Quadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 22. November 2016, 18:03 Uhr

Einführung - Bremsweg - Unterschiedliche Straßenverhältnisse - Übungen 1 - Anhalteweg - Übungen 2 - Allgemeine quadratische Funktion - Übungen 3

Unterschiedliche Straßenverhältnisse

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten Bremsbeschleunigung zum Ausdruck.

Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:
$s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2$ (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a_B = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.

Hinweis: Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

Aufgabe 1

Wie muss a_B gewählt werden, damit ...

...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?
...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?

Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.

a_B = 3,25 m/s²
a_B = 5,71 m/s²
a_B = 1,73 m/s²

In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a_B von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.

Aufgabe 2

Welche Bremsverzögerung liegt vor bei

60%,
75%
100% der Betriebstemperatur der Bremsen?

Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.

Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

Bremswege:<

s(60%) = 49 m

s(75%) = 47 m

s(100%) = 37 m

Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:

a_B = 7,87 m/s²
a_B = 8,21 m/s²
a_B = 10,43 m/s²

andere Möglichkeit: Formel nach a_B auflösen

$a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}$

dann die Werte einsetzen

Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!

v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.

Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:

$s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2$ . Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ und dem Quadrat der Variablen.

Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:

Aufgabe 3

Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v², d.h. wenn $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ kleiner bzw. größer wird?

$\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ wird kleiner, wenn a_B größer wird. Wenn a_B größer wird, verläuft der Graph flacher.

Entsprechend wird $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ größer, wenn a_B kleiner wird. Wenn a_B kleiner wird, verläuft der Graph steiler.

Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen

Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form ax². Sie zählen daher zu den quadratischen Funktionen. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.

Merke:

Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung $f(x)=ax^2$ heißen Parabeln.

Sie sind symmetrisch zur y-Achse. Der Punkt $S(0\!\,|\!\,0)$ heißt Scheitel der Parabel und ist der tiefste Punkt.

Ist $a = 1$ heißt der Graph Normalparabel.

Aufgabe 4

Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen: Was passiert, wenn ...

... a größer als 1 ist?
... a zwischen 0 und 1 liegt?
... a negativ ist?

Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².

Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.
Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.
Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.

Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit f(x) = ax². Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!).

Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.

Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.

Hier geht es weiter.

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-== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ==
+{{Quadratische Funktionen}}
-Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist natürlich Unsinn. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten "Bremsverzögerung" zum Ausdruck.
-Die Bremsverzögerung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsverzögerung spricht also für einen kurzen Bremsweg.
-In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsverzögerung berücksichtigt werden. In lehrbüchern findet man die Formel:<br />
+=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===
+Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.
+Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.
+In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br />
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
-<math>s=\frac{v^2}{2a}</math>
+<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>
-&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a = Bremsverzögerung in m/s²).
+&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²).
-In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg variiert werden.
+In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.
-<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />
+''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.
+:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />
 <br />&nbsp;
+<br />
+<br />
+<br />
+{{Arbeiten|
+NUMMER=1|
+ARBEIT=
+Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...
+#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
+#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?
+#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?
-{{Arbeit|
+Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.
+:{{Lösung versteckt|1=
+#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup>
+#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup>
+#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup>
+}}
+}}
+In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.
+{|
+|valign="top"|
+{{Arbeiten|
+NUMMER=2|
 ARBEIT=
-Wie muss a gewählt werden, damit ...<br />
+Welche Bremsverzögerung liegt vor bei
-a) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br />
+#60%,
-b) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br />
+#75%
-c) ...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?
+#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?
+Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.
+:{{Lösung versteckt|1=
+Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s
+Bremswege:<
+:s(60%) = 49 m
+:s(75%) = 47 m
+:s(100%) = 37 m
+Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:
+#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup>
+#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup>
+#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup>
+andere Möglichkeit:
+Formel nach a<sub>B</sub> auflösen
+:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math>
+dann die Werte einsetzen
+Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!
+v = 100 km/h = (100:3,6) m/s
+}}
 }}
+|valign="top"|
+:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}
-== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ==
+|}
-{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
-|align = "left" width="280"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form Zahl mal Variable im Quadrat. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen (welches ja bekanntlich Geraden sind).<br /><br />
-Das Applet rechts zeigt den Graphen einer reinquadratischen Funktion, d.h. einer Funktion, deren Funktionsterm die Form ax² hat. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!).<br />
-Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br /><br /><br /><br /><br /><br />&nbsp;
-|align = "right"|&nbsp;
-|align = "right"|<ggb_applet height="480" width="500" filename="Reinquadratisch.ggb" />
-|}
+Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.
+Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:
+<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.
-{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen Parabeln.
+Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:
-Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel.}}
+{{Arbeiten|
+NUMMER=3|
+ARBEIT=
+Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?
+:{{Lösung versteckt|1=
+<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.
+Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.
+}}
+}}
+=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===
+{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
+|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.
+{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=ax^2</math> heißen '''Parabeln'''.
+Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.
+Ist <math>a = 1</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''.
+}}
 <br />
+{{Arbeiten|
+NUMMER=4|
+ARBEIT=
+Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:
+Was passiert, wenn ...
+# ... a größer als 1 ist?
+# ... a zwischen 0 und 1 liegt?
+# ... a negativ ist?
+:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².
+:{{Lösung versteckt|1=
+# Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.
+# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.
+# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.
+}}
+}}
+|width=20px|
+|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" />
+<br>
+Das Applet  zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).
+Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.
+|}
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 {|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
 |align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
-|align = "left"|Als nächstes erfährst du, was es mit dem "Anhalteweg" auf sich hat.<br />
+|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''
-=> [[Quadratische_Funktionen_Anhalteweg|Hier geht es weiter]].
+[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''
 |}
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