Rationale Funktionen Nullstellen: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion findet man, indem man den Zähler der Funktion betrachtet, denn ein Bruch hat den Wert <math>0</math>, wenn der Zähler den Wert <math>0</math> hat.
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<math>f:x \rightarrow \frac{2-x}{x^2}</math> hat den Funktionswert <math>0</math>, wenn der Zähler <math> 2-x = 0</math> ist.
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Die gebrochen-rationale Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0}</math> hat für <math> x = x_0, x_0 \in D_{max}</math> den Funktionswert Null, wenn das Zählerpolynom <math>g(x_0) = a_z a_0^z+a_{z-1}x_0^{z-1}+ ... + a_1 x_0+a_0 = 0 </math> ist.  
 
Die gebrochen-rationale Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0}</math> hat für <math> x = x_0, x_0 \in D_{max}</math> den Funktionswert Null, wenn das Zählerpolynom <math>g(x_0) = a_z a_0^z+a_{z-1}x_0^{z-1}+ ... + a_1 x_0+a_0 = 0 </math> ist.  
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ARBEIT=
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Ordne die Nullstellen und die angegebenen Funktionen <math> f: x \rightarrow f(x)</math> richtig zu!
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| <math>f(x) = \frac{2x}{x-12}</math> || <math>x = 0 </math>
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| <math>f(x) = \frac{2}{2x-6}</math> || keine Nullstelle
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| <math>f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-1}</math> || <math>x_1 = 0; x_2 = 2</math>
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| <math>f(x) = \frac{x^3-2x+1}{x^2-3x+2}</math> || <math>x_1 = -\frac{1}{2}-\frac{sqrt{5}}{2}; x_2=1; x_3=-\frac{1}{2}+\frac{sqrt{5}}{2}</math>
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|-
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| <math>f(x) = \frac{x^2+2x}{x^2-64}</math> ||  <math>x_1 = -2; x_2 = 0</math>
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| <math>f(x) = \frac{x^2-64x}{x^2+64}</math> ||  <math>x_1 = -8; x_2 = 8</math> 
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</div>
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{{Arbeiten|NUMMER=2|
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ARBEIT=
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Ermittle jeweils die Nullstellen der Funktion:
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a) <math>f</math> mit <math>f(x) = \frac{13-x}{(x-1)^2}</math>
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b) <math>g</math> mit <math>g(x) = \frac{16-x^2}{x^2+1}</math>
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c) <math>h</math> mit <math>h(x) = \frac{16}{x^2-1}</math>
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d) <math>k</math> mit <math>k(x) = \frac{x^2+3x+2}{(x-3)(x-2)}</math>
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e) <math>l</math> mit <math>l(x) = \frac{x^2-5x+6}{(x^2+7)}</math>
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f) <math>m</math> mit <math>m(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^4+1}</math>
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g) <math>n</math> mit <math>n(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}</math>
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{{Lösung versteckt|1=
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a) x = 13
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b) x = -4 ; x = 4
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c) keine
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d) x = -2; x= -1
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e) x= 2; x = 3
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f) x = -3; x = 0; x = 2 
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g) x = -3; x = 0; (x = 2 muss näher untersucht werden, da 2 auch Nullstelle des Nenners ist!)
 
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Aktuelle Version vom 4. April 2013, 10:06 Uhr

Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion findet man, indem man den Zähler der Funktion betrachtet, denn ein Bruch hat den Wert 0, wenn der Zähler den Wert 0 hat.

f:x \rightarrow \frac{2-x}{x^2} hat den Funktionswert 0, wenn der Zähler 2-x = 0 ist.

Nuvola apps kig.png   Merke


Die gebrochen-rationale Funktion f mit f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0} hat für x = x_0, x_0 \in D_{max} den Funktionswert Null, wenn das Zählerpolynom g(x_0) = a_z a_0^z+a_{z-1}x_0^{z-1}+ ... + a_1 x_0+a_0 = 0 ist.

  Aufgabe 1  Stift.gif

Ordne die Nullstellen und die angegebenen Funktionen f: x \rightarrow f(x) richtig zu!


f(x) = \frac{2x}{x-12} x = 0
f(x) = \frac{2}{2x-6} keine Nullstelle
f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-1} x_1 = 0; x_2 = 2
f(x) = \frac{x^3-2x+1}{x^2-3x+2} x_1 = -\frac{1}{2}-\frac{sqrt{5}}{2}; x_2=1; x_3=-\frac{1}{2}+\frac{sqrt{5}}{2}
f(x) = \frac{x^2+2x}{x^2-64} x_1 = -2; x_2 = 0
f(x) = \frac{x^2-64x}{x^2+64} x_1 = -8; x_2 = 8
  Aufgabe 2  Stift.gif

Ermittle jeweils die Nullstellen der Funktion:

a) f mit f(x) = \frac{13-x}{(x-1)^2}

b) g mit g(x) = \frac{16-x^2}{x^2+1}

c) h mit h(x) = \frac{16}{x^2-1}

d) k mit k(x) = \frac{x^2+3x+2}{(x-3)(x-2)}

e) l mit l(x) = \frac{x^2-5x+6}{(x^2+7)}

f) m mit m(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^4+1}

g) n mit n(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}


a) x = 13

b) x = -4 ; x = 4

c) keine

d) x = -2; x= -1

e) x= 2; x = 3

f) x = -3; x = 0; x = 2

g) x = -3; x = 0; (x = 2 muss näher untersucht werden, da 2 auch Nullstelle des Nenners ist!)
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