Rationale Funktionen hebbare Definitionslücken: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Funktion <math>f:x\rightarrow \fra{x-1}{x^2+x-2}</math> ist für die Nullstellen des Nenners <math>n(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math> für <math>x \not= -2; 1</math> nicht erklärt. Vereinfacht man den Funktionsterm <math>\frac{x-1}{x^2+x-2} =\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2}</math> so ist der gekürzte Term <math>\frac{1}{x+2}</math> für <math>x = 1</math> erklärt mit dem Wert <math>\frac{1}{3}</math>. Man sagt, dass <math>x=1</math> eine hebbare Definitionslücke ist.
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Die Funktion <math>f:x\rightarrow \fra{x-1}{x^2+x-2}</math> ist an den Nullstellen des Nenners <math>n(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math>, also für <math>x \not= -2; 1</math> nicht erklärt. Vereinfacht man den Funktionsterm <math>\frac{x-1}{x^2+x-2} =\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2}</math> so ist der gekürzte Term <math>\frac{1}{x+2}</math> für <math>x = 1</math> erklärt mit dem Wert <math>\frac{1}{3}</math>. Man sagt, dass <math>x=1</math> eine hebbare Definitionslücke ist.
  
 
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Die neue Funktion <math>\tilde f:x\rightarrow \frac{1}{x+2}</math> ist für <math> x = 1 </math> mit dem Funktiionswert <math>f(1) = \frac{1}{3}</math> definiert. Man kann also die Funktion <math> f</math> in die hebbare Definitionslücke fortsetzen. Nimmt man den Funktionswert von <math>\tilde f(1)=\frac{1}{3}</math>, dann hat man die Funktion sogar stetig fortgesetzt.
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Die neue Funktion <math>\tilde f:x\rightarrow \frac{1}{x+2}</math> ist für <math> x = 1 </math> mit dem Funktiionswert <math>\tilde f(1) = \frac{1}{3}</math> definiert. Man kann also die Funktion <math> f</math> in die hebbare Definitionslücke fortsetzen. Nimmt man den Funktionswert von <math>\tilde f(1)=\frac{1}{3}</math>, dann hat man die Funktion sogar stetig fortgesetzt.
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Gib jeweils für die Funktion <math>f</math> die Definitionslücken an und untersuche welche Definitionslücken hebbar sind. Gib gegebenenfalls eine Fortsetzung von <math>f</math>.
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a) Definitionslücken: <math> x = 2</math>; <math>x=2</math> ist wegen <math>\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2</math> hebbare Definitionslücke mit <math>\tilde f(2)=4</math>.
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d) Definitionslücken: <math> x = 3</math>; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist  <math> x = 3</math> keine hebbare Definitionslücke.
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e) Definitionslücken: <math> x = -2; x = 3</math>; <math>x=-2</math> ist wegen <math>f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x+2)^2}=\frac{x(x-3)}{x+2}</math> weiterhin Definitionslücke und nicht hebbar.
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f) Definitionslücken: <math> x = 3</math>; <math>x=-2</math> ist wegen <math>f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}=\frac{x(x+2)(x-3)}{x-3}=x(x+2)</math> eine hebbare Definitionslücke mit <math>\tilde f(3)=15</math>.
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Version vom 6. April 2013, 09:44 Uhr

Die Funktion Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\fra“): f:x\rightarrow \fra{x-1}{x^2+x-2} 

ist an den Nullstellen des Nenners n(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1), also für x \not= -2; 1 nicht erklärt. Vereinfacht man den Funktionsterm \frac{x-1}{x^2+x-2} =\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2} so ist der gekürzte Term \frac{1}{x+2} für x = 1 erklärt mit dem Wert \frac{1}{3}. Man sagt, dass x=1 eine hebbare Definitionslücke ist.
Nuvola apps kig.png   Merke

Ist x_0 eine Nullstelle des Zählers und des Nenners der gebrochen-rationalen Funktion f:x\rightarrow \frac{z(x)}{n(x)} und existiert der Grenzwert \lim_{x \to x_0}{f(x)}, so nennt man x_0 eine hebbare Definitionslücke der Funktion f.

Die neue Funktion \tilde f:x\rightarrow \frac{1}{x+2} ist für x = 1 mit dem Funktiionswert \tilde f(1) = \frac{1}{3} definiert. Man kann also die Funktion f in die hebbare Definitionslücke fortsetzen. Nimmt man den Funktionswert von \tilde f(1)=\frac{1}{3}, dann hat man die Funktion sogar stetig fortgesetzt.

  Aufgabe 1  Stift.gif

Gib jeweils für die Funktion f die Definitionslücken an und untersuche welche Definitionslücken hebbar sind. Gib gegebenenfalls eine Fortsetzung von f.

a) f mit f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}

b) f mit f(x) = \frac{4x}{x^2-2x}

c) f mit f(x) = \frac{1}{x+7}

d) f mit f(x) = \frac{x^2-4}{x-3}

e) f mit f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}

f) f mit f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}


a) Definitionslücken: x = 2; x=2 ist wegen \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 hebbare Definitionslücke mit \tilde f(2)=4.

b) Definitionslücken: x = 0; x = 2; x=0 ist wegen \frac{4x}{x^2-2x}=\frac{4x}{x(x-2)}=\frac{4}{x-2} hebbare Definitionslücke mit \tilde f(0)=-2.

c) Definitionslücken: x = -7; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist x = -7 keine hebbare Definitionslücke.

d) Definitionslücken: x = 3; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist x = 3 keine hebbare Definitionslücke.

e) Definitionslücken: x = -2; x = 3; x=-2 ist wegen f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x+2)^2}=\frac{x(x-3)}{x+2} weiterhin Definitionslücke und nicht hebbar.

f) Definitionslücken: x = 3; x=-2 ist wegen f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}=\frac{x(x+2)(x-3)}{x-3}=x(x+2) eine hebbare Definitionslücke mit \tilde f(3)=15.
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