Rationale Funktionen Polstellen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 6. April 2013, 13:54 Uhr

Die Funktion $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ ist für $x = 0$ nicht definiert. Wie verhält sie sich in der Umgebung von $0$ ? Je kleiner $x$ betragsmäßig wird, desto größer wird der Betrag von $\frac{1}{x}$ . Zeigt eine Funktion für einen x-Wert ein solches Verhalten, dann ist der x-Wert eine Definitionslücke und man bezeichnet diese Stelle als Polstelle.

Merke

Ist an einer Definitionslücke $x_0$ einer gebrochen-rationalen Funktion $f$

$\lim_{x \to x_0}\left| f(x) \right|=\infty$ ,

dann ist die Definitionslücke $x_0$ eine Polstelle von f.

Beispiele:

1. Die Funktion $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ hat für $x = 0$ einen Pol 1. Ordnung ( $0$ ist einfache Nullstelle des Nenners).

Nähert man sich von links an, also $x \rightarrow 0$ mit $x<0$ , dann streben die Funktionswerte nach $-\infty$ ; nähert man sich von rechts an, also $x \rightarrow 0$ mit $x>0$ , dann streben die Funktionswerte nach $\infty$ . $f$ hat an $x = 0$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Die Gerade $x = 0$ ist senkrechte Asymptote des Graphen von $f$ .

2. Die Funktion $g: x \rightarrow \frac{1}{x^2}$ hat für $x = 0$ einen Pol 2. Ordnung ( $0$ ist zweifache Nullstelle des Nenners).

Nähert man sich von links oder von rechts an, also $x \rightarrow 0$ mit $x<0$ oder $x>0$ , dann streben die Funktionswerte in beiden Fällen nach $\infty$ . $g$ hat an $x = 0$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Die Gerade $x = 0$ ist senkrechte Asymptote des Graphen von $f$ .

Aufgabe 1

Ermittle bei den gegebenen Funktionen jeweils die Polstelle(n) der Funktion und beschreibe das Vorzeichenverhalten der Funktion bei Annäherung an die Polstelle(n).

a) $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x-2}$

b) $g$ mit $g(x) = \frac{1}{2-x}$

c) $h$ mit $h(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$

d) $k$ mit $k(x) = \frac{1}{(x-3)^7}$

e) $l$ mit $l(x) = \frac{1}{(x-3)(x+2)}$

f) $m$ mit $m(x) = \frac{1}{(x-3)}+ \frac{1}{x}$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) x = 2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): $f(x) \rightarrow -\infty$ ; Annäherung von rechts (x>2): $f(x) \rightarrow \infty$

b) x = 2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): $g(x) \rightarrow \infty$ ; Annäherung von rechts (x>2): $g(x) \rightarrow -\infty$

c) x = 2; Pol 2. Ordnung; Pol ohne Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): $h(x) \rightarrow \infty$ ; Annäherung von rechts (x>2): $h(x) \rightarrow \infty$

d) x = 3; Pol 7. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): $k(x) \rightarrow -\infty$ ; Annäherung von rechts (x>3): $k(x) \rightarrow \infty$

e) x = -2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<-2): $l(x) \rightarrow \infty$ ; Annäherung von rechts (x>-2): $f(x) \rightarrow -\infty$

x = 3; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): $l(x) \rightarrow -\infty$ ; Annäherung von rechts (x>3): $f(x) \rightarrow \infty$

e) x = 0; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<-2): $l(x) \rightarrow -\infty$ ; Annäherung von rechts (x>-2): $f(x) \rightarrow \infty$

x = 3; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): $l(x) \rightarrow -\infty$ ; Annäherung von rechts (x>3): $f(x) \rightarrow \infty$

Aufgabe 2

Ordne die Polstellen und die angegebenen Funktionen $f: x \rightarrow f(x)$ richtig zu!

$f(x) = \frac{x-12}{2x}$	$x = 0$
$f(x) = \frac{2x-6}{5}$	keine Polstelle
$f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x}$	$x_1 = 0; x_2 = 2$
$f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}$	$x_1 = -\frac{1}{2}-\frac{sqrt{5}}{2}; x_2=1; x_3=-\frac{1}{2}+\frac{sqrt{5}}{2}$
$f(x) = \frac{x^2-64}{x^2+2x}$	$x_1 = -2; x_2 = 0$
$f(x) = \frac{x^2+64}{x^2-64}$	$x_1 = -8; x_2 = 8$

Aufgabe 3

Im folgenden Applet kannst du mit dem Schieberegler die Potenz n des Nenners der Funktion $f:x \rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}$ ändern. Beachte den Verlauf des Graphen bei geraden n und bei ungeraden n. Formuliere deine Beobachtung.

Beschreibe, was du mit dem Schieberegler für $x_0$ änderst.

Merke

Man kann allgemein für eine gebrochen-rationale Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{(x-x_0)^n}$ formulieren:

Ist n gerade, dann hat die Funktion $f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}$ mit $D = R \backslash \{x_0\}$ an der Stelle $x = x_0$ einen Pol ohne Vorzeichenwechsel. $x_0$ ist ein Pol gerader Ordnung.

Ist n ungerade, dann hat die Funktion $f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}$ mit $D = R\backslash \{x_0\}$ an der Stelle $x = x_0$ einen Pol mit Vorzeichenwechsel. $x_0$ ist ein Pol ungerader Ordnung.

Die Ordnung der Polstelle $x_0$ ist die Zahl die angibt wie oft $x_0$ Nullstelle des Nenners (des gekürzten Bruches) ist.

@@ Zeile 79: / Zeile 79: @@
 Im folgenden Applet kannst du mit dem Schieberegler die Potenz n des Nenners der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}</math> ändern. Beachte den Verlauf des Graphen bei geraden n und bei ungeraden n. Formuliere deine Beobachtung.<br>
-Beschreibe, was du mit dem Schieberegler für <math>x_0</math> ändern kannst.
-}}
 <center>
-<ggb_applet width="532" height="492"  version="5.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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+Beschreibe, was du mit dem Schieberegler für <math>x_0</math> änderst.
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 {{Merke|Man kann allgemein für eine gebrochen-rationale Funktion <math> f</math> mit <math> f(x)=\frac{1}{(x-x_0)^n}</math> formulieren:
-Ist n gerade, dann hat die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}</math> mit <math>D = R \backslash   \{x_0\}</math> an der Stelle <math>x = x_0</math> einen '''Pol ohne Vorzeichenwechsel'''.
+Ist n gerade, dann hat die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}</math> mit <math>D = R \backslash   \{x_0\}</math> an der Stelle <math>x = x_0</math> einen '''Pol ohne Vorzeichenwechsel'''. <math>x_0</math> ist ein Pol gerader Ordnung.
-Ist n ungerade, dann hat die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}</math> mit <math>D = R\backslash   \{x_0\}</math> an der Stelle <math>x = x_0</math> einen '''Pol mit Vorzeichenwechsel'''.
+Ist n ungerade, dann hat die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}</math> mit <math>D = R\backslash   \{x_0\}</math> an der Stelle <math>x = x_0</math> einen '''Pol mit Vorzeichenwechsel'''. <math>x_0</math> ist ein Pol ungerader Ordnung.
-Die Ordnung der Polstelle <math>x_0</math> ist die Zahl die angibt wie oft <math>x_0</math> Nullstelle des Nenners (des gekürzten Bruches) ist.
+Die '''Ordnung''' der Polstelle <math>x_0</math> ist die Zahl die angibt wie oft <math>x_0</math> Nullstelle des Nenners (des gekürzten Bruches) ist.
 }}

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