Rationale Funktionen Definitionsmenge: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei Zahlbrüchen hast du kennengelernt, dass der Nenner des Bruches nie <math>0</math> sein darf. Dies gilt natürlilch auch weiterhin. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht natürllich keine <math>0</math> explizit im Nenner, aber es gibt Terme, die den Wert <math>0</math> annehmen können. Dies darf nicht geschehen. Daher müssen wir die x-Werte, die zum Termwert <math>0</math> im Nenner führen, ausschließen.
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Die Funktion
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1. <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}</math> hat den Nennerterm <math>x^2-1</math>. Dieser Term nimmt für <math> x = -1</math> und <math> x = 1</math> den Wert <math>0</math> an.
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2. <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1}</math> hat den Nennerterm <math>x^2-2x+1</math>. Dieser Term nimmt für <math> x = 1</math> den Wert <math>0</math> an.
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3. <math>f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x}</math> hat den Nennerterm <math>x^3-x^2-2x</math>. Dieser Term nimmt für <math> x = -1</math>, <math>x=0</math>  und <math> x = 2</math> den Wert <math>0</math> an.
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Der Nenner eines Bruches darf nie den Wert Null annehmen darf. Daher darf man für <math>x</math> keine Werte einsetzen, dass das Nennerpolynom <math>h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0 = 0</math> ist.  
 
Der Nenner eines Bruches darf nie den Wert Null annehmen darf. Daher darf man für <math>x</math> keine Werte einsetzen, dass das Nennerpolynom <math>h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0 = 0</math> ist.  
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<math> D = R</math> \ <math>\begin{Bmatrix} x & |h(x)=0 \end{Bmatrix}</math>
 
<math> D = R</math> \ <math>\begin{Bmatrix} x & |h(x)=0 \end{Bmatrix}</math>
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Ordne die Definitionsmengen und die angegebenen Funktionen <math> f: x \rightarrow f(x)</math> richtig zu!
 
Ordne die Definitionsmengen und die angegebenen Funktionen <math> f: x \rightarrow f(x)</math> richtig zu!
 
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ARBEIT=
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Gib jeweils die maximale Definitionsmenge an:
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a) <math>f</math> mit <math>f(x) = \frac{13}{(x-1)^2}</math>
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b) <math>g</math> mit <math>g(x) = \frac{16}{x^2+1}</math>
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c) <math>h</math> mit <math>h(x) = \frac{16}{x^2-1}</math>
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d) <math>k</math> mit <math>k(x) = \frac{x^2+3x+2}{(x-3)(x-2)}</math>
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e) <math>l</math> mit <math>l(x) = \frac{x-2}{(x^2-5x+6)}</math>
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f) <math>m</math> mit <math>m(x) = \frac{x+2}{x^2+x-6}</math>
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{{Lösung versteckt|1=
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a) D=R \ {1}
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b) D=R
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c) D=R \ {-1;1}
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d) D=R \ {2;3}
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e) D=R \ {2;3}
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f) D=R \ {-3;2} 
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}}

Aktuelle Version vom 3. April 2013, 16:28 Uhr

Bei Zahlbrüchen hast du kennengelernt, dass der Nenner des Bruches nie 0 sein darf. Dies gilt natürlilch auch weiterhin. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht natürllich keine 0 explizit im Nenner, aber es gibt Terme, die den Wert 0 annehmen können. Dies darf nicht geschehen. Daher müssen wir die x-Werte, die zum Termwert 0 im Nenner führen, ausschließen.

Die Funktion

1. f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1} hat den Nennerterm x^2-1. Dieser Term nimmt für x = -1 und x = 1 den Wert 0 an.

2. f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1} hat den Nennerterm x^2-2x+1. Dieser Term nimmt für x = 1 den Wert 0 an.

3. f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x} hat den Nennerterm x^3-x^2-2x. Dieser Term nimmt für x = -1, x=0 und x = 2 den Wert 0 an.

Nuvola apps kig.png   Merke

Der Nenner eines Bruches darf nie den Wert Null annehmen darf. Daher darf man für x keine Werte einsetzen, dass das Nennerpolynom h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0 = 0 ist.

Die Nullstellen des Nennerpolynoms werden als Definitionslücken bezeichnet.

Die Definitionsmenge der gebrochen-rationalen Funktion f mit f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} ist die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Nennerpolynoms h(x).

D = R \ \begin{Bmatrix} x & |h(x)=0 \end{Bmatrix}

Beispiele:

Die Funktion

1. f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1} hat, da sich der Nenner x^2-1=(x+1)(x-1) umformen lässt, die Definitionslücken x = -1 und x = 1, also ist D = R\\begin{Bmatrix} -1; & 1 \end{Bmatrix}.

2. f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1} hat, da sich der Nenner x^2-2x+1=(x-1)^2 umformen lässt, die Definitionslücke x = 1, also ist D = R\\begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}.

3. f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x} hat, da sich der Nenner x^3-x^2-2x=x(x+1)(x-2) umformen lässt, die Definitionslücken x = -1, x=0 und x = 2, also ist D = R\\begin{Bmatrix} -1; 0; 2 \end{Bmatrix}.


  Aufgabe 1  Stift.gif

Ordne die Definitionsmengen und die angegebenen Funktionen f: x \rightarrow f(x) richtig zu!


f(x) = \frac{2x}{x-12} D = R \{12}
f(x) = \frac{2}{2x-6} D = R \{3}
f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-1} D = R \{-1;1}
f(x) = \frac{x^3-2x+1}{x^2-3x+2} D = R \{1;2}
f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-64} D = R \{-8;8}
f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2+64} D = R
  Aufgabe 2  Stift.gif

Gib jeweils die maximale Definitionsmenge an:

a) f mit f(x) = \frac{13}{(x-1)^2}

b) g mit g(x) = \frac{16}{x^2+1}

c) h mit h(x) = \frac{16}{x^2-1}

d) k mit k(x) = \frac{x^2+3x+2}{(x-3)(x-2)}

e) l mit l(x) = \frac{x-2}{(x^2-5x+6)}

f) m mit m(x) = \frac{x+2}{x^2+x-6}


a) D=R \ {1}

b) D=R

c) D=R \ {-1;1}

d) D=R \ {2;3}

e) D=R \ {2;3}

f) D=R \ {-3;2}
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