Rationale Funktionen Indirekte Proportionalitaet: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 7. April 2013, 06:42 Uhr

Eine Tafel Schokolade mit 24 Stücken soll auf Kinder verteilt werden. Wie viele Stückchen bekommt jedes Kind?

x bezeichne die Anzahl der Kinder und y die Anzahl der Schokoladenstückchen, die jedes Kind bekommt.

Aufgabe 1

a) Vervollständige die Tabelle: http://wikis.zum.de/rsg/images/6/67/Tab-24-x.jpg

b) Zeichne den Graph für dieses Beispiel.

c) Betrachte die Produkte $x\cdot y$ . Was stellst du fest?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) http://wikis.zum.de/rsg/images/3/31/Tab-24-x-lsg.jpg

b)
http://wikis.zum.de/rsg/images/b/bc/24-x.jpg

c) Es ist immer $x\cdot y = 24$ .

Merke

Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt indirekt proportional, wenn das Produkt $x\cdot y$ für alle Paare (x,y) stets konstant ist, also $x\cdot y = m$ .

In diesem Beispiel ist x eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24.

Man kann die Funktion $f: x \rightarrow \frac{24}{x}$ allgemein für alle reellen Zahlen $x \not = 0$ erklären.
Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus:

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg
Der Graph einer indirekten Proportionalität heißt Hyperbel.

Merke

Die Funktion $f:x \rightarrow \frac{m}{x}$ mit einer reellen Zahl $m \not = 0$ heißt indirekte Proportionalität oder indirekt proportionale Funktion.

Aufgabe 2

Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion $f:x \rightarrow \frac{24}{x}$ .

Ist der Graph symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Da x im Nenner steht, darf x nicht 0 sein, also ist die Definitionsmenge $R$ \{ $0$ }.

Eine solche Stelle, an der der Funktionsterm nicht definiert ist und in deren Nähe die Funktionswerte nach + Unendlich oder - Unendlich gehen, heißt Polstelle.

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg

Aus dem Graph sieht man, dass 0 als Funktionswert nicht angenommen wird, ansonsten kommen alle reelle Zahlen als y-Werte vor, also ist die Wertemenge auch $R$ \{ $0$ }.

Desweiteren sieht man, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Aufgabe 3

a) Stelle in diesem Applet

den Schieberegler für m so ein, dass der Graphen der Funktion $f:x \rightarrow \frac{24}{x}$ angezeigt wird.

b) Beschreibe wie du den Graphen der Funktion $f:x \rightarrow \frac{24}{x}$ aus dem Graphen der Funktion $f:x \rightarrow \frac{1}{x}$ erhältst?

c) Beantworte die Fragen auf dieser Seite (wird im Mozilla Firefox nicht alles angezeigt, also mit Internet Explorer öffnen!).

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) m = 24

b) Jeder y-Wert der Funktion $f:x \rightarrow \frac{1}{x}$ wird mit 24 multiplilziert. Der Graph von $f:x \rightarrow \frac{1}{x}$ wird in y-Richtung um den Faktor 24 gestreckt.

Der Funktionsterm von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg ist ein Bruch, in dessen Nenner die Variable $x$ vorkommt. Kommen im Nenner der Funktion $f$ auch andere Terme mit $x$ vor, z.B. http://wikis.zum.de/rsg/images/e/eb/Bspl-rationale-funktion.jpg oder http://wikis.zum.de/rsg/images/d/dd/Bspl-rationale-funktion2.jpg dann spricht man von rationalen Funktionen.

Internetlinks:

Mehr über indirekte Proportionalität wiederholst du in diesem Lernpfad.

Alles über Hyperbeln

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 b) Zeichne den Graph für dieses Beispiel.
-c) Betrachte die Produkte x*y. Was stellst du fest?
+c) Betrachte die Produkte <math>x\cdot y</math>. Was stellst du fest?
 }}
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 http://wikis.zum.de/rsg/images/b/bc/24-x.jpg
-c) Es ist immer x*y=24.
+c) Es ist immer <math>x\cdot y = 24</math>.
 }}
 {{Merke|
-Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt '''indirekt proportional''', wenn das Produkt x*y für alle Paare (x,y) stets konstant ist.
+Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt '''indirekt proportional''', wenn das Produkt <math>x\cdot y </math> für alle Paare (x,y) stets konstant ist, also <math>x\cdot y = m</math>.
 }}
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 In diesem Beispiel ist x eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24.
-Man kann die Funktion http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg allgemein für alle reellen Zahlen x, die ungleich Null sind, erklären. <br>
+Man kann die Funktion <math>f: x \rightarrow \frac{24}{x}</math> allgemein für alle reellen Zahlen <math>x \not = 0</math> erklären. <br>
 Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus: <br>
 <center>http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg</center><br>
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 {{Merke|
-Die Funktion http://wikis.zum.de/rsg/images/a/a6/Fm_x_term.jpg mit einer rationalen Zahl m heißt '''indirekte Proportionalität''' oder indirekt proportionale Funktion.
+Die Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{m}{x}</math> mit einer reellen Zahl <math>m \not = 0</math> heißt '''indirekte Proportionalität''' oder '''indirekt proportionale Funktion'''.
 }}
 {{Arbeiten|NUMMER =2|
 ARBEIT=
-Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge.
+Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{24}{x}</math>.
 Ist der Graph symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems?
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 Desweiteren sieht man, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
 }}
 {{Arbeiten|NUMMER = 3|
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 a) Stelle in diesem Applet
 <ggb_applet width="604" height="484"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br>
-den Schieberegler für m so ein, dass es den Graphen von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg  zeigt.
+den Schieberegler für m so ein, dass der Graphen der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{24}{x}</math> angezeigt wird.<br>
-b) Beschreibe wie du den Graphen von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg aus dem Graphen der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{1}{x}</math> erhältst?
+b) Beschreibe wie du den Graphen der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{24}{x}</math> aus dem Graphen der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{1}{x}</math> erhältst?<br>
 c) Beantworte die Fragen auf dieser [http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/hyperbel/hyperbel.html Seite] (wird im Mozilla Firefox nicht alles angezeigt, also mit Internet Explorer öffnen!).
 <br>
+}}
+{{Lösung versteckt|1=
+a) m = 24
+b) Jeder y-Wert der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{1}{x}</math>  wird mit 24 multiplilziert. Der Graph von <math>f:x \rightarrow \frac{1}{x}</math> wird in y-Richtung um den Faktor 24 gestreckt.
 }}
 Der Funktionsterm von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg ist ein Bruch, in dessen Nenner die Variable <math>x</math> vorkommt. Kommen im Nenner der Funktion <math>f</math> auch andere Terme mit <math>x</math> vor, z.B.
-http://wikis.zum.de/rsg/images/e/eb/Bspl-rationale-funktion.jpg oder http://wikis.zum.de/rsg/images/d/dd/Bspl-rationale-funktion2.jpg<br>
+http://wikis.zum.de/rsg/images/e/eb/Bspl-rationale-funktion.jpg oder http://wikis.zum.de/rsg/images/d/dd/Bspl-rationale-funktion2.jpg dann spricht man von '''rationalen Funktionen'''.
-dann spricht man von '''rationalen Funktionen'''.
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+Internetlinks:
 Mehr über indirekte Proportionalität wiederholst du in [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_direktes_indirektes_verhaeltnis/iv_dv_final/index.htm diesem Lernpfad].
+Alles über [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Hyperbel/ Hyperbeln]

Rationale Funktionen Indirekte Proportionalitaet: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 7. April 2013, 06:42 Uhr

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