Rationale Funktionen Polstellen: Unterschied zwischen den Versionen
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Ist n ungerade, dann hat die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}</math> mit <math>D = R\backslash \{x_0\}</math> an der Stelle <math>x = x_0</math> einen '''Pol mit Vorzeichenwechsel'''. | Ist n ungerade, dann hat die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}</math> mit <math>D = R\backslash \{x_0\}</math> an der Stelle <math>x = x_0</math> einen '''Pol mit Vorzeichenwechsel'''. | ||
− | Die Ordnung der Polstelle <math>x_0</math> ist | + | Die Ordnung der Polstelle <math>x_0</math> ist die Zahl die angibt wie oft <math>x_0</math> Nullstelle des Nenners (des gekürzten Bruches) ist. |
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Version vom 4. April 2013, 11:25 Uhr
Die Funktion ist für
nicht definiert. Wie verhält sie sich in der Umgebung von
? Je kleiner
betragsmäßig wird, desto größer wird der Betrag von
. Zeigt eine Funktion für einen x-Wert ein solches Verhalten, dann ist der x-Wert eine Definitionslücke und man bezeichnet diese Stelle als Polstelle.
Ist an einer Definitionslücke
dann ist die Definitionslücke |
Beispiele:
1. Die Funktion hat für
einen Pol 1. Ordnung (
ist einfache Nullstelle des Nenners).
![Indirekte proportionalität.jpg](/images/9/93/Indirekte_proportionalit%C3%A4t.jpg)
Nähert man sich von links an, also mit
, dann streben die Funktionswerte nach
; nähert man sich von rechts an, also
mit
, dann streben die Funktionswerte nach
.
hat an
eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Die Gerade
ist senkrechte Asymptote des Graphen von
.
2. Die Funktion hat für
einen Pol 2. Ordnung (
ist zweifache Nullstelle des Nenners).
![1 durch x^2.jpg](/images/8/8c/1_durch_x%5E2.jpg)
Nähert man sich von links oder von rechts an, also mit
oder
, dann streben die Funktionswerte in beiden Fällen nach
.
hat an
eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Die Gerade
ist senkrechte Asymptote des Graphen von
.
Man kann allgemein für eine gebrochen-rationale Funktion Ist n gerade, dann hat die Funktion Ist n ungerade, dann hat die Funktion Die Ordnung der Polstelle |
Ermittle bei den gegebenen Funktionen jeweils die Polstelle(n) der Funktion und beschreibe das Vorzeichenverhalten der Funktion bei Annäherung an die Polstelle(n). a) b) c) d) e) |
a) x = 2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): ; Annäherung von rechts (x>2):
b) x = 2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): ; Annäherung von rechts (x>2):
c) x = 2; Pol 2. Ordnung; Pol ohne Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): ; Annäherung von rechts (x>2):
d) x = 3; Pol 7. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): ; Annäherung von rechts (x>3):
e) x = -2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<-2): ; Annäherung von rechts (x>-2):
![l(x) \rightarrow -\infty](/images/math/c/3/c/c3ce42ba862edf77d16f20f40b3178cd.png)
![f(x) \rightarrow \infty](/images/math/3/f/2/3f2e921d4e9fe1d3a7f592c9805f9692.png)