Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. April 2012, 14:09 Uhr

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Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.

Ein Würfel mit der Seitenlänge $a$ hat das Volumen $V = a^3$ .

Ist die Seitenlänge $a = 3 cm$ , dann ist also das Volumen $V = 27 cm^3$ .
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen $V= 27 cm^3$ die zugehörige Seitenlänge $a= 3 cm$ .

Aufgabe 15

Im folgenden Applet wird der Seitenlänge $a$ eines Würfels das Volumen $V$ zugeordnet.
Der Punkt P hat die Koordinaten ( $a| V$ ). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für $a$ einstellen.

a) Welches Volumen $V$ ergibt sich für $a$ = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!
b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge $a$ das Volumen $V$ eines Würfels zuordnet!
c) Welchen Wert nimmt $V$ für $a$ = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!
d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen $V$ die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen $a$ im Applet ab und ergänze deine Tabelle!

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) a, 3,375; 8; 15,625
b) 27; 125; 1000; 3375
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6

Wie kannst du die Seitenlänge $a$ bei gegebenem Volumen $V$ berechnen?
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$a = V^{\frac{1}{3}}$
Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): a = \sqrt[3]{V}\

Merke

Die Gleichung $a = x^n$ hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung

$x = a^{\frac{1}{n}}$ oder Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): x = \sqrt[n]{a}\

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \sqrt[n]{a}\

heißt die n-te Wurzel aus a.

Aufgabe 16

a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar ( $V$ entspricht der x-Achse, $a$ entspricht der y-Achse)!

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a)
b)
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Merke

Allgemein ist für jede natürliche Zahl $n$ die allgemeine Wurzelfunktion $n$ -ten Grades oder $n$ -te Wurzelfunktion definiert mit
Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\

mit  und .

Aufgabe 16

Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktionsgleichung an!

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}$ mit $V \in R^+_0$

Aufgabe 17

Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\

Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.

2. (0;0 und (1;1)

Aufgabe 18

Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:
Variiere mit dem Schieberegler n.

Was ist der Unterschied zu Aufgabe 2?
Wieso ist dies möglich?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Für ungerade n ist der Funktionsgraph auch für negative x gezeichnet.
Es ist $(-3)^3=(-3)(-3)(-3)=-27$ und damit $\sqrt[3]{-27}\ = -3$ oder allgemein $(-a)^3=-a^3$ und damit $\sqrt[3]{-a^3}\ = -a$ , also ist bei ungeraden Exponenten n auch die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl erklärt.

Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Als nächstes kannst du wählen, ob du Übungen oder Anwendungen machen willst.

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-{{Arbeiten|NUMMER=1|
+{{Arbeiten|NUMMER=16|
-ARBEIT= Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion an.}}
+ARBEIT= Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktionsgleichung an!}}
 {{Lösung versteckt|
@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
-{{Arbeiten|NUMMER=2|
+{{Arbeiten|NUMMER=17|
 ARBEIT=
 # Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion <math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\</math>
@@ Zeile 91: / Zeile 91: @@
 . Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.
 <ggb_applet width="713" height="271"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
-. (0;0 und (1;1)
+<br>2. (0;0 und (1;1)
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-{{Arbeiten|NUMMER=3|
+{{Arbeiten|NUMMER=18|
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 Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:<br>

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