Quadratische Funktionen 2 - quadratische Ergänzung: Unterschied zwischen den Versionen

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Auf dieser [http://www.willimann.org/A3110-Quadratische%20Funktionen%20-%20Uebung%202.pdf Seite] findest du Aufgaben und die [http://www.willimann.org/A3110-Quadratische%20Funktionen%20-%20Uebung%202.pdf Lösungen] dazu.
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1. Ergänze <math>x^2+6x</math> quadratisch.<br>
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Schaue dir den Koeffizienten von x an: <span style="color:#C11111">&nbsp;6</span><br>
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In der binomischen Formel <math>x^2+2xa+a^2=(x+a)^2</math> ist beim mittleren Glied <math>2ax</math> bei <math>x</math> der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also <math>6 = 2\cdot 3</math>.<br>
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<math>x^2+2\cdot 3x</math><br>
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Ergänze nun mit der binomischen Formel <math>x^2+2xa+a^2=(x+a)^2</math> zu einem Quadrat, also <math>x^2+2\cdot 3 x +9=(x+3)^2</math>. <br>
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Nun kann man nicht einfach <math>9</math> addieren, also subtrahiert man gleich wieder <math>9</math>.<br>
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<math>f(x)=x^2+2\cdot 3x=x^2+2\cdot 3x + 9 - 9=(x+3)^2-9</math>
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2. <math>x^2+6x+5</math><br>
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Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an: <span style="color:#C11111">&nbsp;6</span><br>
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In der binomischen Formel <math>x^2+2xa+a^2=(x+a)^2</math> ist beim mittleren Glied <math>2ax</math> bei <math>x</math> der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also <math>6 = 2\cdot 3</math>.<br>
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<math>x^2+2\cdot 3x</math><br>
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Ergänze nun mit der binomischen Formel <math>x^2+2xa+a^2=(x+a)^2</math> zu einem Quadrat, also <math>x^2+2\cdot 3 x +9=(x+3)^2</math>. <br>
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Nun kann man nicht einfach <math>9</math> addieren, also subtrahiert man gleich wieder <math>9</math>.<br>
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<math>x^2+2\cdot 3x+5=x^2+2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4</math>
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3. <math>x^2-6x+5</math><br>
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Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an: <span style="color:#C11111">&nbsp;6</span><br>
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In der binomischen Formel <math>x^2-2xa+a^2=(x-a)^2</math> ist beim mittleren Glied <math>2ax</math> bei <math>x</math> der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also <math>6 = 2\cdot 3</math>.<br>
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<math>f(x)=x^2+2\cdot 3x</math><br>
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Ergänze nun mit der binomischen Formel <math>x^2-2xa+a^2=(x-a)^2</math> zu einem Quadrat, also <math>x^2-2\cdot 3 x +9=(x-3)^2</math>. <br>
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Nun kann man nicht einfach <math>9</math> addieren, also subtrahiert man gleich wieder <math>9</math>.<br>
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<math>x^2-2\cdot 3x+5=x^2-2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4</math>
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4. <math>2x^2-12x+10</math><br>
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Damit du das bisherige Verfahren anwenden kannst, klammere zuerst den Koeffizienten von <math>x^2</math> aus.<br>
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<math>2x^2-12x+10=2(x^2-6x+5)</math><br>
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In der Klammer steht nun der gleiche Term wie im Beispiel 3.<br> Gehe nun für den Klammerterm genauso vor.
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Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an: <span style="color:#C11111">&nbsp;6</span><br>
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In der binomischen Formel <math>x^2-2xa+a^2=(x-a)^2</math> ist beim mittleren Glied <math>2ax</math> bei <math>x</math> der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also <math>6 = 2\cdot 3</math>.<br>
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<math>f(x)=x^2+2\cdot 3x</math><br>
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Ergänze nun mit der binomischen Formel <math>x^2-2xa+a^2=(x-a)^2</math> zu einem Quadrat, also <math>x^2-2\cdot 3 x +9=(x-3)^2</math>. <br>
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Nun kann man nicht einfach <math>9</math> addieren, also subtrahiert man gleich wieder <math>9</math>.<br>
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<math>x^2-2\cdot 3x+5=x^2-2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4</math><br>
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Also ergibt sich mit der <math>2</math> vor der Klammer:<br>
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<math>2x^2-12x+10=2(x^2-6x+5)=2(x^2+2\cdot 3x + 9 - 9 + 5)=2[(x-3)^2-9+5]=2[(x-3)^2-4]</math><br>
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Löse nun die eckige Klammer auf <br>
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<math>2x^2-12x+10=2[(x-3)^2-4]=2(x-2)^2-8</math>
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Auf [https://www.mathebibel.de/quadratische-ergaenzung dieser Seite] ist das Verfahren der quadratischen Ergänzung auch nochmals erklärt. und auf dieser [http://www.willimann.org/A3110-Quadratische%20Funktionen%20-%20Uebung%202.pdf Seite] findest du Aufgaben.
  
  
 
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Version vom 9. Dezember 2020, 08:22 Uhr

Stift.gif   Aufgabe

Durch quadratische Ergänzung bringst du einen Term a x^2 + bx + c auf die Form a (x - d)^2 + e.
Schaue dir auf hier an wie man das macht.


Nuvola apps kig.png   Merke


  1. Klammere a aus: a x^2 + bx + c = a (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})
  2. Ergänze in der Klammer x^2 + \frac{b}{a} x mittels der binomischen Formeln zu einem Quadrat, also x^2 + \frac{b}{a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 = [x + (\frac{b}{2a})]^2 - (\frac{b}{2a})^2
  3. Du hast also nun a x^2 + bx + c = a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}]
  4. Multipliziere die eckige Klammer aus und du erhältst: a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}] = a (x + (\frac{b}{2a}))^2 - \frac{b^2}{4a} + c

Mit diesen 4 Schritten kannst du den Term a x^2 + bx + c auf die Form a (x - d)^2 + e bringen. Dabei ist d = -\frac{b}{2a} und e = c - \frac{b^2}{4a}

Beispiele:

1. Ergänze x^2+6x quadratisch.
Schaue dir den Koeffizienten von x an:  6
In der binomischen Formel x^2+2xa+a^2=(x+a)^2 ist beim mittleren Glied 2ax bei x der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also 6 = 2\cdot 3.
x^2+2\cdot 3x
Ergänze nun mit der binomischen Formel x^2+2xa+a^2=(x+a)^2 zu einem Quadrat, also x^2+2\cdot 3 x +9=(x+3)^2.
Nun kann man nicht einfach 9 addieren, also subtrahiert man gleich wieder 9.
f(x)=x^2+2\cdot 3x=x^2+2\cdot 3x + 9 - 9=(x+3)^2-9


2. x^2+6x+5
Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an:  6
In der binomischen Formel x^2+2xa+a^2=(x+a)^2 ist beim mittleren Glied 2ax bei x der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also 6 = 2\cdot 3.
x^2+2\cdot 3x
Ergänze nun mit der binomischen Formel x^2+2xa+a^2=(x+a)^2 zu einem Quadrat, also x^2+2\cdot 3 x +9=(x+3)^2.
Nun kann man nicht einfach 9 addieren, also subtrahiert man gleich wieder 9.
x^2+2\cdot 3x+5=x^2+2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4


3. x^2-6x+5
Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an:  6
In der binomischen Formel x^2-2xa+a^2=(x-a)^2 ist beim mittleren Glied 2ax bei x der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also 6 = 2\cdot 3.
f(x)=x^2+2\cdot 3x
Ergänze nun mit der binomischen Formel x^2-2xa+a^2=(x-a)^2 zu einem Quadrat, also x^2-2\cdot 3 x +9=(x-3)^2.
Nun kann man nicht einfach 9 addieren, also subtrahiert man gleich wieder 9.
x^2-2\cdot 3x+5=x^2-2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4


4. 2x^2-12x+10
Damit du das bisherige Verfahren anwenden kannst, klammere zuerst den Koeffizienten von x^2 aus.
2x^2-12x+10=2(x^2-6x+5)
In der Klammer steht nun der gleiche Term wie im Beispiel 3.
Gehe nun für den Klammerterm genauso vor. Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an:  6
In der binomischen Formel x^2-2xa+a^2=(x-a)^2 ist beim mittleren Glied 2ax bei x der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also 6 = 2\cdot 3.
f(x)=x^2+2\cdot 3x
Ergänze nun mit der binomischen Formel x^2-2xa+a^2=(x-a)^2 zu einem Quadrat, also x^2-2\cdot 3 x +9=(x-3)^2.
Nun kann man nicht einfach 9 addieren, also subtrahiert man gleich wieder 9.
x^2-2\cdot 3x+5=x^2-2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4
Also ergibt sich mit der 2 vor der Klammer:
2x^2-12x+10=2(x^2-6x+5)=2(x^2+2\cdot 3x + 9 - 9 + 5)=2[(x-3)^2-9+5]=2[(x-3)^2-4]
Löse nun die eckige Klammer auf
2x^2-12x+10=2[(x-3)^2-4]=2(x-2)^2-8


Auf dieser Seite ist das Verfahren der quadratischen Ergänzung auch nochmals erklärt. und auf dieser Seite findest du Aufgaben.


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