abwickeln am Einheitskreis erhalten hatte.  
  
 
'''Tipp:''' <br>
 
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==Riesenrad==
 
==Riesenrad==
  
Maike meinte nun, dass eine Gondel sicher auch eine Sinuslinie beschreibt. Marie und Ines wollten dies natürlich erklärt haben. Unterstütze sie, indem du folgendes GeoGebra-Applet öffnest und ihnen bei der Lösungsfindung hilfst.
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Maike meinte nun, dass eine Gondel sicher auch eine Sinuslinie beschreibt. Marie und Pablo wollten dies natürlich erklärt haben. Unterstütze sie, indem du Ihnen mit dem folgenden GeoGebra-Applet bei der Lösungsfindung hilfst.
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<ggb_applet width="1000" height="405"  version="3.2" 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" 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[http://www.geogebra.org/de/upload/index.php?action=downloadfile&filename=Riesenrad.ggb&directory=ggb_dateien/MatheSchmidt&PHPSESSID=bd9e753c7ef56daae939b905a79995a7 GeoGebra-Applet zum Riesenrad]
+
<br><br><br>
  
'''Hinweis:''' Falls du nur ein leeres GeoGebra-Blatt mit Algebra-Ansicht und Zeichenblatt siehst, entferne die Algebra-Ansicht links, verkleinere das Blatt und verschiebe es so, dass du das Riesenrad, den Schieberegler, das Bild und den Funktionsterm auf deinem Bildschirm sehen kannst. So sollte dein Bildschirm aussehen: <br>
 
<center>[[Bild:Ggb-riesenrad.jpg]]</center>
 
  
 
{|
 
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Nachdem Marie, Ines und Maike dieses Problem gelöst hatten, gingen sie ein Eis essen. Dabei beobachteten sie die Sonne, wie sie gen Westen immer tiefer stand und unterging. Maike bemerkte dabei, dass sie in Hamburg immer ganz lange Sommertage haben. Ines meinte, dass die Tage in Madrid gar nicht so lang seien. Marie meint nur, dass heute in Wien ein toller Sommertag war. Allerdings beschäftige sie dieses Problem weiter und Marie bat ihre Freundinnen einmal über ein Jahr hin zu beobachten wie lang die Tage in Hamburg und Madrid seien. Regelmäßig zum Monatsersten notierten sie die Sonnenaufgangs- und Sonnenuntergangszeiten und schrieben Marie die Tageslängen.
+
Nachdem Marie, Pablo und Maike im Prater Riesenrad gefahren sind, gingen sie ein Eis essen. Dabei beobachteten sie die Sonne, wie sie gen Westen immer tiefer stand und unterging. Maike bemerkte dabei, dass sie in Hamburg immer ganz lange Sommertage haben. Pablo meinte, dass die Tage in Madrid gar nicht so lang seien. Marie meint nur, dass heute in Wien ein toller Sommertag war. Allerdings beschäftige sie dieses Problem weiter und Marie bat ihre Freunde einmal über ein Jahr hin zu beobachten wie lang die Tage in Hamburg und Madrid seien. Regelmäßig zum Monatsersten notierten sie die Sonnenaufgangs- und Sonnenuntergangszeiten und schrieben Marie die Tageslängen.
  
 
==Tageslänge==
 
==Tageslänge==
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<center>[[Bild: Tageslaengen.jpg]]</center>
 
<center>[[Bild: Tageslaengen.jpg]]</center>
  
und macht dazu dies Diagramm:
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Dabei bedeutet der Eintrag 9:21, dass der Tag zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang 9 Stunden und 21 Minuten lang ist.
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Sie macht dazu dieses Diagramm:
  
 
<center>[[Bild: Tageslaengen-diagramm.jpg]]</center>
 
<center>[[Bild: Tageslaengen-diagramm.jpg]]</center>
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<center>[[Bild: Tageslaengen-diagramm-sinus.jpg]]</center>
 
<center>[[Bild: Tageslaengen-diagramm-sinus.jpg]]</center>
  
und meint nun, dass diese auf einer Sinuslinie liegen.
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und stellt fest, dass diese Punkte auf einer Sinuslinie liegen.
  
Nun möchte sie natürlich Terme für diese Sinuskurven der Tageslängen in Madrid und Hamburg angeben.  
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Nun möchte sie natürlich Terme für diese Sinuskurven der Tageslängen in Madrid und Hamburg angeben und ihren Freunde mitteilen.  
  
  
 
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{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
+
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Hilf Marie dabei und finde die Werte der Parameter a, b, c und d für die allgemeine Sinusfunktionen.
+
Hilf Marie dabei und finde die Werte der Parameter a, b, c und d für die allgemeine Sinusfunktionen.  
 +
 
 +
Gib die Funktionsterme an!
  
 
}}
 
}}
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----
 
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Lösung Aufgabe 1
+
'''Aufgabe 1'''
  
<div>
+
{{Lösung versteckt|1=
&nbsp;{{Lösung versteckt|1=
+
 
Die Sinusfunktion schaut im GeoGebra-Applet etwa so aus:
 
Die Sinusfunktion schaut im GeoGebra-Applet etwa so aus:
 
[[Bild:Ggb-riesenrad-lsg.jpg]]
 
[[Bild:Ggb-riesenrad-lsg.jpg]]
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:# Die Sinusfunktion lautet: x --> 20sin(0,05x - 1,56) + 30
 
:# Die Sinusfunktion lautet: x --> 20sin(0,05x - 1,56) + 30
 
}}
 
}}
</div>
 
  
Lösung Aufgabe 2
 
  
<div>
+
'''Aufgabe 2'''
&nbsp;{{Lösung versteckt|1=
+
 
 +
{{Lösung versteckt|1=
 
Amplitude:          a = <math> \frac{1}{2}max-min  </math><br>
 
Amplitude:          a = <math> \frac{1}{2}max-min  </math><br>
 
Mittelwert:          d = min + a<br>
 
Mittelwert:          d = min + a<br>
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'''Tageslänge Hamburg:'''  
 
'''Tageslänge Hamburg:'''  
  
a: 4:11,5 ergibt als Zahlenwert 4,19<br>
+
a: 4:41,5 ergibt als Zahlenwert 4,69<br>
d: 11:53 ergibt als Zahlenwert 11,88<br>
+
d: 12:15,5 ergibt als Zahlenwert 12,26<br>
Tageslänge(t) = <math>4.19 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+11.88</math>
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Tageslänge(t) = <math>4,69 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+12,26</math>
  
 
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Tageslänge(t) = <math>2.83 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+12.18</math>
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Tageslänge(t) = <math>2,83 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+12,18</math>
 
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Aktuelle Version vom 10. November 2012, 11:45 Uhr

Einführung - Station 1: Einfluss der Parameter - Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr - Anwendungen


FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Marie und ihre Freunde

Marie hat zwei Brieffreunde. Pablo wohnt in Madrid, Maike in Hamburg. In den Sommerferien trafen sie sich in Wien und gingen in den Prater. Dort bestaunten sie das Riesenrad. Maike fiel sofort ein, als sie das Riesenrad sah, dass sie im Mathematikunterricht die Sinusfunktion durch Abwickeln am Einheitskreis erhalten hatte.

Tipp:
1. Falls du nicht mehr weißt wie das "Abwickeln am Einheitskreis" funktioniert, kannst du es hier nochmals anschauen.
2. Informationen zum Riesenrad im Wiener Prater findest du hier.

Riesenrad

Maike meinte nun, dass eine Gondel sicher auch eine Sinuslinie beschreibt. Marie und Pablo wollten dies natürlich erklärt haben. Unterstütze sie, indem du Ihnen mit dem folgenden GeoGebra-Applet bei der Lösungsfindung hilfst.






  Aufgabe 1  Stift.gif

a) Verändere nun den Winkel \varphi mit dem Schieberegler.

b) Klicke an „Situation im Koordinatensystem betrachten“ – Drehe dabei das Riesenrad ganz langsam.

c) Bringe den Schieberegler für den Drehwinkel \varphi auf 0° und klicke „Modellierung mit einer Sinusfunktion“ an.

d) Erzeuge mit Hilfe der Schieberegler für a, b, c und d eine Sinuskurve, auf der die Punkte des Riesenrads liegen.

e) Lies die Parameterwerte für a, b, c und d ab. Notiere die Sinusfunktion.



Nachdem Marie, Pablo und Maike im Prater Riesenrad gefahren sind, gingen sie ein Eis essen. Dabei beobachteten sie die Sonne, wie sie gen Westen immer tiefer stand und unterging. Maike bemerkte dabei, dass sie in Hamburg immer ganz lange Sommertage haben. Pablo meinte, dass die Tage in Madrid gar nicht so lang seien. Marie meint nur, dass heute in Wien ein toller Sommertag war. Allerdings beschäftige sie dieses Problem weiter und Marie bat ihre Freunde einmal über ein Jahr hin zu beobachten wie lang die Tage in Hamburg und Madrid seien. Regelmäßig zum Monatsersten notierten sie die Sonnenaufgangs- und Sonnenuntergangszeiten und schrieben Marie die Tageslängen.

Tageslänge

Marie erstellt daraufhin folgende Tabelle:

Tageslaengen.jpg

Dabei bedeutet der Eintrag 9:21, dass der Tag zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang 9 Stunden und 21 Minuten lang ist.

Sie macht dazu dieses Diagramm:

Tageslaengen-diagramm.jpg

Um eine Idee zu bekommen, auf welcher Linie, die dazwischenliegenden Tage liegen könnten, verbindet sie die Punkte


Tageslaengen-diagramm-sinus.jpg

und stellt fest, dass diese Punkte auf einer Sinuslinie liegen.

Nun möchte sie natürlich Terme für diese Sinuskurven der Tageslängen in Madrid und Hamburg angeben und ihren Freunde mitteilen.


  Aufgabe 2  Stift.gif

Hilf Marie dabei und finde die Werte der Parameter a, b, c und d für die allgemeine Sinusfunktionen.

Gib die Funktionsterme an!




Aufgabe 1

Die Sinusfunktion schaut im GeoGebra-Applet etwa so aus: Ggb-riesenrad-lsg.jpg

  1. Die Parameterwerte sind: a = 20, b = 0,05, c = -1,56, d = 30
  2. Die Sinusfunktion lautet: x --> 20sin(0,05x - 1,56) + 30


Aufgabe 2

Amplitude: a =  \frac{1}{2}max-min
Mittelwert: d = min + a
Periodendauer: T = 365
Verschiebung:80 Die Periode beginnt am 21. März (Tag- und Nachtgleiche), nicht am 1. Januar!

Tageslänge Hamburg:

a: 4:41,5 ergibt als Zahlenwert 4,69
d: 12:15,5 ergibt als Zahlenwert 12,26
Tageslänge(t) = 4,69 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+12,26

Tageslänge Madrid:

a: 2:50 ergibt als Zahlenwert 2,83
d: 12:11 ergibt als Zahlenwert 12,18

Tageslänge(t) = 2,83 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+12,18



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