Rationale Funktionen Definitionen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Merke|Sind <math>g(x) = a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0</math> mit <math>a_z\not=0</math> und <math>h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0</math> mit <math>b_z\not=0</math> Polynome vom Grad z und n,
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so heißt die Funktion <math> f: \rightarrow f(x)</math> mit <math>f(x)= \frac{g(x)}{h(x)}</math>  '''gebrochen-rationale Funktion'''.
 
so heißt die Funktion <math> f: \rightarrow f(x)</math> mit <math>f(x)= \frac{g(x)}{h(x)}</math>  '''gebrochen-rationale Funktion'''.
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Es ist <math>f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0}</math> mit <math>a_z, b_n\not=0</math>
  
 
Die Definitionsmenge von <math>f</math> ist die Menge der reellen Zahlen ausgenommen die Nullstellen des Nennerpolynoms.
 
Die Definitionsmenge von <math>f</math> ist die Menge der reellen Zahlen ausgenommen die Nullstellen des Nennerpolynoms.
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Ist z < n, dann ist <math>f</math> eine '''echt''' gebrochen-rationale Funktion, ist z > n, dann ist <math>f</math> eine '''unecht''' gebrochen-rationale Funktion.}}
 
Ist z < n, dann ist <math>f</math> eine '''echt''' gebrochen-rationale Funktion, ist z > n, dann ist <math>f</math> eine '''unecht''' gebrochen-rationale Funktion.}}
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'''Beispiel:'''
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Die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}</math> hat  wegen <math>x^2-1= (x+1)(x-1)</math> als Definitionsmenge <math>R</math>\ {-1;1}.<br>
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<math>f</math> ist eine echt gebrochen-rationale Funktion, da z=1 und n = 2, also z < n ist.
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{{Merke|Die Nullstellen des Nennerpolynoms werden als '''Definitionslücken''' bezeichnet.}}
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'''Beispiel:'''
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Die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}</math> hat die Definitionslücken <math> x = -1</math> und <math> x = 1</math>.
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{{Merke|Ist an einer Definitionslücke <math>x_0</math> einer gebrochen-rationalen Funktion <math>f</math>
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<math>\lim_{x \to x_0}\left| f(x) \right|=\infty</math>,
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dann ist die Definitionslücke <math> x_0</math> eine '''Polstelle''' von f.
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Die Gerade mit der Gleichung <math>x = x_0</math> ist '''senkrechte Asymptote''' des Graphen von f.  }}
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'''Beispiel:'''
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Die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}</math> hat die Definitionslücken <math> x = -1</math> und <math> x = 1</math>.
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Es ist <math>\lim_{x \to -1}\left| f(x) \right|=\infty</math>, da z(-1) = 1 ist. <math> x = -1 </math> ist Polstelle und die Gerade <math> x = -1 </math> ist senkrechte Asymptote für den Graphen von f.
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Ebenso ist <math>\lim_{x \to 1}\left| f(x) \right|=\infty</math>, da z(1) = 1 ist. <math> x = 1 </math> ist Polstelle und die Gerade <math> x = 1 </math> ist senkrechte Asymptote für den Graphen von f.

Aktuelle Version vom 5. Februar 2013, 14:51 Uhr

Nuvola apps kig.png   Merke

Sind g(x) = a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0 mit a_z\not=0 und h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0 mit b_n\not=0 Polynome vom Grad z und n,

so heißt die Funktion f: \rightarrow f(x) mit f(x)= \frac{g(x)}{h(x)} gebrochen-rationale Funktion.

Es ist f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0} mit a_z, b_n\not=0

Die Definitionsmenge von f ist die Menge der reellen Zahlen ausgenommen die Nullstellen des Nennerpolynoms.

z ist der Grad des Zählerpolynoms, n der Grad des Nennerpolynoms.

Ist z < n, dann ist f eine echt gebrochen-rationale Funktion, ist z > n, dann ist f eine unecht gebrochen-rationale Funktion.

Beispiel:

Die Funktion f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1} hat wegen x^2-1= (x+1)(x-1) als Definitionsmenge R\ {-1;1}.
f ist eine echt gebrochen-rationale Funktion, da z=1 und n = 2, also z < n ist.

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Nullstellen des Nennerpolynoms werden als Definitionslücken bezeichnet.

Beispiel:

Die Funktion f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1} hat die Definitionslücken x = -1 und x = 1.

Nuvola apps kig.png   Merke

Ist an einer Definitionslücke x_0 einer gebrochen-rationalen Funktion f

\lim_{x \to x_0}\left| f(x) \right|=\infty,

dann ist die Definitionslücke x_0 eine Polstelle von f.

Die Gerade mit der Gleichung x = x_0 ist senkrechte Asymptote des Graphen von f.

Beispiel:

Die Funktion f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1} hat die Definitionslücken x = -1 und x = 1.

Es ist \lim_{x \to -1}\left| f(x) \right|=\infty, da z(-1) = 1 ist. x = -1 ist Polstelle und die Gerade x = -1 ist senkrechte Asymptote für den Graphen von f.

Ebenso ist \lim_{x \to 1}\left| f(x) \right|=\infty, da z(1) = 1 ist. x = 1 ist Polstelle und die Gerade x = 1 ist senkrechte Asymptote für den Graphen von f.

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