Rationale Funktionen Polstellen: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Funktion <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> ist für <math> x = 0 </math> nicht definiert. Wie verhält sie sich in der Umgebung von <math>0</math>? Je kleiner <math>x</math> betragsmäßig wird, desto größer wird der Betrag von <math>\frac{1}{x}</math>. Der Graph von <math>f</math> sieht so aus:
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Die Funktion <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> ist für <math> x = 0 </math> nicht definiert. Wie verhält sie sich in der Umgebung von <math>0</math>? Je kleiner <math>x</math> betragsmäßig wird, desto größer wird der Betrag von <math>\frac{1}{x}</math>. Zeigt eine Funktion für einen x-Wert ein solches Verhalten, dann ist der x-Wert eine Definitionslücke und man bezeichnet diese Stelle als Polstelle.
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<center>[[Bild:Indirekte_proportionalität.jpg]]</center>
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Zeigt eine Funktion für einen x-Wert ein solches Verhalten, dann ist der x-Wert eine Definitionslücke und man bezeichnet diese Stelle als Polstelle.
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{{Merke|Ist an einer Definitionslücke <math>x_0</math> einer gebrochen-rationalen Funktion <math>f</math>
 
{{Merke|Ist an einer Definitionslücke <math>x_0</math> einer gebrochen-rationalen Funktion <math>f</math>
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dann ist die Definitionslücke <math> x_0</math> eine '''Polstelle''' von f.}}
 
dann ist die Definitionslücke <math> x_0</math> eine '''Polstelle''' von f.}}
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'''Beispiele:'''
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1. Die Funktion <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> hat für <math> x = 0 </math> einen Pol 1. Ordnung (<math>0</math> ist einfache Nullstelle des Nenners).
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<center>[[Bild:Indirekte_proportionalität.jpg]]</center>
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Nähert man sich von links an, also <math> x \rightarrow 0</math> mit <math>x<0</math>, dann streben die Funktionswerte nach <math>-\infty</math>; nähert man sich von rechts an, also <math> x \rightarrow 0</math> mit <math>x>0</math>, dann streben die Funktionswerte nach <math>\infty</math>. <math>f</math> hat an <math> x = 0</math> eine '''Polstelle mit Vorzeichenwechsel'''. Die Gerade <math>x = 0</math> ist senkrechte Asymptote des Graphen von <math>f</math>.
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2. Die Funktion <math>g: x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math> hat für <math> x = 0 </math> einen Pol 2. Ordnung (<math>0</math> ist zweifache Nullstelle des Nenners).
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<center>[[Bild:1_durch_x^2.jpg]]</center>
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Nähert man sich von links oder von rechts an, also <math> x \rightarrow 0</math> mit <math>x<0</math> oder <math>x>0</math>, dann streben die Funktionswerte in beiden Fällen nach <math>\infty</math>. <math>g</math> hat an <math> x = 0</math> eine '''Polstelle ohne Vorzeichenwechsel'''. Die Gerade <math>x = 0</math> ist senkrechte Asymptote des Graphen von <math>f</math>.
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{{Arbeiten|NUMMER=1|
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ARBEIT=
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Ermittle bei den gegebenen Funktionen jeweils die Polstelle(n) der Funktion und beschreibe das Vorzeichenverhalten der Funktion bei Annäherung an die Polstelle(n).
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a) <math>f</math> mit <math> f(x) = \frac{1}{x-2}</math>
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b) <math>g</math> mit <math> g(x) = \frac{1}{2-x}</math>
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c) <math>h</math> mit <math> h(x) = \frac{1}{(x-2)^2}</math>
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d) <math>k</math> mit <math> k(x) = \frac{1}{(x-3)^7}</math>
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e) <math>l</math> mit <math> l(x) = \frac{1}{(x-3)(x+2)}</math>
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f) <math>m</math> mit <math> m(x) = \frac{1}{(x-3)}+ \frac{1}{x}</math>
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{{Lösung versteckt|1=
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a) x = 2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): <math>f(x) \rightarrow -\infty</math>; Annäherung von rechts (x>2): <math> f(x) \rightarrow \infty</math>
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b) x = 2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): <math>g(x) \rightarrow \infty</math>; Annäherung von rechts (x>2): <math> g(x) \rightarrow -\infty</math>
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c) x = 2; Pol 2. Ordnung; Pol ohne Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): <math>h(x) \rightarrow \infty</math>; Annäherung von rechts (x>2): <math> h(x) \rightarrow \infty</math>
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d) x = 3; Pol 7. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): <math>k(x) \rightarrow -\infty</math>; Annäherung von rechts (x>3): <math> k(x) \rightarrow \infty</math>
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e) x = -2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<-2): <math>l(x) \rightarrow \infty</math>; Annäherung von rechts (x>-2): <math> f(x) \rightarrow -\infty</math><br>
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:x = 3; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): <math>l(x) \rightarrow -\infty</math>; Annäherung von rechts (x>3): <math> f(x) \rightarrow \infty</math>
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e) x = 0; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<-2): <math>l(x) \rightarrow -\infty</math>; Annäherung von rechts (x>-2): <math> f(x) \rightarrow \infty</math><br>
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:x = 3; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): <math>l(x) \rightarrow -\infty</math>; Annäherung von rechts (x>3): <math> f(x) \rightarrow \infty</math>
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}}
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{{Arbeiten|NUMMER=2|
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ARBEIT=
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Ordne die Polstellen und die angegebenen Funktionen <math> f: x \rightarrow f(x)</math> richtig zu!
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}}
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<div class="zuordnungs-quiz">
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{|
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| <math>f(x) = \frac{x-12}{2x}</math> || <math>x = 0 </math>
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|-
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| <math>f(x) = \frac{2x-6}{5}</math> || keine Polstelle
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|-
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| <math>f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x}</math> || <math>x_1 = 0; x_2 = 2</math>
 +
|-
 +
| <math>f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}</math> || <math>x_1 = -\frac{1}{2}-\frac{sqrt{5}}{2}; x_2=1; x_3=-\frac{1}{2}+\frac{sqrt{5}}{2}</math>
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|-
 +
| <math>f(x) = \frac{x^2-64}{x^2+2x}</math> ||  <math>x_1 = -2; x_2 = 0</math>
 +
|-
 +
| <math>f(x) = \frac{x^2+64}{x^2-64}</math> ||  <math>x_1 = -8; x_2 = 8</math> 
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|}
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</div>
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{{Arbeiten|NUMMER=3|
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ARBEIT=
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Im folgenden Applet kannst du mit dem Schieberegler die Potenz n des Nenners der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}</math> ändern. Beachte den Verlauf des Graphen bei geraden n und bei ungeraden n. Formuliere deine Beobachtung.<br>
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<center>
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<ggb_applet width="532" height="492"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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</center>
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Beschreibe, was du mit dem Schieberegler für <math>x_0</math> änderst.
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}}
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{{Merke|Man kann allgemein für eine gebrochen-rationale Funktion <math> f</math> mit <math> f(x)=\frac{1}{(x-x_0)^n}</math> formulieren:
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Ist n gerade, dann hat die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}</math> mit <math>D = R \backslash  \{x_0\}</math> an der Stelle <math>x = x_0</math> einen '''Pol ohne Vorzeichenwechsel'''. <math>x_0</math> ist ein Pol gerader Ordnung.
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Ist n ungerade, dann hat die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}</math> mit <math>D = R\backslash  \{x_0\}</math> an der Stelle <math>x = x_0</math> einen '''Pol mit Vorzeichenwechsel'''. <math>x_0</math> ist ein Pol ungerader Ordnung.
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Die '''Ordnung''' der Polstelle <math>x_0</math> ist die Zahl die angibt wie oft <math>x_0</math> Nullstelle des Nenners (des gekürzten Bruches) ist.
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}}

Aktuelle Version vom 6. April 2013, 13:54 Uhr

Die Funktion f: x \rightarrow \frac{1}{x} ist für x = 0 nicht definiert. Wie verhält sie sich in der Umgebung von 0? Je kleiner x betragsmäßig wird, desto größer wird der Betrag von \frac{1}{x}. Zeigt eine Funktion für einen x-Wert ein solches Verhalten, dann ist der x-Wert eine Definitionslücke und man bezeichnet diese Stelle als Polstelle.

Nuvola apps kig.png   Merke

Ist an einer Definitionslücke x_0 einer gebrochen-rationalen Funktion f

\lim_{x \to x_0}\left| f(x) \right|=\infty,

dann ist die Definitionslücke x_0 eine Polstelle von f.

Beispiele:

1. Die Funktion f: x \rightarrow \frac{1}{x} hat für x = 0 einen Pol 1. Ordnung (0 ist einfache Nullstelle des Nenners).

Indirekte proportionalität.jpg

Nähert man sich von links an, also x \rightarrow 0 mit x<0, dann streben die Funktionswerte nach -\infty; nähert man sich von rechts an, also x \rightarrow 0 mit x>0, dann streben die Funktionswerte nach \infty. f hat an x = 0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Die Gerade x = 0 ist senkrechte Asymptote des Graphen von f.

2. Die Funktion g: x \rightarrow \frac{1}{x^2} hat für x = 0 einen Pol 2. Ordnung (0 ist zweifache Nullstelle des Nenners).

1 durch x^2.jpg

Nähert man sich von links oder von rechts an, also x \rightarrow 0 mit x<0 oder x>0, dann streben die Funktionswerte in beiden Fällen nach \infty. g hat an x = 0 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Die Gerade x = 0 ist senkrechte Asymptote des Graphen von f.

  Aufgabe 1  Stift.gif

Ermittle bei den gegebenen Funktionen jeweils die Polstelle(n) der Funktion und beschreibe das Vorzeichenverhalten der Funktion bei Annäherung an die Polstelle(n).

a) f mit f(x) = \frac{1}{x-2}

b) g mit g(x) = \frac{1}{2-x}

c) h mit h(x) = \frac{1}{(x-2)^2}

d) k mit k(x) = \frac{1}{(x-3)^7}

e) l mit l(x) = \frac{1}{(x-3)(x+2)}

f) m mit m(x) = \frac{1}{(x-3)}+ \frac{1}{x}


a) x = 2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): f(x) \rightarrow -\infty; Annäherung von rechts (x>2): f(x) \rightarrow \infty

b) x = 2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): g(x) \rightarrow \infty; Annäherung von rechts (x>2): g(x) \rightarrow -\infty

c) x = 2; Pol 2. Ordnung; Pol ohne Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): h(x) \rightarrow \infty; Annäherung von rechts (x>2): h(x) \rightarrow \infty

d) x = 3; Pol 7. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): k(x) \rightarrow -\infty; Annäherung von rechts (x>3): k(x) \rightarrow \infty

e) x = -2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<-2): l(x) \rightarrow \infty; Annäherung von rechts (x>-2): f(x) \rightarrow -\infty

x = 3; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): l(x) \rightarrow -\infty; Annäherung von rechts (x>3): f(x) \rightarrow \infty

e) x = 0; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<-2): l(x) \rightarrow -\infty; Annäherung von rechts (x>-2): f(x) \rightarrow \infty

x = 3; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): l(x) \rightarrow -\infty; Annäherung von rechts (x>3): f(x) \rightarrow \infty
  Aufgabe 2  Stift.gif

Ordne die Polstellen und die angegebenen Funktionen f: x \rightarrow f(x) richtig zu!


f(x) = \frac{x-12}{2x} x = 0
f(x) = \frac{2x-6}{5} keine Polstelle
f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x} x_1 = 0; x_2 = 2
f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1} x_1 = -\frac{1}{2}-\frac{sqrt{5}}{2}; x_2=1; x_3=-\frac{1}{2}+\frac{sqrt{5}}{2}
f(x) = \frac{x^2-64}{x^2+2x} x_1 = -2; x_2 = 0
f(x) = \frac{x^2+64}{x^2-64} x_1 = -8; x_2 = 8
  Aufgabe 3  Stift.gif

Im folgenden Applet kannst du mit dem Schieberegler die Potenz n des Nenners der Funktion f:x \rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n} ändern. Beachte den Verlauf des Graphen bei geraden n und bei ungeraden n. Formuliere deine Beobachtung.

Beschreibe, was du mit dem Schieberegler für x_0 änderst.


Nuvola apps kig.png   Merke

Man kann allgemein für eine gebrochen-rationale Funktion f mit f(x)=\frac{1}{(x-x_0)^n} formulieren:

Ist n gerade, dann hat die Funktion f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n} mit D = R \backslash \{x_0\} an der Stelle x = x_0 einen Pol ohne Vorzeichenwechsel. x_0 ist ein Pol gerader Ordnung.

Ist n ungerade, dann hat die Funktion f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n} mit D = R\backslash \{x_0\} an der Stelle x = x_0 einen Pol mit Vorzeichenwechsel. x_0 ist ein Pol ungerader Ordnung.

Die Ordnung der Polstelle x_0 ist die Zahl die angibt wie oft x_0 Nullstelle des Nenners (des gekürzten Bruches) ist.

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